Dirichlet-Kern

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Die ersten vier Dirichlet-Kerne. (Die Funktionen sind 2π-periodisch.)

Der Dirichlet-Kern ist eine von Peter Gustav Lejeune Dirichlet untersuchte Funktionenfolge. Diese wird in der Analysis im Teilgebiet der Fourier-Analysis verwendet. Dirichlet fand im Jahr 1829 den ersten strengen Beweis für die Konvergenz der Fourier-Reihe von einer periodischen, stückweise stetigen und stückweise monotonen Funktion. Die Konvergenz von Fourier-Reihen wurde schon seit Leonhard Euler diskutiert. Diese von Dirichlet gefundene Funktionenfolge ist wichtiger Bestandteil dieses Beweises und wird dort als Integralkern verwendet. Deshalb nennt man sie Dirichlet-Kern.

Definition[Bearbeiten]

Als Dirichlet-Kern bezeichnet man die Funktionenfolge

D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=1+2\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.

Die Bedeutung des Dirichlet-Kerns hängt mit dem Verhältnis zur Fourierreihe zusammen. Die Faltung von Dn(x) mit einer Funktion f der Periode 2π ist der n-te Grad der Fourierreihe seiner Näherung für f. Beispielsweise ist

(D_n*f)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)D_n(x-y)\,dy=\sum_{k=-n}^n \hat{f}(k)e^{ikx},

wobei

\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}\,dx

der k-te Fourierkoeffizient von f ist. Daraus lässt sich schließen, dass es zum Studium der Konvergenz von Fourierreihen ausreicht, die Eigenschaften des Dirichlet-Kerns zu studieren. Aus der Tatsache, dass die L1-Norm von Dn für n\to\infty logarithmisch gegen \infty geht, kann man herleiten, dass es stetige Funktionen gibt, die nicht durch ihre Fourierreihe dargestellt werden.[1] Explizit gilt nämlich:

\int |D_n(t)|\,dt = \frac{4}{\pi^2}\log n + \mathcal{O}(1)

Für die \mathcal{O}-Notation siehe Landau-Symbole.

Beziehung zur Delta-Distribution[Bearbeiten]

Die periodische Delta-Distribution ist das neutrale Element für die Faltung mit 2\pi-periodischen Funktionen:

f*(2\pi \delta)=f \,

für jede Funktion f mit Periode 2\pi. Die Fourierreihe wird durch folgende "Funktion" repräsentiert:

2\pi \delta(x)\sim\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}=\left(1 +2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx)\right).

Beweis der trigonometrischen Identität[Bearbeiten]

Die trigonometrische Identität

\sum_{k=-n}^n e^{ikx}
=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}

kann wie folgt bewiesen werden. Dazu vergegenwärtige man sich die endliche Summe der geometrischen Reihe:

\sum_{k=0}^n a r^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.

Insbesondere gilt

\sum_{k=-n}^n r^k=r^{-n}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r}.

Multipliziert man Zähler und Nenner mit r−1/2, erhält man

\frac{r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r} =\frac{r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}.

Im Fall von r = eix erhält man

\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=\frac{e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}} =\frac{-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}

und kürzt schließlich durch "−2i".

Literatur[Bearbeiten]

  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7.Auflage, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
  • Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S.620 (vollständige Online-Version (Google Books))

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweis[Bearbeiten]

  1. W. Rudin, Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, London 1970. Abschnitt 5.11, S. 101