Dirichletsche η-Funktion

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Die dirichletsche \eta-Funktion in der komplexen Zahlenebene.

In der analytischen Zahlentheorie ist die dirichletsche η-Funktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805–1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der riemannschen \zeta-Funktion.

Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben eta (\eta) notiert; die dedekindsche η-Funktion, eine Modulform, wird ebenfalls so bezeichnet.

Definition[Bearbeiten]

Die dirichletsche \eta-Funktion ist für alle komplexen  s mit Realteil größer als 0 definiert über die Dirichletreihe:

 \eta(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = 1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} - + \cdots.

Obwohl die Gültigkeit dieses Ausdrucks auf komplexe Zahlen mit positivem Realteil beschränkt ist, bildet er die Ausgangsbasis für alle Darstellungen der  \eta -Funktion. Sie kann auf die ganze komplexe Zahlenebene analytisch fortgesetzt werden, was eine Berechnung der  \eta -Funktion für alle beliebigen  s gewährleistet.

Euler-Produkt[Bearbeiten]

Ihre zahlentheoretische Bedeutung erhält die  \eta -Funktion durch ihre Verbindung zu den Primzahlen, die sich für  \mathrm{Re} s > 1 formelhaft durch das Euler-Produkt

 \eta(s) = \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^s}} = \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) \cdot \frac{1}{(1-\frac{1}{2^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{5^s})\cdots}

ausdrücken lässt.

Funktionalgleichung[Bearbeiten]

In ganz \mathbb{C} gilt die Identität:

\eta(1-s) = \frac{2^s - 1}{1 - 2^{s-1}} \pi^{-s} \cos\left(\frac{\pi s}2\right) \Gamma(s)\eta(s).

Verbindung zur Riemannschen  \zeta -Funktion[Bearbeiten]

Die Funktionalgleichung zwischen Dirichletscher  \eta und Riemannscher  \zeta -Funktion lässt sich aus den Dirichletreihendarstellungen beider Funktionen gewinnen. Der  \eta -Ausdruck wird durch Addition weiterer Dirichletreihen transformiert zu:

 \eta(s) + 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^s} = \eta(s) + \frac{2}{2^s} \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \zeta(s).

Wir folgern den Zusammenhang:

  \eta(s) = (1 - 2^{1-s}) \cdot \zeta(s),

der in ganz  \mathbb{C} Gültigkeit behält.

Weitere Darstellungen[Bearbeiten]

Integraldarstellung[Bearbeiten]

Eine Integraldarstellung für alle  \mathrm{Re}\,s > 0 enthält die Gammafunktion \Gamma(s) und lautet:

\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int\limits_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1}{\mathrm dx}.

Gültig für alle  s \in \mathbb{C} ist:

 \eta(s) = \frac{2^{s-1} - 1}{s-1} - (2^s - 2) \int \limits_0^\infty \frac{\sin(s \arctan x)}{(1 + x^2)^{s/2} (e^{\pi x} + 1)} \mathrm{d}x.

Reihendarstellung[Bearbeiten]

Eine in ganz  \mathbb{C} konvergente Reihe ist gegeben durch:

\eta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n \choose k} \frac {1}{(k+1)^s}.

Produktdarstellung[Bearbeiten]

Für alle  s \in \mathbb{C} konvergiert das Hadamard-Produkt[1], benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard:

 \eta(s) = \frac{1 - 2^{1-s}}{2(s-1)\,\Gamma(1 + s/2)} e^{(\ln (2\pi) - 1 - \gamma/2)s} \prod_{\rho} \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)e^{s/\rho}.

Es erstreckt sich über alle nicht-trivialen Nullstellen  \rho der  \eta -Funktion und leitet sich einfach aus dem Hadamard-Produkt der Zeta-Funktion ab.

Werte[Bearbeiten]

Es gilt:

\eta(0) = \tfrac12
\eta(-1)=\tfrac14.

Für natürliche k gilt mit den Bernoulli-Zahlen B_k

\eta(1-k) = \frac{2^k-1}{k} B_k.

Für gerade Argumente  2n = 2,4,6,8, ... gilt die allgemeine Formel:

\eta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{2^{2n-1} - 1}{(2n)!} B_{2n}\pi^{2n}.

Somit lässt sich der Zahlenwert von  \eta(2n) stets in der Form

 \eta(2n) = \frac{p_n}{q_n} \pi^{2n}

schreiben, wobei  p_n und  q_n zwei positive ganze Zahlen bezeichnen.

2n pn qn  \eta(2n)
2 1 12 0,82246703342411321823...
4 7 720 0,94703282949724591757...
6 31 30240 0,98555109129743510409 ...
8 127 1209600 0,99623300185264789922 ...
10 73 6842880 0,99903950759827156563 ...
12 1414477 1307674368000 0,99975768514385819085 ...
14 8191 74724249600 0,99993917034597971817 ...
16 16931177 1524374691840000 0,99998476421490610644 ...
18 5749691557 5109094217170944000 0,99999618786961011347 ...
20 91546277357 802857662698291200000 0,99999904661158152211 ...

Die ersten Werte für ungerade Argumente sind

\ \eta(1) = \ln2 (die alternierende harmonische Reihe)
\eta(3)=\frac34\zeta(3)
\eta(5)=\frac{15}{16}\zeta(5).

Nullstellen[Bearbeiten]

Aus der Relation

\eta(s) = (1-2^{1-s})\cdot\zeta(s)

ist leicht zu folgern, dass  \eta(s) sowohl für alle  m \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} bei  s_m = 1+\tfrac{2\pi mi}{\ln 2} , als auch zusätzlich an denselben Stellen wie  \zeta(s) verschwindet. Dazu gehören sowohl die sogenannten „trivialen“ Nullstellen bei  s = -2, -4, -6, -8, ... , also

 \eta(-2) = \eta(-4) = \eta(-6) = \eta(-8) = \cdots = 0,

als auch die „nicht-trivialen“ Nullstellen im Streifen  \{s \in \mathbb{C} | 0 < \mathrm{Re} s < 1 \} .

Die berühmte und bis heute unbewiesene Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen den Realteil 1/2 besitzen.

Ableitung[Bearbeiten]

Die Ableitung der  \eta -Funktion ist für  \mathrm{Re} s > 0 wieder eine Dirichletreihe.

 \eta'(s) = \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\ln n}{n^s}.

Ein geschlossener Ausdruck kann über

 \eta'(s) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(1 - 2^{1-s})\zeta(s) =\frac{}{}2^{1-s}(\ln2)\zeta(s)+(1-2^{1-s})\zeta^\prime(s),

und unter Anwendung der Produktregel gewonnen werden.

Weiteres[Bearbeiten]

Die Verwandtschaften von \eta zu der dirichletschen \lambda-Funktion[2] und der riemannschen \zeta-Funktion werden durch folgende Formel zum Ausdruck gebracht:[3]

\frac{\zeta(v)}{2^v}=\frac{\lambda(v)}{2^v-1}=\frac{\eta(v)}{2^v-2}

bzw.

\ \zeta(v)+\eta(v)=2\lambda(v).

Die dirichletsche eta-Funktion ist ein Spezialfall des Polylogarithmus, denn es gilt:

\ \eta(x)=-\mathrm{Li}_x(-1).

Damit ist sie auch ein Spezialfall der lerchschen Zeta-Funktion:

\,\eta(s)=\Phi (-1,s,1).

Außerdem gilt

\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{[-\ln(x y)]^s}{1+xy}\;\mathrm dx\,\mathrm dy=\Gamma(s+2)\eta(s+2).

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. André Voros: More Zeta Functions for the Riemann Zeros (PDF; 182 kB), CEA, Service de Physique Théorique de Saclay (CNRS URA 2306), Seite 6.
  2. Eric W. Weisstein: Dirichlet Lambda Function. In: MathWorld (englisch).
  3. J. Spanier, K. B. Oldham: The Zeta Numbers and Related Functions. In: An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, S. 25–33, 1987.