Disjunkte Vereinigung

Im mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre gibt es zwei leicht unterschiedliche Verwendungen des Begriffes disjunkte Vereinigung.

Definition

Die nachfolgende Unterscheidung entspricht genau dem Unterschied zwischen innerer und äußerer direkter Summe.

Erste Variante: Vereinigung disjunkter Mengen

Eine Menge $X$ ist die disjunkte Vereinigung eines Systems $(X_i)_{i\in I}$ von Teilmengen $X_i\subseteq X$, geschrieben

$X = \dot{\bigcup_{i\in I}}X_i,$

wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• $X_i\cap X_j=\varnothing,$ falls $i\ne j$, das heißt die $X_i$ sind also paarweise disjunkt;
• $\textstyle X=\bigcup\limits_{i\in I}X_i$, das heißt $X$ ist die Vereinigung aller Mengen $X_i$.

Zweite Variante: Disjunkte Vereinigung beliebiger Mengen

Sind Mengen $X_i$ für $i\in I$ gegeben, so heißt die Menge

$\bigsqcup_{i\in I}X_i=\bigcup_{i \in I}\{(i,x)\mid x\in X_i\}$

die disjunkte Vereinigung der Mengen $X_i$. Sie ist in etwa eine Vereinigung, bei der die Mengen vorher künstlich disjunkt gemacht werden.

Eigenschaften

• Für die Mächtigkeiten gilt: $\left|\bigsqcup\limits_{i\in I}X_i \right|= \sum_{i\in I} |X_i|$.
• $\bigsqcup X_i$ ist das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Mengen. Das bedeutet: Abbildungen $f \colon \bigsqcup\limits_{i\in I} X_i\to Y$ entsprechen eineindeutig Systemen von Abbildungen $(f_i)_{i\in I}$ mit $f_i\colon X_i\to Y$.
• Sind die Mengen $X_i$ disjunkt, so ist die kanonische Abbildung $\bigsqcup\limits_{i\in I}X_i\to\bigcup\limits_{i\in I}X_i$ bijektiv.
• Die disjunkte Vereinigung $\bigsqcup\limits_{i\in I}X_i$ ist das Koprodukt in der Kategorie der Mengen.

Beispiele

Beispiel nach der ersten Definition

Disjunkte Vereinigung von $A = \{1, 2, 3\}$ und $B = \{4, 5, 6\}$.

• $A\cap B=\varnothing$ Beide Mengen sind disjunkt
• $A\;\dot{\cup}\; B=C$
• $C$ ist die disjunkte Vereinigung der Mengen $A$ und $B$ ⇒ $C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
• Die Mengen $A$ und $B$ bilden hierbei eine Partition der Menge $C$

Beispiel nach der zweiten Definition

Disjunkte Vereinigung von $X_1 = \{1,2,3\}$ und $X_2 = \{1,2,3,4\}$.

• $I = \{1,2\}$
• $\textstyle \bigsqcup\limits_{i \in I} X_i = \bigcup\limits_{i \in I}\{(i,x)\mid x \in X_i\} = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)\}$