Diskriminante

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Diskriminante (Begriffsklärung) aufgeführt.

Die Diskriminante (lat. discriminare = unterscheiden) ist ein Rechenausdruck, der Aussagen über Zahl und Art der Lösungen einer algebraischen Gleichung ermöglicht. Am bekanntesten ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung.

Diskriminante einer quadratischen Gleichung[Bearbeiten]

Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung a x^2 + b x + c = 0 mit reellen Koeffizienten a, b und c lassen sich mit der Mitternachtsformel

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}

berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der Wurzel, dem sogenannten Radikand, ab.

Dieser Ausdruck

b^2 - 4 a c

heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung a x^2 + b x + c = 0 und werde im Folgenden mit D bezeichnet.

  • Für D > 0 hat die Quadratwurzel in der Lösungsformel einen positiven Wert, sodass es zwei verschiedene reelle Lösungen x_1 und x_2 gibt.
  • Für D = 0 hat die Quadratwurzel den Wert 0. Da es keinen Unterschied macht, ob man 0 addiert oder subtrahiert, gibt es trotz des Plus-Minus-Zeichens genau eine reelle Lösung (der Vielfachheit 2).
  • Für D < 0 ist die Quadratwurzel der Lösungsformel im Körper der reellen Zahlen (\mathbb{R}) nicht definiert. Es existiert also keine reelle Lösung. Anders sieht die Situation aus, wenn man den Körper der komplexen Zahlen zugrunde legt. In diesem Fall gibt es zwei (nicht-reelle) Lösungen, die zueinander konjugiert komplex sind.

Motivation des allgemeinen Diskriminanten-Begriffs[Bearbeiten]

Es sei p_n=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\in\R[x] ein Polynom mit den Nullstellen  x_1,x_2,\dots,x_n, von denen einige möglicherweise komplex sind. Der Ausdruck

(x_1-x_2)(x_1-x_3)\dots(x_2-x_3)(x_2-x_4)\dots(x_3-x_4)\dots(x_{n-1}-x_n)=\prod_{i<j}(x_i-x_j),

der aus {n\choose 2} Faktoren besteht (ein Faktor für jedes Nullstellenpaar), verschwindet genau dann, wenn (mindestens) eine Nullstelle mehrfach auftritt. Der Ausdruck ist nicht symmetrisch in den Nullstellen, d.h. dass sich sein Wert möglicherweise verändert, wenn man die Nullstellen umnummeriert. Die Symmetrie kann man erzwingen, indem man alle Faktoren quadriert:

D_n=a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2\dots(x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2\dots(x_3-x_4)^2\dots(x_{n-1}-x_n)^2.

Dieser Ausdruck D_n ist ein homogenes symmetrisches Polynom vom Grad n(n-1). Man nennt ihn die Diskriminante des Polynoms p_n. (Die Bedeutung des Normierungstermes a_n^{2n-2} wird weiter unten erläutert.)

Beispiele[Bearbeiten]

Quadratisches Polynom[Bearbeiten]

Ein allgemeines Polynom vom Grad 2 hat die Form p_2=ax^2+bx+c mit a\neq0. Seine Diskriminante ist D_2=a^2(x_1-x_2)^2=a^2(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2).

Mit dem Satz von Vieta und quadratischer Ergänzung lässt sie sich umformen in: D_2=a^2\left((x_1+x_2)^2-4x_1x_2\right)=a^2\left(\left(\frac{-b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}\right)=b^2-4ac.

Das quadratische Polynom p_2 hat also genau dann eine doppelte Nullstelle, wenn b^2-4ac=0 gilt.

Kubisches Polynom[Bearbeiten]

Ein allgemeines Polynom vom Grad 3 hat die Form p_3=ax^3+bx^2+cx+d mit a\neq 0. Seine Diskriminante ist D_3=a^4(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2.

Mit dem Satz von Vieta lässt sie sich (mit aufwendiger Rechnung) umformen in

D_3=b^2c^2-4ac^3-4b^3d+18abcd-27a^2d^2.

Dieser Ausdruck ist unhandlich und lässt sich schwer merken. Berücksichtigt man, dass sich jede kubische Gleichung ax^3+bx^2+cx+d=0 nach Division durch a und anschließender Substitution y=x+\tfrac{b}{3a} auf eine Gleichung der Form y^3+3py+2q=0 bringen lässt, so erhält man eine besser merkbare Formel für die Diskriminante: D_3=-108a^4(p^3+q^2)

Ein reduziertes kubisches Polynom p_3=y^3+3py+2q besitzt also genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn p^3+q^2=0 gilt. In Schulbüchern wird häufig dieser Ausdruck als Diskriminante bezeichnet, der Faktor -108a^4 wird also ignoriert.

Polynome höheren Grades[Bearbeiten]

Das oben beschriebene Verfahren funktioniert für Polynome beliebigen Grades. Aus der Theorie der symmetrischen Funktionen und dem Satz von Vieta folgt, dass der Ausdruck

D_n=a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2\dots(x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2\dots(x_3-x_4)^2\dots(x_{n-1}-x_n)^2.

stets auf eine eindeutige Art als (polynomiale) Funktion der Koeffizienten des Polynoms p_n dargestellt werden kann.

Bemerkungen zum Vorzeichen der Diskriminante[Bearbeiten]

  • Sind alle Nullstellen eines Polynoms reell, so ist die Diskriminante D\ge 0. Das folgt sofort aus der Definition.
  • Für quadratische und kubische Polynome gilt auch die Umkehrung: Ist D\ge 0, so sind alle Nullstellen reell.
  • Das Polynom p_4=x^4+4 besitzt die vier Nullstellen 1+i, 1-i, -1+i und -1-i. Die Diskriminante hat den Wert 16384, ist also positiv. Dennoch sind die Nullstellen nicht reell.

Normierungsfaktor[Bearbeiten]

In der oben verwendeten Definition tritt der Faktor a_n^{2n-2} auf. Er bewirkt, dass beim Verwenden des Satzes von Vieta die Nenner verschwinden, dass also die Diskriminante als Polynom in den Koeffizienten a_0,a_1,\ldots,a_n erscheint. Je nach Kontext und Verwendungszweck der Diskriminante wird die Definition leicht abgeändert:

  • Anstelle von a_n^{2n-2} wird der Faktor (-1)^{n(n-1)/2}a_n^{2n-2} gesetzt.
  • Anstelle von a_n^{2n-2} wird der Faktor (-1)^{n(n-1)/2}a_n^{2n-1} gesetzt.
  • Anstelle von a_n^{2n-2} wird der Faktor a_n^{2n-1} gesetzt.
  • Der Faktor a_n^{2n-2} wird weggelassen.

Bei den ersten drei Varianten ist Vorsicht geboten mit Aussagen, wie sie im Abschnitt “Bemerkungen zum Vorzeichen der Diskriminante” gemacht werden.

Allgemeine Definition[Bearbeiten]

Sei f=f_0+f_1X+\dots+f_nX^n\in R[X] ein univariates Polynom über einem kommutativen unitären Ring. Die Diskriminante von f ist definiert als die um f_n reduzierte Resultante von f mit seiner Ableitung f′:

f_n\operatorname{Disk}(f)=(-1)^{n(n-1)/2}\operatorname{Res}(f,f').

Die Diskriminante wird auch mit dem Symbol \Delta (f) bezeichnet.

Ist R=K ein Körper und f_n=1, so gilt wie oben

\operatorname{Disk}(f)=\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2;

dabei seien x_1,\ldots,x_n die Nullstellen von f in einem algebraischen Abschluss von K.

Hinweis: Oft wird die Diskriminante ohne den zusätzlichen Faktor (-1)^{n(n-1)/2} definiert; der entsprechende Vorfaktor ist dann in der oben angegebenen Formel zur Berechnung der Diskriminante aus den Nullstellen zu ergänzen.

Bemerkung[Bearbeiten]

Ausgeschrieben ist die Resultante eines Polynoms f(x)=f_0+f_1 x +\dots + f_n x^n mit seiner Ableitung f'(x)=f_1 +\dots + nf_n x^{n-1}gleich der Determinante der (2n-1)\times (2n-1)-Matrix


\begin{pmatrix}
f_{n} & f_{n-1} & \cdots & f_{1} & f_0 & 0 & \cdots & 0 \\
  0 & f_{n} & f_{n-1} & \cdots & f_{1} & f_0 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots &  0\\
  0 & 0 &  0 & f_{n} & f_{n-1} & \cdots & f_{1} & f_0 \\
n f_n & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 & 0 & 0 & \cdots& 0\\
  0 & n f_n & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 & 0 & \cdots &  0\\
  \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\
  0 & 0 & 0 & n f_n & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & n f_{n} & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 \\
\end{pmatrix}
.

Da die erste Spalte aus Vielfachen von f_n besteht, kann dieses als Faktor von der Determinante abgespalten werden.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]