Dirichletsche Betafunktion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die dirichletsche Beta-Funktion, geschrieben mit dem griechischen Buchstaben  \beta , ist eine spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Rolle spielt. Sie ist verwandt mit der riemannschen Zeta-Funktion.

Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805−1859).

Definition[Bearbeiten]

Für eine komplexe Zahl  s , deren Realteil größer als 0 ist, ist die Beta-Funktion definiert über die Dirichletreihe:

\beta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}=1-\frac1{3^s}+\frac1{5^s}-\frac1{7^s}+\frac1{9^s}-+\ldots

Obwohl dieser Ausdruck nur auf der rechten Halbebene  \mathbb{H} = \{s \in \mathbb{C} | \mathrm{Re} s > 0 \} konvergiert, stellt er die Basis für alle weiteren Darstellungen der Beta-Funktion dar. Zur Berechnung der Beta-Funktion für alle Zahlen der komplexen Ebene bedient man sich ihrer analytischen Fortsetzung.

Produktdarstellung[Bearbeiten]

Für die Betafunktion existiert eine Produktdarstellung, die für alle komplexen  s , deren Realteil größer als 1 ist, konvergiert.

 \beta(s) = \prod_{p \equiv 1 \ \mathrm{mod} \ 4} \frac{1}{1 - p^{-s}} \prod_{p \equiv 3 \ \mathrm{mod} \ 4} \frac{1}{1 + p^{-s}}

Hierbei impliziert  p \equiv 1 \ \mathrm{mod} \ 4 , dass über alle Primzahlen der Form  p = 4m + 1 (also  p = 5, 13, 17, ... ) multipliziert wird. Analog bedeutet  p \equiv 3 \ \mathrm{mod} \ 4 , dass über alle Primzahlen, welche die Form  p = 4m + 3 besitzen (also  p = 3, 7, 11, ... ), multipliziert wird.

Funktionalgleichung[Bearbeiten]

Für alle  z \in \mathbb{C} gilt die Funktionalgleichung:

\beta(1-z)=\left(\frac2\pi\right)^z \sin\left(\tfrac12\pi z\right)\Gamma(z)\beta(z).

Hierbei ist  \Gamma(z) die Gammafunktion.

Sie dehnt den Definitionsbereich der Beta-Funktion auf die gesamte komplexe Zahlenebene aus.

Weitere Darstellungen[Bearbeiten]

Über die Mellin-Transformation der Funktion  f(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}} erhält man die Integraldarstellung:

\beta(s)=\frac1{\Gamma(s)}\int\limits_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x + e^{-x}}\,\mathrm dx,

wobei \Gamma(s) wieder die Gammafunktion bezeichnet.

Zusammen mit der hurwitzschen Zetafunktion erhält man für alle komplexen  s die Relation:

\beta(s)=4^{-s}\left( \zeta\left(s,\tfrac14 \right)-\zeta\left(s,\tfrac34\right) \right).

Eine andere gleichwertige Darstellung für alle komplexen s schließt die transzendente lerchsche Zeta-Funktion \Phi ein und lautet:

\beta(s)=2^{-s} \Phi\left(-1,s,{\tfrac12}\right).

Spezielle Werte[Bearbeiten]

Einige spezielle Werte der \beta-Funktion sind

\beta(0) = \tfrac12
\beta(1) = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}
\beta(2) = G\
\beta(3) = \frac{\pi^3}{32}
\beta(4) = \frac1{768}\left(\psi_3(\tfrac14)-8\pi^4\right)
\beta(5) = \frac{5\pi^5}{1536}
\beta(7) = \frac{61\pi^7}{184320}

Hierbei bezeichnet G die catalansche Konstante und \psi_3(z) ist die dritte Polygamma-Funktion.

Allgemein gilt für positive ganze Zahlen k die Rekursion:

\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}},

wobei E_n die n-te Euler-Zahl ist. Im Fall k>0 vereinfacht sich dies zu

\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}.

Ferner gilt für natürliche k:

\!\ \beta(-2k-1)=0.

Ableitung[Bearbeiten]

Ein Ableitungsausdruck für alle  \mathrm{Re} s > 0 ist gegeben durch:

 \beta^\prime(s) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{\ln(2n+1)}{(2n+1)^s}.

Spezielle Werte der Ableitungsfunktion sind:

\beta^\prime(-1)= \frac{2G}\pi = 0{,}583121\ldots
\beta^\prime(0) = \ln\frac{\Gamma^2(1/4)}{2\pi\sqrt2} = 0{,}391594\ldots
\beta^\prime(1) = \frac{\pi}4\left(\gamma+2\ln2+3\ln\pi-4\ln\Gamma(\tfrac14)\right) = 0{,}192901\ldots

(vgl. Folge A113847 in OEIS und Folge A078127 in OEIS mit der Euler-Mascheroni-Konstante  \gamma ).

Außerdem gilt für positive ganze Zahlen n:

\sum_{k=1}^\infty \ln\frac{(4k+1)^{1/(4k+1)^n}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^n}} = -\beta^\prime(n).

Weiteres[Bearbeiten]

Rivoal and Zudilin bewiesen 2003[1], dass mindestens einer der Werte \beta(2), \beta(4), \beta(6), \beta(8), \beta(10) und \beta(12) irrational ist.

Außerdem bewiesen Guillera und Sondow 2005[2] folgende Formel:

\int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \frac{[-\ln(xy)]^s}{1+x^2y^2}\mathrm dx\mathrm dy =\Gamma(s+2)\beta(s+2)

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Tanguy Rivoal, Wadim Zudilin: Diophantine properties of numbers related to Catalan's constant. In: Mathematische Annalen, Bd. 326 (2003), Nummer 4, Seiten 705–721, ISSN 0025-5831; vgl. PDF des mathematischen Instituts der Universität Köln
  2. Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan Journal. An international Journal devoted to the areas of mathematics, Bd. 16 (2008), Nummer 3, Seiten 247–270, ISSN 1382-4090; vgl. in arxiv

Weblinks[Bearbeiten]