Diskussion:Algebraische Gleichung

Bezeichungswirrwarr

So richtig konsistent ist die Bezeichnung noch nicht. Einerseits reicht es, dass die Koeffizienten reell bzw. komplex sind (Fundamentalsatz der Algebra), andererseits wird verlangt, dass sie rational bzw. ganzzahlig (evtl. auch komplex-ganzzahlig bzw. komplex-rational) sind (Definition der algebraischen Zahl). en:Algebraic equation ist da präziser. --NeoUrfahraner 10:41, 14. Jan. 2008 (CET)

Ich wollte es nicht gleich total neu schreiben. Du hast aber halb recht. „Algebraisch“ in „algebraische Zahl“ ist ein relativer Begriff, relativ zum Ganzheitsbereich. Komplexe Zahlen sind reell algebraisch. Die algebraischen reellen Zahlen, die man üblicherweise meint, sind algebraisch über den rationalen Zahlen.--LutzL 11:23, 14. Jan. 2008 (CET)

Hab's jetzt überarbeitet. Die Definition von Grad und Absolutglied findet sich im Polynomartikel und braucht hier nicht nochmals erwähnt werden. Im Gegensatz zur englischen Version habe ich auch Koeffizienten aus einem Ring erlaubt (das war vorher schon implizit im Artikel); ich bin mir allerdings nicht sicher, ob das tatsächlich verbreitet ist. --NeoUrfahraner 11:19, 14. Jan. 2008 (CET)

Wollte grad antworten, aber Du warst schneller. So richtig schön ist dieser Begriff insgesamt nicht, liegt irgendwo zwischen „algebraische Zahl“, „algebraisches Gleichungssystem“ und Algebro-differentialgleichung(ssystem). Man könnte ja auch sagen: „algebraisch drückt einen arithmetischen Zusammenhang aus“. Ist aber jetzt wesentlich besser als vorher.--LutzL 11:28, 14. Jan. 2008 (CET)

Unklarheit in den letzten beiden Sätzen

"Man kann aber auch den Differentialoperator als Element einer nichtkommutativen Algebra, der Differentialalgebra, auffassen." Das stammt anscheinend von LutzL (http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Algebraische_Gleichung&diff=41171836&oldid=41083783 ); - kannst Du das bitte etwas genauer erläutern. --NeoUrfahraner 07:21, 15. Jan. 2008 (CET)

Man fügt zu den Polynomen R[X,Y,...] ein Element D hinzu mit den definierenden Relationen DX=1+XD. Das ist offensichtlich nichtkommutativ, man kann aber immer noch Ideale untersuchen, auch wenn diese einseitig sind. Das Ideal (DY-XY) würde dann auch DDY-Y-XDY enthalten usw. Das kann aber auch raus. Ich wollte einfach den Bezug zu den Algebro-Differentialgleichungen retten, der vorher definitiv falsch dargestellt war.--LutzL 10:40, 15. Jan. 2008 (CET)

Inwiefern falsch dargestellt? --NeoUrfahraner 10:51, 15. Jan. 2008 (CET)

Weil man mit algebraischen Gleichungen nicht nur "Zahlen" sucht bzw. darstellt, sondern eben auch Funktionen charakterisieren kann. Es wurde ein Gegensatz konstruiert, der nicht existiert, und von dem eine Seite auch noch falsch ist. Und Differentialalgebren sind ein Werkzeug, um eben Differentialgleichungen algebraisch zu untersuchen, im weitesten Sinne wird die Potenzreihenentwicklung der Lösung charakterisiert.--LutzL 13:21, 15. Jan. 2008 (CET)

OK, Zahlen ist in diesem Fall nicht richtig, es geht tatsächlich um Funktionen. Ein typisches Beispiel einer Differential-algebraische Gleichung ist ${\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},t),\quad 0=f_{2}(x_{1},x_{2},t)$, und im Gegensatz zur Differentialgleichung ${\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},t)$ wird die Gleichung $0=f_{2}(x_{1},x_{2},t)$ in diesem Zusammenhang als "algebraische Gleichung" bezeichnet, unabhängig davon ob $f_{2}$ polynomial ist oder "komplizierter". Wozu aber Differntialalgebren an dieser Stelle nötig sind, ist mir unklar. --NeoUrfahraner 13:32, 15. Jan. 2008 (CET)

Ich hab's jetzt überarbeitet, um diesen Punkt klarer zu machen. Einverstanden? --NeoUrfahraner 09:15, 16. Jan. 2008 (CET)

mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $K$ und $a_{n}\neq 0.$

Bitte um zweite Meinung: $a_{n}\neq 0.$ ist unnötig. Wäre $a_{n}=0$, dann hätte das Polynom nicht den Grad n, sondern n-1. Entsprechend der Definition für den Grad ist also diese Aussage nicht notwendig.--BookRings (Diskussion) 12:52, 21. Apr. 2016 (CEST)

Der Nebensatz wird ja mit „also“ angeschlossen. Es soll also nochmal erklärt werden, was ein Polynom n-ten Grades ist. -- HilberTraum (d, m) 11:25, 22. Apr. 2016 (CEST)

Unklarheit im letzten Satz

„So bezeichnet man beispielsweise bei der Algebro-Differentialgleichung“... Wie geht der Satz denn weiter (zwischen Haupt- und Nebensatz fehlt etwas)? --2003:D0:2F47:96B7:604C:ADDB:5790:E5D 00:04, 26. Aug. 2020 (CEST)