Diskussion:Cauchysche Integralformel

Die erste Version dieses Artikel ist eine Auslagerung durch Kopie von [1], siehe auch [2]. --DaTroll 19:33, 19. Aug 2005 (CEST)

Ein paar Fragen

1. Zitat aus der Einleitung: (Die Cauchysche Integralformel) besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer holomorphen Funktion $f$ im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Ist im Inneren einer Kreisscheibe nicht doppelt gemoppelt? Eine Kreisscheibe ist schließlich das Innere eines Kreises (zumindest sagt es so die Definition der Kreisscheibe im Artikel Kreis (Geometrie)).
2. Was bedeutet der senkrechte Strich in $f|_U(z)$?
3. Trotz Erfüllung aller Bedingungen des Cauchyschen Integralsatzes (geschlossener Weg, etc.) hat das Integral $h(z)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z}$ nicht den Wert 0 sondern den Wert $2\pi\mathrm{i}$. Allein das finde ich schon komisch. Zusätzlich frage ich mich, wie es gerade zu diesem Wert kommt.

Danke, --Abdull 17:09, 7. Jun 2006 (CEST)

1. Es gibt auch abgeschlossene Kreisscheiben, dann ist das Innere die Scheibe ohne ihren Rand.
2. Einschränkung, d.h. diejenige Funktion $g\colon U\to\mathbb C$ mit $g(z)=f(z)$ für $z\in U$.
3. Die Funktion $\zeta\mapsto\frac1{\zeta-z}$ ist nicht holomorph, da sie bei $z$ einen Pol besitzt.

--Gunther 17:14, 7. Jun 2006 (CEST)

1. Ah, so wie in Innerer Punkt...?
2. ok
3. auch ah, den Pol hatte ich übersehen. Danke. Zum Wert $2\pi\mathrm{i}$. Ich denke mal, dass sich das Integral $h(z)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z}$ analog lösen lässt wie der einfachere Fall (Achtung, hier ist z das Differenzial) $\oint_\gamma \frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} { ie^{it} \over e^{it} }\,dt= \int_0^{2\pi}i\,dt = 2\pi i$ (mit $\gamma(t) = e^{it} \quad t \in \left[0,2\pi\right]$, dem Einheitskreis. Wahrscheinlich kann man dann h(z) durch Integration durch Substitution lösen, oder so.

--Abdull 18:25, 7. Jun 2006 (CEST)

1. Ja, genau. 3. Ach ja, das hatte ich übersehen: Dass alle diese Integrale denselben Wert haben, folgt in der Tat aus dem Cauchyschen Integralsatz: Zeichne zwei ineinander enthaltene, nicht konzentrische Kreise und verbinde sie mit einer Strecke. Dann zerfällt der Ring in eine Art "C", und wenn man auf dessen Rand den Cauchyschen Integralsatz anwendet, dann sieht man, dass sich die Integrale über die beiden Streckenstücke wegheben, und es ergibt sich, dass die Integrale über die beiden Kreise denselben Wert haben. So in etwa, ohne Bild ist das schwer zu erklären, ich kümmere mich mal drum.--Gunther 18:36, 7. Jun 2006 (CEST)

Toll, Bildchen! --Abdull 19:21, 7. Jun 2006 (CEST)

Wenn man im Bild über $\alpha+\beta+\gamma+\delta$ integriert, umgeht man die Singularität, also ist das Integral null. Die Wege $\beta$ und $\delta$ heben sich auf, also ist $\int_\alpha+\int_\gamma=0$, d.h. wenn man beide Kreise in positiver Richtung durchläuft, haben die zugehörigen Integrale denselben Wert. Aus Sicht eines der Kreise besagt das, dass der Wert des Integrals nicht davon abhängt, ob $z$ der Mittelpunkt ist oder nicht. Klar?--Gunther 20:17, 7. Jun 2006 (CEST)

Unverständlich.

Der Satz sollte in Worten ausgedrückt dastehen. Rein praktisch ist doch

$f^{(n)}|_U(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left( \zeta-z \right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta.$

die wichtige Formel(?). Mir ist nicht klar, wie sich die aus

$f|_U(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta$

ergibt. Wie man damit Integrale löst, ist auch nicht erläutert, sondern nur durch scharfes Hingucken erratbar. --84.189.99.175 01:17, 14. Jul. 2009 (CEST)

Beweise fehlerhaft?

Im Artikel unter "Beweise" lautet die zweite Zeile:

$f^{(n)}|_{U}(z)=\frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta$

Ist da nicht ein f zuviel? D.h. müsste es nicht lauten

$f^{(n)}|_{U}(z)=\frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta$

wenn man die partielle differentiation unter dem integral mal ausführt erhält man nämlich

$\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)} = \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}} f(\zeta) * \frac{1}{\zeta-z} + f(\zeta) * \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}} \frac{1}{\zeta-z}$, wobei der erste Summand gleich 0 ist. --91.35.51.56 (13:59, 25. Dez. 2009 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Kreisscheibe?

Sagt der Satz nicht noch viel mehr? Der gilt doch nicht nur, wenn $U$ eine Kreisscheibe ist, sondern für jedes einfach zusammenhängende Gebiet, dessen Rand $\partial U$ in C¹ ist, oder? Siehe auch z.B. http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/komplex/komplex-2-08.pdf M.E. sollte das hier unbedingt stehen, weil das IMO ein heftiger Unterschied zum reellen Fall (da: harmonische Funktionen) ist, wo man (soweit ich weiß) das so einfach tatsächlich nur über Kreisscheiben sagen kann. --217.186.215.243 22:21, 21. Jan. 2010 (CET)

Beweise

Wikipedia ist kein Beweisarchiv. Insbesondere überfrachtet der Beweis zu den Folgerungen den Artikel ziemlich. Kann der gelöscht werden? --Christian1985 (Diskussion) 17:06, 26. Mär. 2011 (CET)

Fehler im Beweis

Dort steht:

g ist stetig auf U und holomorph auf U\setminus\{z\}. Mit dem Integralsatz von Cauchy gilt nun...

Um den Integralsatz von Cauchy anwenden zu können, müssen wir doch erst zeigen, dass g auf komplett U holomorph ist. Ein späteres Resultat ist zwar, dass die Stetigkeit hier die Holomorphie impliziert, jedoch ist das weder erwähnt noch praktisch, da dies ein viel schwierigeres Resultat ist, das man auch erst beweisen müsste, womöglich mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel. --Jobu0101 10:41, 2. Sep. 2011 (CEST)

Notation

Gibt es einen besonderen Grund, $f|_U(z)$ statt einfach f(z) zu schreiben? Ich finde das so eher verwirrend. --217.227.112.250 20:26, 18. Nov. 2011 (CET)

Die Notation soll wohl andeuten, dass auf diese Weise nicht die ganze Funktion f rekonstruiert wird, sondern man nur den Teil der Funktion - und zwar den mit Definitionsbereich U - erhält. Also auf Deutsch: Es soll symbolisieren, dass z aus U ist. --Christian1985 (Diskussion) 10:43, 19. Nov. 2011 (CET)

OK, aber ich find's trotzdem eher verwirrend. Schließlich steht schon da "dann gilt für alle z aus U" und die Formel liefert den Funktionswert f(z) zunächst erstmal für ein festgehaltenes z. -- 87.144.246.77 21:48, 20. Nov. 2011 (CET)

Okey ich habe die Einschränkung auf U gelöscht, wurde auch im Artikel nicht konsequent verwendet. --Christian1985 (Diskussion) 09:29, 21. Nov. 2011 (CET)