Dirichletscher Approximationssatz

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Der dirichletsche Approximationssatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist ein mathematischer Satz über die Qualität der Approximation (Annäherung) reeller Zahlen durch rationale Zahlen.

Der Satz lautet: Zu jedem \alpha \in \mathbb{R} und jedem N \in \N existieren ein q \in \mathbb{N}, 1 \leq q \leq N und ein p \in \mathbb{Z}, so dass

\left| q \alpha - p \right| \le \frac{1}{N+1}.

Dieser Satz kann mithilfe des Schubfachprinzips bewiesen werden.

Aus dem Satz folgt nach Division durch q und Beachtung von q<N+1, dass es zu jedem reellen \alpha unendlich viele Paare (p,q) positiver ganzer Zahlen gibt, die

\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}

erfüllen. Für rationale Zahlen \alpha=\tfrac{a}{b} haben fast alle solche Approximationen die Form p=ka,q=kb, interessant ist die Unendlichkeitsaussage also nur für irrationale Zahlen. Der Satz von Hurwitz verbessert die Ungleichung noch um den Faktor \sqrt{5}.

Beispiel: Sei  \alpha = \sqrt{2} und N=10. Dann ist nach dem dirichletschen Approximationssatz (mindestens) eine der Zahlen  \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \dotsc, 10 \sqrt{2} um höchstens 1/11 von einer ganzen Zahl entfernt. Tatsächlich ist

\left| 5 \sqrt{2} - 7 \right| = \left| 7,07106\dotso - 7 \right| = 0.07106\dotso \leq 0.090909\dotso = \frac{1}{11}.

Literatur[Bearbeiten]

  • Hans Rademacher, Otto Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Kapitel 15: „Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale“, Springer 1930 und zahlreiche Neuauflagen.