Diskussion:Sinus und Kosinus

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Sinus und Kosinus als Potenzreihe

Im Text findet sich folgender Satz: Die Definition des Sinus und Kosinus als Taylorreihe liefert keinen analytischen Beweis der Differenzierbarkeit des Sinus und Kosinus, sondern setzt die Differenzierbarkeit letztlich axiomatisch voraus. Das ist leider grob falsch. Es gibt nämlich einen sehr schönen Satz aus der Analysis, wonach eine durch eine Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ gegebene Funktion im Inneren ihres Konvergenzbereiches beliebig oft differenzierbar ist, und die Ableitung ist dort $\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}$. Verwendet man also die Potenzreihendefinition, so ist die Differenzierbart das geringste Problem, sogar $\sin ' = \cos$ ist nicht schwer. Für die Anwendungen muss man dann zeigen, dass für diese Potenzreihen, die übrigens überall konvergieren, dass im Komplexen $\cos x +i\sin x = e^{ix}$ ist (Potenzreihenvergleich). Dann kann man aus den Eigenschaften der e-Funktion die üblichen Sätze wie $\sin^2+\cos^2=1$ oder die trigonometrischen Additionstheoreme herleiten. Auch $\pi$ wird in diesem Zusammenhang definiert, und zwar derart, dass $\pi/2$ die kleinste positive Nullstelle von $\cos$ ist. Dann kann man zeigen, dass sin und cos $2\pi$-periodisch sind, was man den Potenzreihen überhaupt nicht ansieht. Betrachtungen am Einheitskreis zeigen dann, dass es sich bei den so definierten Potenzreihenfunktionen tatsächlich um die aus der Geometrie bekannten Funktion sin und cos handelt. Daran ist nichts anrüchiges! Ich werde diese Stelle demnächst entsprechend ändern.--FerdiBf 18:37, 2. Nov. 2011 (CET)

Begradigt! Den zweifelhaften Satz Die Definition des Sinus und Kosinus als Taylorreihe liefert keinen analytischen Beweis der Differenzierbarkeit des Sinus und Kosinus, sondern setzt die Differenzierbarkeit letztlich axiomatisch voraus. habe ich gestrichen und mehr oder weniger durch sein Gegenteil ersetzt. Zudem habe ich ausgeführt, wie man von der Analysis wieder zur geometrie zurückfindet.--FerdiBf 20:16, 17. Nov. 2011 (CET)

Abschnitt "Definition als Taylorreihe"

Im Abschnitt "Definition als Taylorreihe" würde ich die Reihenentwicklungen für sin und cos direkt hinschreiben und sagen, dass man so in der Analysis diese Funktionen definiert. Bezeichnet man die aus der Geometrie geläufigen Funktionen vorübergehend mit $\sin_{geom}$ bzw.$\cos_{geom}$, so kann man die Beziehung $\sin_{geom}(\varphi^\circ) = \sin (\frac{\varphi}{360^\circ}\cdot 2\pi )$ beweisen und eine entsprechende Formel für $\cos_{geom}$. Dadurch ist dann der Zusammenhang zur Geometrie wieder hergestellt. Dass $\sin_{geom}$ differenzierbar ist, ergibt sich dann, ebenso, dass die angegebenen Reihen die Taylorreihen der geometrischen Funktionen im Bogenmaß sind. Insbesondere muss man sich nicht um die Differenzierbarkeit von sin und cos kümmern, die ergibt sich leict. Ebenfalls wird hier klar, warum man zum Bogenmaß übergeht. Sollte es keine schwerwiegenden Einwände geben, so werde ich das demnächst ausführen.--FerdiBf 19:05, 2. Nov. 2011 (CET)

Vollzug! Ich habe die Reihenentwicklungen durch die Taylorreihen motiviert und dann deutlich ausgeführt, dass man in der Analysis von den Potenzreihen ausgeht. Daran ist nichts unsauber, ganz im Gegenteil!--FerdiBf 20:19, 17. Nov. 2011 (CET)

Sinus und Kosinus im Komplexen

Im Abschnitt Sinus und Kosinus im Komplexen gibt es zwei Bilder zu den trigon. Funktionen im Komplexen. Ohne weitere Erläuterungen sind die höchstens bunt, jedenfalls nicht hilfreich. Weiß jemand etwas Genaueres zur Bedeutung der Farben und welche Information in diesen Bildern steckt? Falls da nichts bekannt ist, werde ich die Bilder demnächst entfernen.--FerdiBf 19:34, 21. Nov. 2011 (CET)

This is the color function

Hi, die Farbe gibt den Winkel des Arguments, die Farbintensität den Betrag, wobei volle Intensität für kleine Werte steht und bei großen Beträgen ein Übergang zu weiß stattfindet. In der Bildbeschreibung ist auch die Skala angegeben, man beachte, dass dieses Bild logarithmische Achsen hat, während die sin/cos-Bilder lineare Achsen haben. Es wäre nett gewesen, wenn der Ersteller den benutzten Mathematica-Code dokumentiert hätte. Zum Verständnis der Bilder wäre es sinnvoll, diese Skala daneben abzubilden.--LutzL 12:22, 22. Nov. 2011 (CET) ---- Die Seite [1] dokumentiert den Mathematica-Code.--LutzL 12:27, 22. Nov. 2011 (CET) ---- Bzw. direkt vom Erzeuger, leider nicht überall verlinkt, commons:User:Jan_Homann/Mathematics. Wobei nicht klar wird, wie die logarithmischen Achsen erzeugt wurden. Evtl. muss dazu nur eine Option gesetzt werden.--LutzL 12:36, 22. Nov. 2011 (CET)

Vielen Dank für die Erläuterung. Ich werde demnächst versuchen, das einzubauen, falls Du mir nicht zuvorkommen solltest. --FerdiBf 09:00, 27. Nov. 2011 (CET)

Erledigt--FerdiBf 11:23, 27. Nov. 2011 (CET)

Sinneswahrnehmung in der Einleitung

In der Einleitung steht Folgendes: Das Sinnesorgan Ohr zerlegt den eintreffenden Schall in seine Sinuskomponenten und führt damit eine Fourieranalyse durch: je nachdem, wie viel einer solchen Komponente in dem Gesamtsignal – dem eintreffenden Schall – vorhanden ist, wird ein Ton entsprechender Lautstärke und Frequenz wahrgenommen.

Das Ohr kann keine vollständige Fourieranalyse durchführen, da es nur einen begrenzten Frequenzbereich abdeckt. Selbst unter dieser Einschränkung weiß ich nicht, ob die Sinnesphysiologie das hergibt. Da beim Höhren gewisse Frequenzen stark bevorzugt sind, würde ich das eher verneinen, aber ich bin da kein Fachmann. Außerdem hat das nicht direkt etwas mit dem Lemma des Artikels zu tun, sondern gehört eher in den Artikel zur Fourieranalyse, falls der Satz in dieser Form richtig ist.

Ich werde diesen Satz daher aus der Einleitung entfernen, das fügt dem Artikel keinen Schaden zu. Sollte ich mich getäuscht haben, sollten wir den Satz mit einem passenden Beleg wieder zurückstellen.--FerdiBf 08:53, 27. Nov. 2011 (CET)

Es gibt einen wahren Kern, siehe Hörschnecke#Vom Schall zum Nervenimpuls, aber hier gehört es nicht hin, schon garnicht in die Einleitung.

Übrigens ist das Ohr für tiefe Frequenzen auch empfindlich auf die Phase des Schalldrucks, was zum Richtungshören beiträgt. – Rainald62 12:23, 27. Nov. 2011 (CET)

S*C

sinus und cosinus sinnt keine korrekten DEUTSCHEN mathematik begriffe! (nicht signierter Beitrag von 91.6.60.133 (Diskussion) 12:54, 7. Dez. 2011 (CET))

Und was sind deiner Meinung nach die korrekten deutschen Begriffe, wenn nicht Sinus und Kosinus (was der Artikel verwendet)? --mfb 14:10, 7. Dez. 2011 (CET)

Hallo! Ich wünsche mir ein Applet (ähnlich wie die Einheitskreis-Animation rechts), das diesen althergebrachten trigonometrischen FUnktionsschieber dynamisch macht. D.h.: Einheitskreis mit variablem Winkel und fixer zweistelliger Skala an der Horizontalen (unten) und Vertikalen (rechts). Der Benutzer kann sodann den Punkt auf dem Einheitskreis verschieben und damit den Öffnungswinkel verändern. sin und cos werden automatisch (verschieden-)farbig angezeigt. Das wäre echt toll! Eine statische Grafik zum Ausdrucken und selbst drauf zeichnen wäre auch schon ein guter Anfang... ;-) Vielleicht gibt's das auch schon? Danke! -- Welt-der-Form 13:51, 3. Feb. 2012 (CET)