Diskussion:Apéry-Konstante
Apéry-Beukers[Quelltext bearbeiten]
Im Moment erscheint hier der Eindruck, als hätten Apéry und Beukers unabhängig voneinander zwei Beweise gefunden. Man korrigiere mich, wenn ich falsch liege, aber meines Wissens nach hat Beukers eine Modifikation durch Analyse von Apérys Beweis durchgeführt, sprich: Ohne Apéry hätte es nie eine Beukers-Veröffentlichung gegeben. --Tolentino 10:21, 21. Sep. 2008 (CEST)
Über die Geschichte beider Beweise ist im Artikel (noch) nichts ausgeführt. Wichtig ist zunächst, daß Beweise stets den Autoren richtig zugeordnet werden, insbesondere dann wenn mit völlig verschiedenen Methoden gearbeitet wird. Apery hat in seiner Veröffentlichung die Ausführungen so knapp gehalten, daß jegliches Nachvollziehen unmöglich ist. Erst nachdem klar war, dass der Beweis korrekt ist (es gab dazu mehrere Artikel französischer Seminare, die etwas ausführlicher sind) und somit klar war, daß die Sache "machbar" ist, also im Sinne von Carl Ludwig Siegel die Schwierigkeit des Beweises "einschätzbar ist", konnte man die Sache auch von anderen Richtungen angehen (man will ja gerne eine Gewißheit haben, dass es mit "vertretbarem Aufwand" machbar ist und sich nicht verrennen). Der Beweis von Apery ist derart trickreich (aber zugleich unglaublich schön), daß er nur von sehr wenigen Mathematikern nachvollzogen wurde. Insbesondere die Übergänge Apery'sche Reihe -> 3-glied-Rekursion -> Kettenbruch -> Irrationalität werden oft unzureichend dargestellt und man benötigt tiefere Einblicke in die analytische Zahlentheorie. So hat dann Beukers einen alternativen Beweis gefunden. Die meisten haben sich mit dem Verständnis des Beweises von Beukers begnügt und der Originalbeweis von Apery ist in Vergessenheit geraten. Momentan erlebt er aber eine gewisse Renaissance, da russische Mathematiker Apery-Relationen für , die Catalansche Konstante und die Eulersche Konstante gefunden haben. Der letzte Übergang zur Irrationalität gelingt hier aber nicht so einfach. Grundsätzlich wird aber an beiden Beweisen deutlich: in der Mathematik gibt es zwei Prinzipien:
- Ausnutzung allgemeiner Strukturen
- Ausnutzung ganz spezieller Eigenschaften
Bei Irrationaliätsbeweisen wird immer wieder die Grenze von allgemeinen Methoden deutlich, hier helfen nur ganz spezielle Methoden (die oft nur bei einer ganz bestimmten Zahl funktionieren) und dann ist es ganz besonders wichtig möglichst viele verschiedene Beweise zu finden um so die Sache von unterschiedlichen Blickwinkeln zu beleuchten. Im Lichte dessen ist es eine sehr eingeschränkte Sicht und ein dämlicher Dogmatismus immer nur vom Beukerschen Beweis zu sprechen. Alternativen sind gefragt!!! --Skraemer 14:51, 21. Sep. 2008 (CEST)
- Super, vielen Dank für die Informationen; ich selber habe Apéry auch nicht gelesen, wobei mich das Frenzösische auch abschreckt. Vielleicht könnte man den Artikel um deine Informationen erweitern, es ist bestimmt sehr lohnenswert! --Tolentino 15:26, 21. Sep. 2008 (CEST)
Es gibt etliche Mini-Artikel über den Original-Beweis von Apery. Zur Lektüre kann ich empfehlen:
- bezüglich : http://wain.mi.ras.ru/PS/apery.dvi (alternativer Beweis nach Rivoal-Nesterenko, basierend auf Apery)
- bezüglich : http://wain.mi.ras.ru/PS/recur5e.dvi
Schau wenigsten mal kurz rein, um den Unterschied zu sehen. Der Originalbeweis ist wegen seiner Knappheit echt witzig (als lange, belehrende Übungsaufgabe formuliert).
Natürlich wäre es wünschenswert den Artikel auszubauen. Aber da ist wirklich ein erheblicher Kraftakt erforderlich, denn die Quellen sind sehr verstreut. Zuvor müßte auch der Beweis von Apery in der Fachliteratur besser aufgearbeitet werden, um so besser die Beweise vergleichen zu können. Aber dafür scheint niemand Mittel und Zeit zu haben, zumal hier in Deutschland die Zahlentheorie fast ausgestorben ist und die Mehrheit sich fast nur mit allgemeineren Fragen beschäftigt. Seltsam ist auch, dass den für den Beweis wichtigen Reihen-Ansatz bereits ca. 1880 Markov und unabhängig 1953 die Studentin Margrete Munthe Hjortneas (*1927) fand. Ich weis von einzelnen Mathematikern, daß sie bereits vor Apery Kenntnis von dieser Reihe hatten, diese aber sonst nicht weiter verbreitet wurde. Dies zeigt das geringe Interesse der mathematischen Allgemeinheit an der Problematik. Schau mal, wie mager die französischen Seiten zu Apery und seiner Konstanten sind und die sitzen an den Quellen. --Skraemer 15:50, 21. Sep. 2008 (CEST)
- Ja, die Unterschiede sind unübersehrbar. Es sind wirklich sehr schöne Referenzen, bei Gelegenheit werde ich mal den ersten Artikel genauer durcharbeiten, nur habe ich im Moment dazu keine Zeit, aber es eilt ja auch nicht. Vielen Dank nochmals für die vielen interessanten Anmerkungen, --Tolentino 09:13, 22. Sep. 2008 (CEST)
Wahrscheinlichkeit[Quelltext bearbeiten]
Hallo! Meines Wissens ging es in der Diskussion P:QSM#Apéry-Konstante hauptsächlich um das Verständnis des Begriffs der "asymptotischen Wahrscheinlichkeit". Tatsächlich lässt sich diese meiner Erfahrung nach am besten über die "asymptotische Dichte" der zu betrachtenden Zahlen (siehe z.B. Primzahlfunktion) erklären und verstehen. Daher verstehe ich nicht, weshalb die Bearbeitung als "unerwünscht" zurück gewiesen wurde. -- Googolplexian 20:34, 19. Dezember 2011 (CEST)
- Es geht in diesem Lexikonartikel um die Apéry-Konstante und nicht um die asymptotische Dichte. Aus demselben Grund beschreiben wir hier z.B. auch nicht, was ein Integral ist oder wie eine Reihe definiert wird. Übrigens erklärt Dein Vorschlag nicht einmal den dreidimensionalen Fall. --84.130.176.13 20:48, 19. Dez. 2011 (CET)