Diskussion:Isomorphismus

Definition in der Kategorientheorie

f o g bildet X nach X ab. Warum ist es dann idY? --141.84.220.127 11:14, 28. Apr. 2010 (CEST)

Eindeutig bis auf Isomorphie

Beim dritten Beispiel bin ich mir nicht sicher, weil ich mir das nie genau angeschaut habe, aber die anderen kann ich ganz eindeutig hinschreiben und nicht nur eindeutig bis auf Isomorphie.--Gunther 21:56, 25. Feb 2005 (CET)

Du kannst einen Quotientenkörper konstruieren, indem du Äquivalenzklassen von Brüchen betrachtest. Wenn ich aber z.B. die reellen Zahlen axiomatisch "vom Himmel fallen lasse" und darin den Teilring Z der ganzen Zahlen definiere, dann ist der in R definierbare Teilkörper Q der rationalen Zahlen ein Quotientenkörper von Z. Der besteht aber nicht aus Äquivalenzklassen von Brüchen, ist also mengenweise ein anderer Körper. Innerhalb eines fest gewählten Oberkörpers ist der Quotientenkörper aber eindeutig (und nicht nur bis auf Isomorphie). Im Artikel Quotientenkörper wird fälschlich (oder vereinfachend) nur von dem Quotientenkörper gesprochen.

Der endliche Körper der Ordnung p^n ist innerhalb eines fest gewählten algebraischen Abschlusses von F_p eindeutig. Anderer Abschluss -> anderer Körper. Und auch ohne einen alg. Abschluss kann ich den F_4 einmal auf der Menge {0,1,2,3} aufbauen und einmal auf der Menge {0, 1, a, a+1} (wobei a ein "formales Symbol" ist); schon erhalte ich zwei verschiedene, aber isomorphe Körper mit 4 Elementen.

Den algebraischen Abschluss kann man auf verschiedene Weisen konstruieren; eine davon ist durch transfinite Induktion. Schon wenn ich da nur die Reihenfolge der algebraischen Elemente ändere, erhalte ich einen anderen, aber isomorphen, algebraischen Abschluss.

Und schließlich gilt dasselbe für die Vervollständigung: Es gibt einen Weg, die ohne bereits vorhandenen Oberraum zu konstruieren, aber wenn man zwei verschiedene vollständige Oberräume bereits hat, kommt man u.U. zu zwei verschiedenen Vervollständigungen.

--SirJective 13:43, 26. Feb 2005 (CET)

Mein Punkt ist, dass ich den Quotientenkörper eines Integritätsbereichs als Menge der Paare (z,n) modulo einer gewissen Äquivalenzrelation definieren kann, und das ist so vollkommen eindeutig. Wenn ich "den" Quotientenkörper als universelles Objekt definiere, sieht das anders aus. Ein gutes Beispiel wäre also ein Begriff, den man nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.--Gunther 14:03, 26. Feb 2005 (CET)

Ich habe nochmal ein bisschen nachgedacht. Es scheint mir sinnvoll, einen Teil von Kategorientheorie abzuzweigen, um die "Eindeutigkeit bis auf eindeutigen Isomorphismus"  für universelle Objekte zu erklären. Das erledigt die Beispiele 1 und 4. 2 und 3 sind gut, so wie sie sind.--Gunther 15:18, 26. Feb 2005 (CET)

Ein Überbleibsel aus dem alten Kategorientheorie-Artikel

Ein Kernbegriff der Kategorientheorie ist die Isomorphie. Ein Morphismus heißt Isomorphismus, wenn er eine linke und eine rechte Inverse besitzt. Zwei Objekte heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Diese sehr allgemeine Definition ist konsistent mit allen anderen Definitionen von Isomorphismen in anderen Bereichen der Mathematik.

Bei der Untersuchung von Kategorien sucht man häufig nach Eigenschaften, die von Isomorphismen erhalten werden, so genannte "Invarianten". Beispiele für Invarianten in $\mathbf {Top}$ sind Abzählbarkeitseigenschaften (1. bzw. 2. Abzählbarkeitsaxiom), Trennungseigenschaften ($T_{0},T_{1}$, Hausdorff, regulär, vollständig regulär, normal), Zusammenhangseigenschaften (zusammenhängend, pfadzusammenhängend) und Kompaktheit. Ein Beispiel für eine Invariante in $\mathbf {BanSp_{1}}$ ist "enthält einen zum Hilbertraum isomorphen Unterraum". Eine Invariante in $\mathbf {CBanAlg}$ ist z.B. das Spektrum eines Elements.

Von Interesse sind auch Techniken zum Nachweis der Isomorphie. Es gilt in jeder Kategorie: T ist Isomorphismus genau dann wenn eine (und damit alle) der folgenden Bedingungen erfüllt ist.

• T ist Monomorphismus und extremaler Epimorphimus
• T ist Epimorphismus und extremaler Monomorphismus
• T ist Monomorphismus und Retraktion
• T ist Epimorphismus und Schnitt

Kleiner Fehler...

etwas weiter unten im Artikel ist folgender Satz zu finden: "... dann ist ein Isomorphismus von X nach Y ein nennt man ordnungserhaltende Bijektionen." gehört zwischen "ein" und "nennt" noch etwas? Oder etwa so: "von X nach Y und man nennt sie ordnungserhaltende Bijektionen" ?

Beispiel?

Gibt es dazu ein einfaches Beispiel, das auch Laien verstehen? --Siehe-auch-Löscher 12:02, 25. Dez. 2007 (CET)

Ja, ich hoffe zB. das Folgende: Nimm die beiden Strukturen ({falsch, wahr}, <=> ) - also die beiden Wahrhheitswerte mit der Äquivalenz als Verknüpfung - und ({-1,1}, * ) wobei * die normale Multiplikation ist. Dann ist die Abbildung f: {falsch, wahr} -> {-1, 1} mit der Vorschrift f(falsch)=-1 und f(wahr)=1 ein Isomorphismus. Dies bedeutet, dass quasi zweimal dieselbe Struktur vorliegt - die Elemente der Trägermenge und die Operation wurden einfach nur umbenannt. Bei so kleinen Strukturen sieht man das auch sehr schön an der Verknüpfungstafel. Eine dritte isomorphe Struktur zu den beiden ist die Menge {0,1} mit der Addition modulo 2. Dank Isomorphiebegriff muss die Algebra nun nur eine dieser drei isomorphen Strukturen untersuchen - alle Eigenschaften übertragen sich sofort auf die anderen.

Mir scheint, der ganze Artikel müsste überarbeitet werden - es gibt Wiederholungen und Wesentliches ist mit recht speziellen Details vermischt...Graf Alge 01:39, 12. Apr. 2010 (CEST)

Definition, Umkehrfunktion

Gibt es wirklich bijektive Homomorphismen, deren Umkehrung nicht homomorph ist? Ich zweifle - würde gern ein Beispiel sehen.Graf Alge 00:59, 12. Apr. 2010 (CEST)

In der Topologie: Stetigkeit & Bijektion sind nicht dasselbe wie Homöomorphismus, würde ich mal sagen. --Tolentino 07:36, 12. Apr. 2010 (CEST)

?? Dies hilft mir nicht weiter. Hast Du jetzt Homomorphismus und Homöomorphismus verwechselt? Letzterer gehört wohl nicht hierher.Graf Alge 21:35, 18. Apr. 2010 (CEST)

Wenn man Homomorphismus allgemein als strukturerhaltend definiert (wie in diesem Artikel), also so etwas wie Morphismus in der Kategorientheorie, dann ist Stetigkeit die strukturerhaltende Funktion des topologischen Raumes, d.h., stetige Funktionen wären in diesem Kontext ein Homomorphismus, und Homöomorphismen wären die Isomorphismen - vorausgesetzt, die Umkehrfunktion ist ebenfalls strukturerhaltend.

Der Begriff strukturerhaltend in diesem Artikel beschränkt sich nicht auf Addtion o.ä., siehe auch bitte den Abschnitt unter Definition in der Kategorientheorie. --Tolentino 07:40, 19. Apr. 2010 (CEST)

Isomorphismus auch bei nicht-algebraischen Strukturen?

Spricht man auch bei anderen als algebraischen Strukturen, wie z.B. bei topologischen Räumen, von Isomorphismen? Ich meine, ganz konkret in der entsprechenden Theorie, nicht im generellen Sinn im Sinne von Kathegorien?-- Digamma 15:21, 30. Jun. 2010 (CEST)

Ich habe schon vereinzelt die Sprechweise gehört, dass Homöomorphismen die Isomorphismen der Topologie sind, oder dass eine ordnungserhaltende Abbildung ein Isomorphismus geordneter Mengen ist. Allerdings könnte ich keine Literatur dazu angeben. Ich fände es dennoch schön, solche Hinweise mit in den Artikel aufzunehmen. -- PatrickC (Diskussion) 13:52, 11. Okt. 2012 (CEST)

Das steht doch schon so im Artikel, unter Isomorphismus#Definition in der Kategorientheorie (für Homöomorphismen und für Homotopieäquivalenzen). Das ist aber immer von einem allgemeineren Gesichtspunkt aus gesehen. In der Topologie selbst spricht man nicht von Isomorphismsn, oder? --Digamma (Diskussion) 16:07, 11. Okt. 2012 (CEST)

In der Topologie nicht, allerdings habe ich die Erfahrung gemacht, dass man da in der Funktionalanalysis nicht immer so sorgfältig ist. Da wird dann gerne mal von Isomorphismus gesprochen, und gemeint ist dann je Ausgangslage ein isometrischer Isomorphismus, ein C-*-Isomorphismus oder sonst irgendwas, das jegliche Struktur erhält, die man halt gerade da hat. -- PatrickC (Diskussion) 15:08, 15. Okt. 2012 (CEST)

kanonischer Isomorphismus

Was ist ein „kanonischer Isomorphismus“?

Aus Dualraum#Bidualraum:

Ist $V$ endlichdimensional, so gilt $\dim _{K}V=\dim _{K}V^{\ast }=\dim _{K}V^{\ast \ast }$.

In diesem Fall ist $\Phi$ sogar bijektiv und wird kanonischer Isomorphismus zwischen $V$ und $V^{\ast \ast }$ genannt.

Grüße, --Martin Thoma 11:41, 1. Sep. 2012 (CEST)

Kanonischer Isomorphismus meint oftmals (auch in diesem Fall), dass dieser unabhängig von der Wahl einer Basis in den Vektorräumen ist. Aber das ist glaube ich kein 100% feststehender Begriff und kann in anderen Zusamenhängen auch etwas anderes bedeuten.--Christian1985 (Diskussion) 12:02, 1. Sep. 2012 (CEST)

Bedeutung

ME sollte der Abschnitt, der vor dem topologischem Beispiel steht, raus oder umgeschrieben werden. Strukturen kann man grundsätzlich nur bis auf Iso bestimmen, das "oft" ist hier nicht angebracht. Gruß--Frogfol (Diskussion) 01:08, 21. Nov. 2013 (CET)

Isomorphismus vs. Isomorphie

Ich vermisse eine Klärung von „Isomorophie“, nachdem „Isomorphie“ auf „Isomorphismus“ verweist. Zwischen zwei Objekten oder Strukturen besteht Isomophie, wenn sie isomoph sind, also ein Isomorphismus zwischen ihnen existiert. „Isomorphie“ nennt nur zwei Beispiele mathematischer Isomorphie. --Lückenlos^wecken! 02:06, 16. Okt. 2018 (CEST)

Bedeutung

Der Satz 'Sind beispielsweise die Fundamentalgruppen zweier Räume isomorph, so sind die Räume homöomorph.' ist natürlich falsch, man betrachte bspw. IR und den Einpunktraum; andersherum wird ein Schuh draus. (nicht signierter Beitrag von 2A02:908:4F4:4FE0:8D8B:79EF:7951:E6A1 (Diskussion) 20:10, 23. Sep. 2020 (CEST))