Diskriminante (Modulform)

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Die Diskriminante Δ ist eine auf der oberen Halbebene \mathbb H=\{z\in\mathbb C\mid\mathrm{Im}\,z>0\} holomorphe Funktion.

Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen.

Definition[Bearbeiten]

Für z \in \mathbb{H} sei \Delta(z):= g_2^3(z)-27g_3^2(z),

dabei sind g_2(z)=60G_4(z) und g_3(z)=140G_6(z) die Eisensteinreihen zum Gitter \Z z+\Z.

Produktentwicklung[Bearbeiten]

Die Diskriminante Δ lässt sich in ein unendliches Produkt entwickeln, es gilt:

\Delta(z)= (2\pi )^{12}e^{2\pi iz}\prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{2\pi inz})^{24}

Aus der Produktdarstellung folgt unmittelbar, dass \Delta in \mathbb{H} keine Nullstellen hat.

Die Diskriminante Δ ist eng verwandt mit der Dedekindschen η-Funktion, es ist \Delta (z)= (2\pi)^{12} \eta^{24}(z).

Transformationsverhalten[Bearbeiten]

Die Diskriminante Δ ist eine ganze Modulform vom Gewicht 12, d.h. unter den Substitutionen von

\Gamma :=SL_2(\Z)=\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\mid a,b,c,d\in\Z, ad-bc=1\} gilt:

\Delta\left(\frac{az +b}{cz +d}\right)= (cz +d)^{12}\Delta(z).

Die Diskriminante Δ hat eine Nullstelle bei z=\infty und ist damit das einfachste Beispiel für eine sogenannte Spitzenform (engl. cusp form).

Fourierentwicklung[Bearbeiten]

Die Diskriminante Δ lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

\Delta(z)=(2\pi )^{12}\sum_{n=1}^{\infty} \tau(n)\,{\mathrm e}^{2\pi inz}.

Die Fourierkoeffizienten sind alle ganze Zahlen und werden als Ramanujansche tau-Funktion

bezeichnet. Diese ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, d.h.

\tau(m)\cdot\tau(n) = \tau(m\cdot n) für teilerfremde m,n \in 

\N,

wie im Jahre 1920 von Louis Mordell bewiesen wurde. Genauer gilt die Formel

\tau(m) \tau(n) = \sum_{d\,|(m,n)} \!\! d^{11}\tau\left(\frac{mn}{d^2}\right).

Für die ersten Werte der tau-Funktion gilt:

\tau(1)=1
\tau(2)=-24
\tau(3)=252.

Bis heute ist keine „einfache“ arithmetische Definition der tau-Funktion bekannt. Ebenso ist bis heute unbekannt, ob die von D. H. Lehmer aufgestellte Vermutung

\tau(m) \neq 0 für alle m \in \N richtig ist.

Ramanujan vermutete, dass für Primzahlen p gilt:

|\tau(p)| \le 2p^{11/2}.

Diese Vermutung wurde im Jahre 1974 von Deligne bewiesen.

Die \tau(n) erfüllen die bereits von Ramanujan entdeckte Kongruenz

\tau(n)\equiv \sigma_{11}(n)\mod 691

mit

\sigma_{11}(n)=\sum_{d\,\mid n}d^{11}

Literatur[Bearbeiten]