Diskussion:Tetraeder

Diskussion:Tetraeder

Ich bin leider in meiner 3-dimensionalen Vorstellungsfähigkeit eingeschränkt (1 Nacht Rausch ausschlafen, dann gehts wieder Dr. Hu). Kann man die 3 vierzähligen Achsen (+Inversion) etwas ausführen? -- Schewek

4 Symmetrieachsen bei 4 Ecken: Müssten also die durch die Ecken und die Seitenmitten sein. 3 Symmetrieachsen bei 6 Kanten: Vielleicht durch die Seitenmitten der gegenüberliegenden Kanten. Chd scheint das ja irgendwie zu verstehen :) nachdem GianVella vermutlich verschollen ist. Na gut, dann muss nur noch jemand zwei hübsche Bilder dazu malen ... --Vulture

Danke, jetzt ist es klar. -- Schewek

äh, hallo, ja jetzt ist mir das mir den Spiegelebenen und der Kristallklasse (nachgeschaut) auch wieder eingefallen. Die Spiegelebenen im Tetraeder verlaufen durch eine Kante und die Mitte der jeweils gegenüberliegenden Kante. Klar?!? -- wie wäre es mit noch so einem schönen Bild? ich mache mich derweil mal an den Artikel über Hexakisoktaeder, okay:-?--chd

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(Hausaufgaben-Diskussion gelöscht)

Wer hat denn dieses grausame artefaktreiche Bild verbrochen? Sieht aus, wie aus einem MPEG-Video herauskopiert... *grusel* Mag da nicht mal jemand eine saubere Zeichnung machen? Oder das Bild kommt raus. So groß ist der Informationsgehalt nicht, finde ich. --RokerHRO 20:40, 22. Mär 2004 (CET)

Im englischen Wiki hat jemand ein POV-Ray Script gepostet, womit sich viele Körper berechnen lassen. Sollten wir das nicht einfach übernehmen? --LuckyStarr 22:56, 3. Jul 2004 (CEST)

der oder das?

siehe dazu Diskussion:Ikosaeder --Peter S 18:41, 5. Jan 2005 (CET)

Klarmachen oder weglassen?

Im Abschnitt "Weitere Eigenschaften" fehlen m.E. noch ein paar erhellende Zeichungen, damit verstehbar wird, was gemeint ist. Was ein "abgestumpfter Tertraeder" oder ein "Sternkörper", und warum die konvexe Hülle eines solchen Sternkörpers ein Würfel ist, bleibt völlig im Dunkeln.

Eine Enzyklopädie ist doch nicht dazu da, Rätsel aufzugeben, sondern dazu, welche zu lösen.

Mein Vorschlag: Entweder die Unklarheit kann in nächster Zeit behoben werden, oder wir löschen die Hinweise. - der Artikel ist dann immer noch gut. -- Peter Steinberg 00:40, 3. Mär 2005 (CET)

Formeln

Jetzt habe ich den Formelapparat wesentlich erweitert. Ich hoffe er ist so gut und nützlich und auch ziemlich fehlerfrei. Die Typographie ist nicht einheitlich: Bei rationalen Koeffizienten habe ich "\mathbf" verwendet, aber nicht zum Spaß, sondern weil sonst gar kein ordentliches TeX dargestellt wird (jedenfalls an meinen beiden Browsern). Wer meint, einheitliches "\mathbf" wär schöner, der mag das ändern; wer "\mathbf" ganz rauswirft, dem bin ich böse, denn es sieht dann wirklich scheußlich aus. -- Peter Steinberg 00:23, 21. Mär 2005 (CET)

Keine Kantenlängen-Formel

Ich gehe davon aus, das die Kantenlänge immer gegeben ist. Sollte mal der Fall vorkommen, das die Kantenlänge nicht bekannt ist, läßt sich eine der Formeln so per Termumformung umstellen, das man die Kantenlänge berechnen kann. Das gleiche gilt für alle Körper. Etwas muß man dem Leser auch zumuten können. Ansonsten kann ich gerne mal einen Artikel Termumformungen schreiben. --Arbol01 00:25, 21. Mär 2005 (CET)

Da bin ich ziemlich anderer Meinung. Wer in einer Enzyklopädie nachschlägt, sucht doch meistens nach der Lösung für ein Problem, das nicht so ganz seine Sache ist. Sonst würde er ja ein Fachbuch benutzen. Deshalb mag er auch nicht so gerne auf Arbol01's Artikel Termumformungen linken.

Wieso die Kantenlänge "immer gegeben" ist, leuchtet mir auch theoretisch nicht so ganz ein: Ein platonischer Körper ist gegeben durch irgendeines seiner bestimmenden Stücke. Natürlich lässt sich alles nach allem umstellen, aber das ist Arbeit. Deren Ergebnis darzubieten, ist m.E. die Aufgabe des Enzyklopädisten.

Schließlich fehlen in der neuesten Version jetzt auch noch alle Dezimalzahlen. Für Leute, die ihre Rechenprobleme nur mit einem Taschenrechner angehen, ist die Formelsammlung deshalb überhaupt nicht mehr brauchbar.

Wenn das, was ich gemacht habe, nicht akzeptiert werden kann, bitte ich doch wenigstens auf die Version vor meiner Änderung zurückzugehen. -- Peter Steinberg 01:22, 21. Mär 2005 (CET)

• Irgendetwas ist von einem Körper immer gegeben. Ansonsten kann man gar nichts berechnen. Wenn man nur den Inkugelradius besitzt, nützt einem die Kantenformel über den Umkugelradius gar nichts.
• Nein, es ist nicht der Sinn einer Enzyklopädie, einem alles vorkauen zu wollen.
• Ich hätte den Artikel natürlich einfach zurücksetzen können. Dann hätte ich aber auch gleich die Fontänderungen rückgängig gemacht, was aber nicht in meinem Sinn ist.
• Ich gebe es zu, Termumformungen gehören, neben Verinfachungen von DEA's, Umwandlungen von NEA's in DEA's und gelegentliches Differenzieren zu meinen Lieblingsspielen. Mal sehen, wie viele Formeln Betreff der Pythagoräischen Tripel mit a, b, c, m=c-a und n=c-b bekommst Du so zusammen. --Arbol01 01:36, 21. Mär 2005 (CET)

Minimal oder Maximal

Peter Steinberg und ich sind verschiedener Meinung, was die Angabe von Formeln betrifft. Das bezieht sich im speziellen Fall die einzelnen Platonischen Körper. Ich möchte hier die beiden entgegengesetzten Positionen zur Disposition stellen:

Arbols Position:

Formeln zum regelmäßigen Tetraeder
Umkugelradius $\mathbf {r_{u}}$	${\frac {a\cdot {\sqrt {6}}}{4}}$
Inkugelradius $\mathbf {r_{i}} \,$	$\,{\frac {a\cdot {\sqrt {6}}}{12}}$
Volumen $\mathbf {V}$	${\frac {a^{3}\cdot {\sqrt {2}}}{12}}$
Inhalt der Oberfläche $\mathbf {A_{O}}$	$a^{2}\cdot {\sqrt {3}}$
Höhe$\mathbf {h=r_{i}+r_{u}}$	${\frac {a\cdot {\sqrt {6}}}{3}}$

Es werden, ausgehend von nur einer Größe (hier die Kantenlänge a) jeweils die entsprechenden Formeln angegeben. Wenn man z.B. die Kantenlänge a berechnen will, so soll der Leser sich selbst die Arbeit machen, und aus einer der angegebenen Formeln, per Umformung die richtige Formel erarbeiten. In den meisten, wenn nicht allen Enzyklopädiae, Formelsammlungen, etc. wird auch nicht anders verfahren. Zahlen sollten in den Formeltabellen nicht vorkommen.

• Pro:

Die Formeln von Arbol reichen völlig, die vielen Zahlen machen das ganze nur unübersichtlich. Und wer mit diesen Formeln nichts anfangen kann, dem sind die übrigen Formeln dann auch rätselhaft. Außerdem: Oberfläche allein genügt. — Martin Vogel 鸟 01:35, 22. Mär 2005 (CET)

• Contra:

Peter Steinbergs Position:

Formeln zum regelmäßigen Tetraeder
	a	ri	ru
Seitenlänge (Kante) $\mathbf {a}$	-	${\frac {r_{u}\cdot 2}{3}}{\sqrt {6}}$ $\approx 1{,}632993162\cdot r_{u}$	$r_{i}\cdot 2{\sqrt {6}}$ $\approx 4{,}898979486\cdot r_{i}$
Umkugelradius $\mathbf {r_{u}}$	${\frac {a\cdot {\sqrt {6}}}{4}}$ $\approx 0{,}612372436\cdot a$	-	$\mathbf {r_{i}\,\cdot \,3}$
Inkugelradius $\mathbf {r_{i}} \,$	$\,{\frac {a\cdot {\sqrt {6}}}{12}}$ $\approx 0{,}204124145\cdot a$	$\,\mathbf {\frac {r_{u}}{3}}$ $\approx 0{,}333333333\cdot a$	-
Volumen $\mathbf {V}$	${\frac {a^{3}\cdot {\sqrt {2}}}{12}}$ $\approx 0{,}117851130\cdot a^{3}$	${\frac {r_{u}^{3}\cdot {8}{\sqrt {3}}}{27}}$ $\approx 0{,}513200239\cdot r_{u}^{3}$	$r_{i}^{3}\cdot 8{\sqrt {3}}$ $\approx 13{,}85640646\cdot r_{i}^{3}$
Inhalt der Oberfläche $\mathbf {A_{O}}$	$a^{2}\cdot {\sqrt {3}}$ $\approx 1{,}732050808\cdot a^{2}$	$\,{\frac {r_{u}^{2}\cdot 8{\sqrt {3}}}{3}}$ $\approx 4{,}61802154\cdot r_{u}^{2}$	$r_{i}^{2}\cdot 24{\sqrt {3}}$ $\approx 41{,}56921938\cdot r_{i}^{3}$
Höhe$\mathbf {h=r_{i}+r_{u}}$	${\frac {a\cdot {\sqrt {6}}}{3}}$ $\approx 0{,}816496581\cdot a$	$\,\mathbf {\frac {r_{u}\cdot \,4}{3}}$ $\approx 1{,}333333333\cdot r_{u}$	$\,\mathbf {r_{i}\cdot 4}$
Volumenanteil der Umkugel (UK) und der Inkugel (IK)	${\frac {V}{V_{UK}}}=\,{\frac {2}{9}}{\sqrt {3}}:\pi \,$ $\approx 0{,}122517532$	${\frac {V}{V_{IK}}}=\,6{\sqrt {3}}:\pi \,$ $\approx 3{,}307973373$	$\mathbf {{\frac {V_{UK}}{V_{IK}}}=\,27}$

Man gibt nicht dem Leser nicht nur das notwendige Minimum in die Hand, sondern möglichst viele Formeln. Um die Verhältnisse zwischen den einzelnen Größen a, r_i und r_u und den daraus resultierenden Volumina und Oberflächen zu verdeutlichen, sind die Zahlen da.

• Pro:

• Contra:

Ich finde, man sollte dem Leser nicht die Arbeit des Umformens abnehmen. Eine Formel, mit der man von Umkreisradius die Kantenlänge errechnen kann ist nichts anderes als eine Variation der Formel, mit der man von der Kantenlänge den Umkreisradius errechnen kann. Auflösung einer Formel sollte eigentlich jeder in der Schule gelernt haben, oder noch lernen. Die konkreten Zahlen in der Formeltabelle sagen IMO nichts aus. --Arbol01 01:00, 22. Mär 2005 (CET)

• Ich finde die zweite Tabelle exterm unübersichtlich.
• $8{\sqrt {3}}/3$ in eine Dezimalzahl umzuwandeln ist nun wirklich mit (fast) jedem einfachen Taschenrechner möglich. Wer das nicht hinbekommt, kann auch mit der Dezimalzahl nichts anfangen.
• Wenn schon Dezimalzahlen, wieso so viele Nachkommastellen? Für praktische Anwendungen sollten zwei eigentlich schon zu viele sein.
• Ich möchte die praktische Relevanz der Formeln anzweifeln.

--Gunther 01:25, 22. Mär 2005 (CET)

Eine "maximale" Version gibt es natürlich nicht. Dann müssten da ja alle Formeln drinnen stehen, etwa auch die, wie man die Gesamtoberfläche berechnet, wenn nur die Flächen der 6 Seiten bekannt sind, oder wie man den Abstand zweier windschiefer Kanten berechnet, wenn man nur das Restvolumen "Umkugel minus Tetraeder" kennt. Wenn ein Schüler (bitte geschlechtsneutral zu verstehen) eines dieser Probleme zu lösen hat, dann deshalb, weil sein Lehrer es für sinnvoll hält, ihn einfache Umformungen üben zu lassen; und wenn so ein Problem in der "wirklichen Welt" autritt (regelmäßige Tetraeder kommen in der Natur selten vor, und ihre Umkugeln noch seltener), dann ist das Problem sowieso meist in eine Situation eingebettet, wo man mehr Mathematik als diese einzige Formel braucht.

Zusätzlich zur Minimalvariante könnte oder sollte man erwähnen, dass der Umkugelradius 3 Mal so groß wie der Inkugelradius ist; das steht natürlich in Zusammenhang mit der im Artikel erwähnten Eigenschaft des Schwerpunkts in beliebigen Tetraedern (und man könnte vielleicht auch erwähnen, dass das in höheren Dimensionen genau wie erwartet weiter geht). Aber dann noch zu erklären, wie sich Oberfläche und Volumen der beiden Kugeln zu einander verhalten, halte ich für überflüssig, genauso wie wir ja auch nicht Fläche und Umfang der Großkreise auf diesen Kugeln angeben.

-- Wuzel 02:27, 22. Mär 2005 (CET)

Ich fände eine modifizierte Minimallösung auch besser. Vielleicht nur eine Formel beispielhaft vorgerechnet - mit max. vier Nachkommstellen. Zusätzlich wäre informativ, bei jeder Formel mittels einer Grafik zu zeigen, was gesucht ist. "Eine Grafik sagt mehr als 1000 Worte" (alte Binsenweisheit, Autor unbekannt ;)). Gruß --Philipendula 09:47, 22. Mär 2005 (CET)

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Es wird hier über mehrere Fragen zugleich diskutiert, teilen wir das mal auf:

1. Was sind die "wichtigen" Parameter eines Tetraeders, die in irgendeiner Form in der Tabelle auftauchen sollten? 1.1. Kantenlänge

ja--MKI 10:56, 22. Mär 2005 (CET)

1.2. Inkugelradius

ja--MKI 10:56, 22. Mär 2005 (CET)

1.3. Umkugelradius

ja--MKI 10:56, 22. Mär 2005 (CET)

1.4. Entfernung vom Mittelpunkt des Tetraeders zum Mittelpunkt einer Kante

Ja: Ist neben dem Inkugel- und dem Umkugelradius die Entfernung der dritten interessanten Position auf der Seitenfläche zum Tetraedermittelpunkt.--MKI 10:56, 22. Mär 2005 (CET)

1.5. Höhe

Nein: Erscheint mir nicht elementar genug, da sie sich sich sehr einfach als Summe von Inkugel- und Umkugelradius bestimmen lässt. Die Angabe dieser Formel sollte genügen.--MKI 10:56, 22. Mär 2005 (CET)

Diese Überlegung finde ich nicht trivial, und sie trifft auf die anderen platonischen Körper nicht zu.--Gunther 11:24, 22. Mär 2005 (CET)

Die Überlegung und die Formel Inkugelradius + Umkugelradius = Höhe soll ja in dem Artikel drinstehen, aber in der Tabelle hat die Höhe meiner Meinung nach nichts verloren.

Was ist denn die Höhe eines platonischen Körpers? Meiner Meinung nach ist es der maximale Abstand der Punkte des Körpers zu einer durch eine Seitenfläche festgelegten Ebene. Für die restlichen platonischen Körper ergibt sich dann als Höhe der Inkugeldurchmesser, also etwas anderes als beim Tetraeder, aber in allen Fällen sehr elementar aus Inkugel- und Umkugelradius zu berechnen.--MKI 11:49, 22. Mär 2005 (CET)

Ich hätte den minimalen Abstand zweier paralleler Ebenen genommen, zwischen die der Körper passt. Ändert hier aber nichts.--Gunther 11:56, 22. Mär 2005 (CET)

Ja läuft aufs gleiche raus. Deine Definition ist die elegantere.--MKI 12:25, 22. Mär 2005 (CET)

1.6. Flächeninhalt einer Seitenfläche

Ja: Sollte anstatt der gesamten Oberfläche hier auftauchen, um analog zur Kantenlänge vorzugehen: Die Länge einer Kante wird angegeben, die Gesamtlänge aller 6 Kanten nicht. Genauso sollten wir den Flächeninhalt einer Seitenfläche angeben, aber nicht den Gesamtflächeninhalt aller 4 Seitenflächen.--MKI 10:56, 22. Mär 2005 (CET)

Wenn die Kantenlänge a ist, und jemand die Gesamtlänge aller sechs Kanten nicht ausrechnen kann, der kann auch mit Formeln nichts anfangen. — Martin Vogel 鸟 12:36, 22. Mär 2005 (CET)

Man könnte noch die Kantenanzahl angeben ;-) --Gunther 11:24, 22. Mär 2005 (CET)

Und dann in der Tabelle eine Zelle einbauen, wo wir die Oberfläche in Abhängigkeit von der Kantenzahl berechnen...--MKI 11:49, 22. Mär 2005 (CET)

Mein Punkt war: es sind sechs und nicht zwölf Kanten.--Gunther 11:55, 22. Mär 2005 (CET)

Hoppla... Ich bessere das mal aus, schließlich soll das Argument überzeugend sein.--MKI 12:25, 22. Mär 2005 (CET)

1.7. Oberfläche

Nein, siehe bei Größe einer Seitenfläche.--MKI 10:56, 22. Mär 2005 (CET)

1.8. Volumen

Ja--MKI 10:56, 22. Mär 2005 (CET)

1.9. Diverse Volumenverhältnisse, wie sie momentan in der langen Version auftauchen

Nein: Das ufert sonst nur aus: Konsequenterweise müsste man dann auch die Verhältnisse diverser Längen mit in die Tabelle aufnehmen.--MKI 10:56, 22. Mär 2005 (CET)

Zustimmung. Interessant fände ich aber eine Vergleichstabelle, wie gut die verschiedenen platonischen Körper die Kugel approximieren (dann natürlich mit Näherungswerten, aber zwei Dezimalen nach dem Komma genügen da).--Gunther 11:24, 22. Mär 2005 (CET)

2. Dezimalbrüche

2.1. Sollen die Formeln auch in der Dezimalbruch-Variante auftauchen?

Unentschlossen bis nein: Persönlich empfinde ich die Dezimalbrüche als unschön und unnötig, ich weiß aber nicht, ob es für Schüler, Ingeneure etc. interessant sein könnte. Außerdem haben wir dann das Problem, die Genauigkeit festzulegen.--MKI 10:56, 22. Mär 2005 (CET)

2.2. Falls Dezimalbrüche in der Tabelle landen: Wieviele Dezimalstellen sollten maximal angegeben werden?

4--MKI 10:56, 22. Mär 2005 (CET)

2. Das ist schon viel genauer als ich zeichnen oder basteln kann.--Gunther 11:24, 22. Mär 2005 (CET)

3. Soll die Tabelle nur eine Spalte (minimale Form) oder mehrere Spalten (maximale Form) enthalten?

wahrscheinlich nur eine Spalte. Solange mehrere Spalten die Breite des Artikels nicht sprengen, wäre ich aber auch damit einverstanden.--MKI 10:56, 22. Mär 2005 (CET)

Ansonsten Zustimmung.--Gunther 11:24, 22. Mär 2005 (CET)

Drei Anmerkungen

(Ich fange hinten an):

1. Dezimalbrüche. Zugegeben, sie sind häßlich und stören das Formelbild. Andererseits sind sie für Praktiker schon wichtig. Wer behauptet, dass alle Taschenrechner wurzeln berechnen können, muss jeder mit seinem Taschenrechner Wurzeln berechnen kann muss (a) Mathematiker sein und (b) kein Handy besitzen. Die Probleme werden noch deutlich zunehmen, wenn wir uns den komplexeren Tretraedern zuwenden. Ohne Flachs: 30 Schüler einer 10. Gymnasialklasse kriegen mühelos 5 verschiedene Ergebnisse, wenn sie (nicht mit ihrem Handy, sondern) mit einem ziemlich "intelligenten" TR ${\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$ ausrechnen sollen. (Das ist der Umkugelradius eine Ikosaeders mit der Kantenlänge 1). Mein Kompromissvorschlag: Wir lassen die Dezimalzahlen bei den Einzelartikeln raus und stellen bei platonischer Körper eine Tabelle ein, die nur Dezimalzahlen enthält, und zwar die wichtigsten für alle platonischen Körper in einer Übersicht, und das mit vernünftiger Genauigkeit. (Ich meine 4-5 geltende Stellen).

   Damit man auch bei einer Kantenlänge von 1m auf den Millimeter genau zeichnen kann? Da gibt es ganz andere Probleme, möchte ich behaupten.--Gunther 11:30, 23. Mär 2005 (CET)

2. Formelumstellungen. Auch hier wird das Problem erst bei "höheren" pK richtig deutlich. Der Kehrwert von ${\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$ z.B. ist ${\frac {\sqrt {5}}{5}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$, wenn man eine einigermaßen "normierte" Darstellung agebraischer Zahlen benutzen will. Das auszurechnen, mag Arbol01 und mir Spaß machen. Dass man es "den Leuten nicht abnehmen" dürfe, leuchtet mir nicht ein. Wen's interessiert, der rechnet es auch nach, wenn's da schon steht.

Wenn in der 10. Klasse (Gymnasium oder Realschule) noch explizite Zahlen ausgerechnet werden (zugegeben: Bie uns war das auch so), dann stimmt an unserem Schulsystem etwas nicht. (meine persönliche Meinung). --Arbol01 00:57, 23. Mär 2005 (CET)

Ok, sehe ich ein, die zitierten Tetraederformeln sind natürlich einfacher.--Gunther 11:30, 23. Mär 2005 (CET)

1. Volumenverhältnisse. So rein unter dem Formel-Aspekt scheinen die verzichtbar. Aber es kommen dabei halt ein paar recht interessante Sachen heraus:

• Schon die Zahl "27" ganz rechts unten in der Maximaltabelle kann, mitten zwischen lauter "krummen" Zahlen, Anstoß zum Nachdenken sein. Dieses ist dann schnell von Erfolg gekrönt, wenn man wenige Zeilen drüber entdeckt, dass r_u = 3r_i ist.

Das finde ich entbehrlich.--Gunther 11:30, 23. Mär 2005 (CET)

• Dass der Dodekaeder seine Umkugel besser ausfüllt als der Ikosaeder, hat mich selbst ein bisschen überrascht. Auch, dass sein Volumen fast 8 a^3 ist, und beim Ikosaeder nur ein bisschen mehr als 2 a^3. Ich vermute, da gibt es Zusammenhänge, über die nachzudenken sich lohnt.

Ich finde das auch, hm, überraschend. Woher stammen denn die Formeln? Wenn Du selbst gerechnet hast, kann ich gerne mal gegenrechnen.--Gunther 11:30, 23. Mär 2005 (CET) Die Volumenanteile auf en:Platonic solid stimmen mit den angegebenen überein.--Gunther 14:14, 23. Mär 2005 (CET)

• Wer hat gewusst, dass sich das Volumen des Oktaeders zum Volumen seiner Umkugel verhält wie 1:π? - Ich habe den Verdacht, dass das einen ziemlich tiefliegenden Grund hat.

Ich fürchte, nicht alles in der Mathematik ist tief, manches ist auch Zufall :-) --Gunther 11:30, 23. Mär 2005 (CET)

Auch hier ein Kompromissvorschlag: Wir lassen das aus der Tabelle raus und weisen auf die interessanten Zusammenhänge im Text der Einzelartikel hin. -- Peter Steinberg 23:31, 22. Mär 2005 (CET)

Genau. Wird dadurch übersichtlicher und interessanter zu lesen. -- Wuzel 23:56, 22. Mär 2005 (CET)

Nochwas zum Thema Höhe: Sie ist zweifellos keine grundlegende Größe bei allen platonischen Körpern. Man mag sie noch so scharfsinnig definieren: Die "Höhe" eines Würfels bleibt uninteressant. Sie sollte, nach meinem Plan, ein Besonderheit des Artikels "Tetraeder" sein. Der ist eine Pyramide, und da hat die Höhe eine bekannte und durchsichtige Bedeutung. (Wer beim Antiprisma "Oktaeder" was Entsprechendes machen will: Nur zu!) -- Peter Steinberg 23:49, 22. Mär 2005 (CET)

Mein Punkt war auch, dass es offenbar keinen einheitlichen Höhenbegriff gibt, wenn uns spontan zwei (i.a. nicht äquivalente) Definitionen einfallen.--Gunther 11:30, 23. Mär 2005 (CET)

Mal ne Frage: Wie zieht man denn Wurzeln mit einem Handy? — Martin Vogel 鸟 00:22, 23. Mär 2005 (CET)

Gar nicht. Aber so gut wie jedes Handy dürfte heutzutage einen 4-Grundrechenarten-Taschenrechner integriert haben. Und mit diesem "Taschenrechner" kann man keine Wurzeln berechnen. Aber man kann sich ja auch, für 20-30 Euro einen wissenschaftlichen Taschenrechner z.B. von Casio leisten, wenn man sich ein Handy leisten kann. --Arbol01 00:57, 23. Mär 2005 (CET)

Mein Handy kann nicht rechnen. Und mein Taschenrechner hat 4,99 € gekostet und kann %, sin, cos, tan, arcsin etc., hypsin, etc., archypsin etc., e^x. ln, log, y^x, 1/x, x-te Wurzel y, 1/x, n!, hex, oct, grad und rad, pi und vieles andere mehr. — Martin Vogel 鸟 01:31, 23. Mär 2005 (CET)

@Arbol01: Und wer sich so einen wissenschaftlichen Taschenrechner gar nicht leisten will und vielleicht noch mit %, ganz bestimmt aber nicht mit sin, cos, tan, arcsin etc., hypsin, etc., archypsin etc., e^x. ln, log, y^x, 1/x, x-te Wurzel y, 1/x, n!, hex, oct, grad und rad, pi und vielem anderem mehr irgendwas am Hut hat, sondern einfach nur wissen will: Wie lang muss ich die Strohhalme schneiden? - Wo soll der bitte nachschauen, wenn nicht bei wikipedia??? - Ich meine: Solche Leute sind doch wirklich nicht Menschen zweiter Klasse! -- Peter Steinberg 23:12, 23. Mär 2005 (CET)

Hm, wer sich keinen Hammer leisten will, darf sich auch nicht wundern, wenn das Einschlagen eines Nagels in die Wand länger dauert und schmerzhaft ist... Mal ernsthaft: Wer WP benutzen kann, hat Zugang zu einem Rechner, und bei allen mir bekannten Betriebssystemen ist ein Taschenrechner-Äquivalent dabei, das für diese Zwecke völlig ausreichend ist.--Gunther 23:53, 23. Mär 2005 (CET)

Kompromissvorschlag

Wäre möglicherweise Folgendes akzeptabel:

Formeln zum regelmäßigen Tetraeder
	a	ru	ri
Seitenlänge (Kante) $\mathbf {a}$	-	${\frac {r_{u}\cdot 2}{3}}{\sqrt {6}}$	$r_{i}\cdot 2{\sqrt {6}}$
Umkugelradius $\mathbf {r_{u}}$	${\frac {a\cdot {\sqrt {6}}}{4}}$	-	$\mathbf {r_{i}\,\cdot \,3}$
Inkugelradius $\mathbf {r_{i}} \,$	$\,{\frac {a\cdot {\sqrt {6}}}{12}}$	$\,\mathbf {\frac {r_{u}}{3}}$	-
Volumen $\mathbf {V}$	${\frac {a^{3}\cdot {\sqrt {2}}}{12}}$	${\frac {r_{u}^{3}\cdot {8}{\sqrt {3}}}{27}}$	$r_{i}^{3}\cdot 8{\sqrt {3}}$
Oberfläche $\mathbf {A_{O}}$	$a^{2}\cdot {\sqrt {3}}$	$\,{\frac {r_{u}^{2}\cdot 8{\sqrt {3}}}{3}}$	$r_{i}^{2}\cdot 24{\sqrt {3}}$
Höhe$\mathbf {h=r_{i}+r_{u}}$	${\frac {a\cdot {\sqrt {6}}}{3}}$	$\,\mathbf {\frac {r_{u}\cdot \,4}{3}}$	$\,\mathbf {r_{i}\cdot 4}$
Näherungswerte (Dezimalzahlen) finden sich in dem Artikel platonischer Körper

-- Peter Steinberg 20:59, 24. Mär 2005 (CET)

Kannst Du mal ein konkretes Szenario schildern, in dem man auf die zweite oder dritte Spalte zurückgreifen würde? Das ist mir immer noch nicht klar.--Gunther 22:14, 24. Mär 2005 (CET)

Vielleicht so:

a	${\sqrt {b+c}}$	$2*{\sqrt {\frac {m*n}{2}}}+n$	${\frac {b^{2}-m^{2}}{2m}}$	${\sqrt {n(2b+n)}}$	$u^{2}-v^{2}$
b		$2*{\sqrt {\frac {m*n}{2}}}+m$	${\sqrt {m(2a+m)}}$	${\frac {a^{2}-n^{2}}{2n}}$	$2uv$
c	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$		$a+m$	$b+n$	$u^{2}+v^{2}$

Gefällt Dir das? --Arbol01 01:08, 25. Mär 2005 (CET)

Nein Gunther, ich habe nicht den Eindruck, dass ich mich dir und Arbol01 verständlich machen kann. Und sonst sind ja nicht viele aktiv (und ist niemand sehr aktiv) bei dieser Diskussion. Das Thema ist wohl nicht geeignet zu einer grundsätzlichen Klärung dessen, was Benutzerfreundlichkeit meint, und ob sie wichtig ist. Es bleibe also alles so, wie ihr es wünscht, bis es jemand anderes ändert.

Ich fahre jetzt erst mal in Urlaub und wünsche euch eine produktive Zeit. Und wenn ihr mögt, schreibt doch, nur so zum Spaß, auch mal einen Artikel, den ich verstehen kann.

Und was Arbol01' Tabelle soll, kapier ich auch nicht. -- Peter Steinberg 22:35, 25. Mär 2005 (CET)

Arbols Tabelle ist mir auch irgendwie nicht klar. Arbol, willst Du damit den Punkt mit den pythagoräischen Tripeln illustrieren, den Du oben angesprochen hast?

@Peter: Du hast vermutlich recht, die Frage ist nicht geeignet für eine Grundsatzdiskussion. Ich bin dennoch an einer konstruktiven Diskussion interessiert.

Ich habe heute auf einer Zugfahrt nochmals über die Problematik nachgedacht, und dabei war das erste Bastel-Beispiel, das mir in den Sinn kam, das folgende: Man hat eine Kugel und möchte z.B. aus Zahnstochern ein Tetraeder/Dodekaeder/sonstwas basteln, das die Kugel berührt. Dann benötigt man allerdings nicht die erwähnten Formeln, sondern die Seitenlänge in Abhängigkeit vom Radius bzw. Durchmesser der Kugel, die alle Seiten des Tetra-/Dodekaeders berührt, und das fand ich ziemlich nichttrivial. Im Fall des Tetraeders geht es (wenn ich mich nicht täusche) noch relativ einfach, weil das im Artikel erwähnte Quadrat, das das Tetraeder halbiert, der Kugel einbeschrieben sein müsste, also $a=d(\mathrm {diese\ Kugel} )\cdot {\sqrt {2}}$. Der Fall des Dodekaeders ist mir nicht klar.--Gunther 00:43, 26. Mär 2005 (CET)

War eine kleine Spielerei. Ja, es hat mit den Pythagoräischen Tripeln zu tun. Die Werte a, b und c in abhängigkeit von m und n, m und a oder b, n und a oder b bzw. u und v. --Arbol01 01:40, 26. Mär 2005 (CET)

Ich habe leider im Moment wenig Zeit für ausführliche Diskussionsbeiträge, aber hier kurz meine Meinung:

• Eine Enzyklopädie ist keine Formelsammlung, und selbst Formelsammlungen geben in der Regel nicht alle Umrechnungen an.
• Umrechnungen der Form: b=ca ergibt a=b/c sollte man (selbst nach PISA :-) dem Leser noch zumuten können. (Wenn er das nicht kann, braucht er auch die Formeln nicht).
• Die Angabe von Faktoren in (auf 2-3 Stellen gerundeten!) Dezimalzahlen ist nützlich für Größenschätzungen. Wer mehr braucht, kann das heute leicht ausrechnen.
• Ich halte daher eine Tabelle abhängig von der Seitenlänge mit einer zweiten Spalte mit den gerundeten Werten für das beste.
• Außerdem halte ich es für überflüssig, Abkürzungen (wie V, r_i, etc.) anzugeben und zu verwenden, wenn diese nicht in Formeln gebraucht werden.
• Wenn jemand so fleißig ist, mehr Material zusammenzustellen, so ist das prinzipiell nicht schlecht, paßt aber trotzdem nicht gut in die Artikel, weil sie von wesentlichen Dingen ablenken (z.B. besondere Größenverhältnisse -- die wenigsten werden Tabellen so genau lesen! ein Hinweis bringt mehr)
• Größenvergleiche, die von anderen Parametern abhängen (Umkreisradius, etc.) sind bei gewissen Vergleichen interessant, wenn sie tabellenmäßig zusammengefaßt sind (also z.B.: bei den platonischen Körpern, nicht aber bei den Einzelartikeln).

--Peter S 00:36, 27. Mär 2005 (CET)

Raumparkettierung

"Obwohl das Tetraeder nicht Stein einer Parkettierung des Raumes ist, tritt es (siehe oben) im kubischen Kristallsystem auf."

Es mag sein, das man Alleine mit Tetraedern keinen Raum parkettieren kann, so wie das mit Hexaedern geht. In Kombination mit Oktaedern kann man einen Raum aber sehr wohl mit Tetraedern lückenlos parkettieren. --Arbol01 12:35, 6. Dez 2005 (CET)

Punktsymetrie

Bei so viel differenziertem Wissen über das Tetraeder fällt mir der Kritikpunkt etwas schwer, aber laut meiner Erinnerung an die Definition von Punktsymetrie aus der Schule (ist schon eine Weile her) ist das Tetraeder nicht punktsymetrisch, da z.B. ein Eckpunkt über den Schwerpunkt gespiegelt nicht wieder auf einem Eckpunkt landet. Dementsprechend wäre die Behauptung der Punktsymetrie des Tetraeders unkorrekt. Hannes Perkunder, 18.10.2006

Sehe ich auch so, rausgenommen. --stefan (?!) 07:58, 19. Okt. 2006 (CEST)

Winkel

Ich finde die Skizze zu den Winkeln irgendwie schwer verständlich. Geht das anderen auch so? Sollte man das evtl. in drei Teilskizzen aufteilen, von denen jede einen Winkel, aber in 3D, darstellt? Meinungen?

Kleiner Fehler

Hi, ein Simplex hat nicht 3, sondern n+1 Ecken, wenn n die Dimension des Raums ist. --OddO82 20:20, 30. Mai 2008 (CEST)

weiterer kleiner Fehler

bei Drehspiegelungen wird um 120° (nicht 90°) gedreht.

Richtige Symmetrieelemente aber falsche Punktgruppe

Hallo, mir ist gerade aufgefallen das im Unterpunkt Symmetrie die Symmetrieelemente selbst richtig angegeben sind, aber leider daraus die falsche Punktgruppe gefolgert wurde. Die Punktgruppe ist nicht $S_{4}$ sonder $T_{d}$. Viele Grüße (nicht signierter Beitrag von 88.70.29.192 (Diskussion | Beiträge) 19:26, 28. Apr. 2009 (CEST))

Mein letztes Revert dieser [1] Version

Wollte ich eigentlich in den Kommentar schreiben, aber wohl den falschen Knopf erwischt.

Im Diamant gibt es keinen Wasserstoff, sondern nur Kohlenstoff, daher ist es so wie es da stand korrekt. Das verwechselst du wohl mit dem Beispiel Methan einen Satz davor. Desweiteren wäre sonst Kohlenstoff mit C und nicht mit CO abzukürzen. --GluonBall 16:48, 23. Jun. 2009 (CEST)

Die Mehrzahl von Simplex

würde ich als Simplices bezeichnen. Ist zwar Latein, klingt aber besser als Simplexe... (nicht signierter Beitrag von Sigi I (Diskussion | Beiträge) 23:33, 16. Mär. 2010 (CET))

Hallo! Nein, auf Latein wäre die Mehrzahl „Simplicia“. „Simplices“ ist bestenfalls eine extrem unregelmäßig gebildete deutsche Mehrzahlform des Simplex. MfG Stefan Knauf 18:48, 27. Mär. 2010 (CET)

Symmetriegruppe des Tetraeders

Verschobene Diskussion aus meiner Diskussionsseite.-- Nutzer142 11:54, 31. Aug. 2010 (CEST)

Hallo Nutzer142! Du hast im Artikel Tetraeder eingefügt, zur Symmetriegruppe des regelmäßigen Tetraeders würde eine Spiegelung kombiniert mit einer 90°-Drehung gehören. Ich habe Deine Änderung zurückgesetzt, weil ich sie für falsch halte. Ich nenne die Spiegelung jetzt mal $s$ und die Drehung $d$. Nach Deiner Änderung besagte der Artikel, dass dieses Element $sd$ zur Symmetriegruppe gehören würde. Da $ssd=d$ gilt (Spiegelungen sind selbstinvers), würde damit auch $d$, also diese Drehung um 90°, zur Symmetriegruppe des regelmäßigen Tetraeders gehören. Und wie bitte willst Du ein regelmäßiges Tetraeder so um 90° drehen, dass danach alle Ecken auf Positionen liegen, auf denen vor der Drehung auch schon Ecken lagen? MfG Stefan Knauf 01:24, 28. Aug. 2010 (CEST)

Also es ist definitiv eine Drehspiegelung um 90°. Die Spiegelebene bekommst du so: Nimm zwei gegenüberliegende Kanten, das sind zwei Kanten die keine gemeinsame Ecke haben. Jetzt bilde die Mittelpunkte der anderen vier Kanten. Die vier Mittelpunkt liegen in der Spiegelebene.

Dein Fehler liegt bei ssd=d, das kannst du so nicht machen (sd) ist zusammen hängend, weder die Spiegelung noch die Drehung ergeben eine eigene Symmetrie. (sd)(sd)=d180, (sd)(sd)(sd)(sd)=id das geht alles.-- Nutzer142 14:45, 29. Aug. 2010 (CEST)

Hallo Nutzer142! Natürlich ist im Artikel mit der Ebenenspiegelung genau die Ebenenspiegelung gemeint, die in der Zeile darüber erklärt ist. Wie kommst Du dazu, dass plötzlich eine ganz andere Ebenenspiegelung gemeint sein könnte, die nirgendwo vorher erwähnt ist? (Ich meinte oben mit „Spiegelung“ natürlich auch die Ebenenspiegelung aus dem Artikel, also Spiegelung an einer Ebene, die durch zwei Eckpunkte und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite geht, vgl. Bild rechts, rechte Abb.) Ich habe Deine Bearbeitung deshalb wieder zurückgesetzt. MfG Stefan Knauf 22:13, 29. Aug. 2010 (CEST)

Dann sag mal bitte genau was die 120° Drehspiegelung ist, von der der Artikel spricht.-- Nutzer142 22:48, 29. Aug. 2010 (CEST)

Hallo Nutzer142! Die Drehspiegelung, die im Artikel gemeint ist, erhältst Du wie folgt: Erst eine Ebenenspiegelung wie im Bild Symmetries of the tetrahedron.svg in der rechten Abbildung durchführen (das vertauscht zwei Ecken miteinander) und anschließend entlang einer Achse drehen, die durch eine der beiden vertauschten Ecken und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Fläche geht (im Prinzip so wie in der linken Abbildung im Bild, nur gerade nicht um diese eingezeichnete Achse, sondern um die durch eine andere Ecke). Das zusammen ergibt die im Artikel gemeinte Drehspiegelung. MfG Stefan Knauf 23:32, 29. Aug. 2010 (CEST)

Das ist dann aber keine Drehspiegelung, denn Drehachse und Spiegelebene müssen senkrecht zueinander sein.-- Nutzer142 23:36, 29. Aug. 2010 (CEST)

Hallo Nutzer142! Es ist jedenfalls die gemeinte Abbildung. Im Zusammenhang mit Symmetriegruppen bezeichnet man mit „Drehspiegelung“ eine Hintereinanderausführung von Spiegelung und Drehung, also genau das, was im Artikel mit „Drehspiegelung“ gemeint ist. MfG Stefan Knauf 01:00, 30. Aug. 2010 (CEST)

Hallo Stefan! Eine Drehspiegelung ist eine Drehung um eine Achse und eine anschließende Spiegelung an einer orthogonalen Ebene. Im Zusammenhang mit Symmetriegruppen ist das nicht anders. Jeder hat natürlich die Freiheit sich seine eigenen Definitionen zu kochen, aber er schwimmt dann eben gegen den Strom, was weniger zweckmäßig ist und die Kommunikation doch stark behindert.

Hallo Nutzer142! Mir ist gerade aufgefallen, dass Du wohl dieselbe Abbildung wie ich meinst. So, wie es im Artikel formuliert war, muss da aber 120° hin. Wenn man statt an der im Artikel gemeinten Ebene an Deiner Ebene spiegelt, muss man anschließend um 90° an der zur Spiegelebene senkrechten Achse drehen, dann erhält man doch tatsächlich dieselben Abbildungen! Ich empfinde es aber als deutlich intuitiver, die letzten sechs Abbildungen aus Spiegelungen und Drehungen zusammen zu bauen, die man eh schon hatte, statt Objekte herzunehmen, die selber noch nicht mal zur Symmetriegruppe gehören. MfG Stefan Knauf 01:28, 30. Aug. 2010 (CEST)

Die von mir beschrieben Ebenen war eindeutig definiert, die im Artikel war es nicht und ist es immer noch nicht. Die Spiegelebene der Drehspiegelung gleichzusetzen mit einer Spiegelebene der normalen Spiegelung machst du nur weil das eine zufällig über dem anderen definiert ist und du dich anscheint nicht wirklich mit der Materie auskennst.

Aber gut: Du hast damit recht, dass das Hintereinanderausführen einer Spiegelung und danach eine Drehung von 120° um eine passende Drehachse die von mir erwähnte Drehspiegelung ersetzt. Und jetzt die alles entscheidende Frage: Was erhältst du, wenn du zwei Symmetrien hintereinander ausführst? Richtig - wieder ein Element der Symmetriegruppe. Und dieses Element ist DIE DREHSPIEGELUNG! Ansonsten widerlege doch einfach was ich sage! NOCHMAL: Du nimmst zwei Elemente der Gruppe (Spiegelung und Drehung) und musst bei hintereinanderausführen wieder ein Element der Gruppe erhalten! Wenn es nicht die Drehspiegelung ist, wie ich sie beschrieben habe, dann zeige mir was es sonst ist.

Ich hab' das ganze nun anders beschrieben, damit braucht man gar keine Definition von Drehachsen. --mfb 17:14, 30. Aug. 2010 (CEST)

Hauptsache eine Drehspiegelung wird nicht mehr nach Lust und Laune umdefiniert. Was anderes, habe erst jetzt mal in die englische Wikipedia geschaut. Da steht es besser: -- Nutzer142 17:35, 30. Aug. 2010 (CEST)

The tetrahedron is the only Platonic solid that is not mapped to itself by point inversion.

The regular tetrahedron has 24 isometries, forming the symmetry group T_d, isomorphic to S₄. They can be categorized as follows:

• T, isomorphic to alternating group A₄ (the identity and 11 proper rotations) with the following conjugacy classes (in parentheses are given the permutations of the vertices, or correspondingly, the faces, and the unit quaternion representation):
  • identity (identity; 1)
  • rotation about an axis through a vertex, perpendicular to the opposite plane, by an angle of ±120°: 4 axes, 2 per axis, together 8 ((1 2 3), etc.; (1 ± i ± j ± k)/2)
  • rotation by an angle of 180° such that an edge maps to the opposite edge: 3 ((1 2)(3 4), etc.; i, j, k)
• reflections in a plane perpendicular to an edge: 6
• reflections in a plane combined with 90° rotation about an axis perpendicular to the plane: 3 axes, 2 per axis, together 6; equivalently, they are 90° rotations combined with inversion (x is mapped to −x): the rotations correspond to those of the cube about face-to-face axes

Hallo Nutzer142, Hallo mfb! Nutzer142, ich versuche noch einmal, es Dir zu erklären: Nach Deiner Änderung, die Du mittlerweile viermal versucht hast, besagte der Artikel, dass die Verkettung von einer Ebenenspiegelung, die zwei Punkte des Tetraeders vertauscht, und einer 90°-Drehung zur Symmetriegruppe des Tetraeders gehören würde.

Das hast du vielleicht so verstanden, aber das besagte sie nicht. Zitat: "6 Drehspiegelungen (Ebenenspiegelungen, jeweils kombiniert mit einer nachfolgenden 120°-Drehung)." Ich habe die 120 durch 90 ersetzt, was es erst zu einer wahren Aussage gemacht hat. Wenn du nicht weißt was eine Drehspiegelung ist, ist das dein Problem. Dafür das der Artikel schlecht formuliert ist, kann ich nichts.-- Nutzer142 00:11, 31. Aug. 2010 (CEST)

Und das ist natürlich Quatsch, wie Du selber weißt. Mittlerweile weiß ich auch, dass Du stattdessen etwas Richtiges meinst. Aber das, was Du meinst, ist nun wirklich nicht aus Deiner Version des Artikels herauszulesen.

Ich habe nur einen Fehler korrigiert, es war nicht meine Version.-- Nutzer142 00:11, 31. Aug. 2010 (CEST)

Wenn in einem Artikel einfach so von „Ebenenspiegelung“ die Rede ist, ohne dass erklärt ist, an welcher Ebene eigentlich gespiegelt werden soll, dann kann man darunter nur die Ebenenspiegelung verstehen, die weiter oben im Artikel erklärt ist, und nicht irgendeine andere.

Es war die Rede von einer Drehspiegelung, as verstehst du daran nicht.-- Nutzer142 00:11, 31. Aug. 2010 (CEST)

Du schreibst, im Gegensatz zur im Artikel beschriebenen Spiegelebene wäre Deine Spiegelebene „eindeutig definiert“. Ich verstehe nicht, was Du damit meinst. Jedenfalls war im Artikel erklärt, an was für einer Ebene man spiegeln soll, nämlich an einer Symmetrieebene.

Im Artikel stand Drehspiegelung.-- Nutzer142 00:11, 31. Aug. 2010 (CEST)

An welcher Ebene Du spiegeln möchtest, hast Du erst hier auf Deiner Diskussionsseite erklärt.

Ja, und? Ich habe nicht behauptet, dass ich die Ebene der Drehspiegelung im Artikel beschrieben habe.-- Nutzer142 00:11, 31. Aug. 2010 (CEST)

Richtig ist jedoch, dass man durch Verketten von zwei verschiedenen Ebenenspiegelungen $s,t$ und zwei verschiedenen 120°- oder 240°-Drehungen $d,e$ dieselbe Abbildung erhalten kann, also manchmal gilt $ds=et$, obwohl man zwei verschiedene Ebenenspiegelungen verwendet; vielleicht meinst Du das mit nicht eindeutig definiert.

Die Drehspiegelung lässt sich zwar durch Verkettung anderer Symmetrieabbildungen beschreiben, was nicht ungewöhnlich ist, selbst ist sie aber keine Verkettung von Symmetrieabbildungen. Weder ihre Spiegelebene noch ihre Drehung sind alleine für sich eine Symmetrie.-- Nutzer142 00:11, 31. Aug. 2010 (CEST)

mfb, Deine Version finde ich O.K. Ich denke, ich schreibe gleich aber trotzdem mal dazu, dass man dafür als Spiegelebene eine Symmetrieebene nehmen muss; diese Information stand in Deiner Version nämlich nicht mehr explizit da. MfG Stefan Knauf 21:40, 30. Aug. 2010 (CEST)

Noch eine Frage an Stefan: "Warum machst du das? Du versuchst die Sache so darzustellen, als hätte ich hier einen Fehler oder eine Ungenauigkeit in den Artikel eingebaut. Auf Gedeih und Verderb versuchst du die Sache schön zu interpretieren. Ich erinnere: Du bist derjenige dem gängige Definitionen nicht geläufig sind. Dafür, dass der Artikel missverständlich geschrieben ist kann ich nichts. Auch wenn du es nicht einsehen willst, ich bleibe dabei: Die Drehspiegelung von 90° um besagte Achse und Ebene ist eine der Symmetrien des Tetraeders.

Ich gebe dir noch einen Vergleich: Du könntest auch behaupten "1+2" ist eine der natürlichen Zahlen. Das ist auch besser so, weil "3" ist dir zu kompliziert. Lieber zählst du so: 1,2,"1+2",4,5,... -- Nutzer142 00:36, 31. Aug. 2010 (CEST)

Hallo Nutzer142! Vorab möchte ich Dich bitten, meine Diskussionsbeiträge nicht zu zerstückeln. Zerstückeln empfinde ich als unhöflich.

Dann weiter zur Begriffsklärung: Mit „Deiner Version“ meinte ich die Version des Artikels Tetraeder, die Du viermal hergestellt hast. Dass der meiste Text in dieser Version nicht von Dir stammt, ist mir natürlich auch klar. Der Ausdruck „Deine Version“ scheint mir einfach handlicher als Beschreibungen mit einem Relativsatz oder mit Versionsnummer oder Datum und Uhrzeit o.Ä. Wenn Du es nicht magst, dass ich diese Version so bezeichne, bezeichne ich sie einfach nicht mehr so.

Du schreibst: „ich bleibe dabei: Die Drehspiegelung von 90° um besagte Achse und Ebene ist eine der Symmetrien des Tetraeders.“ Das habe ich nicht bestritten. Es ist nämlich genau dieselbe Abbildung wie die Verkettung der Spiegelung an einer Symmetrieebene mit anschließender Drehung um 120°. Ich bestreite bloß, dass aus der Formulierung, wie sie nach Deiner Bearbeitung dastand, herauszulesen war, welche Abbildung gemeint ist.

Ich zitiere mal aus der Version des Artikels Tetraeder, bevor Du ihn bearbeitet hattest. Dort stand:

• 6 Ebenenspiegelungen (an Ebenen, die jeweils zu einer Kante senkrecht sind und durch den Mittelpunkt dieser Kante gehen) und
• 6 Drehspiegelungen (Ebenenspiegelungen, jeweils kombiniert mit einer nachfolgenden 120°-Drehung).

Ich kann die zweite Zeile nur so verstehen, dass mit „Ebenenspiegelungen“ die Ebenenspiegelungen aus der Zeile darüber gemeint sind. Damit sind die sechs Abbildungen schon alleine mit der Klammer richtig beschrieben. Ich las auf Anhieb heraus, dass diese sechs Abbildungen als Verkettung von diesen Ebenenspiegelungen aus der Zeile darüber und 120°-Drehungen entstehen; und das tun sie ja auch tatsächlich. Außerdem IST diese Verkettung von Ebenenspiegelung und 120°-Drehung ja auch tatsächlich eine Drehspiegelung um 90°, also ist strenggenommen noch nicht mal die Bezeichnung „Drehspiegelung“ falsch. Dort stand ja nicht „120°-Drehspiegelung“. (...auch wenn ich die alte Formulierung mittlerweile sehr unschön finde.) Ich stimme Dir zu, dass man unter einer Drehspiegelung normalerweise die Kombination von Drehung und Spiegelung an einer zur Drehachse senkrechten Ebene versteht.

Nachdem Du Deine Artikeländerung das dritte Mal durchgeführt hattest, habe ich es mal mit einer Formulierung ohne „Drehspiegelung“ versucht. Was Du an dieser Formulierung auszusetzen hast, habe ich nicht verstanden.

Nach Deiner Änderung bezog sich das Wort „Ebenenspiegelungen“ aus der von Dir geänderten Zeile nach meinem Textverständnis immer noch auf die Ebenenspiegelungen aus der Zeile darüber. Ohne zusätzliche Erklärung, dass auf einmal eine andere Spiegelebene als in der Zeile darüber gemeint ist, halte ich die Formulierung für unverständlich.

Meiner Meinung nach war die Formulierung mit der Drehspiegelung vor Deiner Änderung zwar unschön, aber richtig; nach deiner Änderung war nicht mehr zu verstehen, wie nun die letzten sechs Symmetrieabbildungen aussehen sollen. MfG Stefan Knauf 03:37, 31. Aug. 2010 (CEST)

Hallo Stefan, zunächst zu deiner Antwort:

• Mit einem Hyperlink auf die gemeinte Version hinzuweisen finde ich praktisch. So entstehen keine Missverständnisse und man kann mit einem Klick nachschlagen.
• Diese Änderung kann ich nicht mehr zu 100% nachvollziehen. An der Stelle war sie jedenfalls nicht nötig, da kein Fehler mehr an der Stelle war.
• Zu dem Drehspiegelungsmissverständnis: Sorry, aber ich konnte das nicht so verstehen. Wenn ich Drehspiegelung lese, dann suche ich auch danach. Was der normale Leser macht? Keine Ahnung, aber ich halte den Teil mit den Symmetrien sowieso für schlecht formuliert. Mit der Kritik habe ich mich nur zurückgehalten, da ich selbst nicht bereit bin den Artikel zu verbessern.

Jetzt nochmal allgemein. Ich halten den Artikel für sehr unglücklich formuliert. Wenn Symmetrien aufgezählt werden, dann sollten dort auch nur Symmetrien gelistet sein und keine Verkettungen von Symmetrien, die eine Symmetrie ergeben. Sonst fordere ich, dass auch nicht mehr von Drehungen gesprochen wird, denn jede Drehung lässt sich durch zwei Spiegelungen ersetzen. Die Identische brauchen wir auch nicht mehr, ist ja das Gleiche wie zweimal die gleiche Spiegelung, also weg damit. Die Drehspiegelungen gibt es nicht zum Selbstzweck, sondern weil es eine sinnvolle Beschreibung einer Kongruenzabbildung ist. Du kannst jede Kongruenzabbildung durch Spiegelungen ersetzen, aber wenn man sich die Struktur genauer anschaut, stellt man fest, dass man die Verkettungen der Spiegelungen in Gruppen einteilen kann.

• Im eindimensionalen ist es einfach: Punktspiegelung bleibt eine Punktspiegelung, zwei hintereinander ausgeführte Punktspiegelungen nennt man aber sinnvollerweise "Verschiebung". Einen besonderen Namen bekommt noch die Verkettung von zwei Punktspiegelungen am gleichen Punkt, nämlich "Identische Abbildung". Damit ist man fertig.
• Im zweidimensionalen wird es schwieriger, um es abzukürzen: Es gibt Verschiebung, Drehung, Geradenspiegelung und Schubspiegelung. (Identische und Punktspiegelung nehme ich nicht in die Liste auf, weil es Spezialfälle der genannten Kongruenzabbildungen sind)
• Im dreidimensionalen: Verschiebung, Drehung, Verschraubung, (Ebenen)spiegelung, (Ebenen)drehspiegelung, (Ebenen)schubspiegelung

-- Nutzer142 11:20, 31. Aug. 2010 (CEST)

Hallo Nutzer142! O.K., ich habe im Artikel gerade ergänzt, wie man die letzten sechs Symmetrieabbildungen als Drehspiegelung auffassen kann. Ich empfinde die Beschreibung dieser Abbildungen als Verkettung zweier Symmetrieabbildungen zwar als einfacher, sehe aber auch die Ästhetik in der Beschreibung als Drehspiegelung. MfG Stefan Knauf 13:50, 31. Aug. 2010 (CEST)

Damit sollten dann ja alle Klarheiten beseitigt sein. Aber die derzeitige Fassung ist wirklich richtig und eindeutig. --mfb 23:11, 31. Aug. 2010 (CEST)

Falsche Formel zur Bestimmung des Volumen eines regulären Tetraeders ?

Hallo alle zusammen, ich wollte etwas bezüglich der Volumenberechnung eines regulären Tetraeders anmerken/fragen. Es könnte sein, dass ich mich totall irre und nur die Zeit aller Leser verschwende, was ich selbstverständlich nicht hoffe, aber ich sehe nicht, wie die Formel "V = (a³ : 12) * wurzel(2)"(aus der "Formelsammlung" "Größen eines regulären Tetraeders mit Kantenlänge a") das Volumen eines regulären Tetraeders angibt, weil ich meine in der Schule gesagt bekommen zu haben, dass die Formel "V = (G * h) : 3" für alle Körper gilt, die "spitz zulaufen"(kenne den Fachbegriff nicht) und mein Ergebnis für eine Aufgabe, wo ich diese Formel verwendet habe mit dem aus der Formel (a,b und c sind hier Vektoren)"V = |(a × b) * c | : 6"(aus "Allgemeines Tetraeder (dreidimensionales Simplex)") übereinstimmt, wohingegen "V = (a³ : 12) * wurzel(2)" ein anderes Ergebnis lieferte. (Es ist viel wahrscheinlicher, dass ich was übersehen oder verwechselt habe, als, dass etwas im Artikel falsch ist oder die Aussagen meiner Mathelehrer nicht richtig sind ^^.)

Mit freundlichen Grüßen

-- 78.94.35.248 19:28, 28. Aug. 2012 (CEST)

Hallo! Durch mehrmaliges Anwenden des Satzes des Pythagoras bekomme ich beim regelmäßigen Tetraeder mit Kantenlänge $a$ für den Flächeninhalt der Grundfläche $G=\textstyle {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {3}{4}}}\cdot a^{2}$ und für die Höhe $h={\sqrt {\textstyle {\frac {2}{3}}}}\cdot a$ heraus. Daraus ergibt sich mit der Formel für das Volumen von Spitzkörpern $V=\textstyle {\frac {1}{3}}\cdot G\cdot h=\textstyle {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {3}{4}}}\cdot a^{2}\cdot {\sqrt {\textstyle {\frac {2}{3}}}}\cdot a=\textstyle {\frac {1}{12}}\cdot {\sqrt {2}}\cdot a^{3}$, was die Formel aus dem Artikel bestätigt. MfG Stefan Knauf (Diskussion) 23:48, 29. Aug. 2012 (CEST)

Um Missverständnisse auszuräumen schreibe ich das jetzt einfach mal so, wie ich es verstehe. Könnte man bei einem Tetraeder nicht einfach die Formel zur Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks verwenden um die Grundfläche zu ermittelt. Also "A = (g*h):2" Verwende ich deine Formel ergibt sich ein anderes Ergebniss, als wenn ich das damit ausrechne.

Beispiel : gleichseitiges Dreieck Seitenlänge = 3

3² = h² + (3²:2)

h² = 3² -(3²:2)

h = wurzel(4.5)

G = (3*wurzel(4.5)):2

G = (9*wurzel(2)):4

ca. 3.18

Nach der von dir angegebenen Formel würde die Gründfläche (mit a = 3) (9wurzel(3)):4 ( ca. 3.9)ergeben.

Habe ich den Begriff "Grundfläche" nicht verstanden oder einen Rechenfehler gemacht?

MfG

-- 78.94.35.248 23:56, 30. Aug. 2012 (CEST)

Schon in der ersten Zeile ist ein Fehler, richtig wäre

3² = h² + (3:2)²

-- ⅃ƎƏOV ИITЯAM WW 00:07, 31. Aug. 2012 (CEST)

Ooo man, ich mit meinen Rechenfehlern. Okey, also wäre h = wurzel(3²-(3:2)²) was ca. 2.6 ist. Und G passt somit (ca. 3.9), aber wenn ich beides bei "V = (G*h):3" einsetze, bekomme ich mit den Brüchen(9wurzel(3):3 =G; 3wurzel(3):2 = h) 3.375 und das entspricht immer noch nicht dem Ergebnis der Formel aus der Sammlung.

-- 78.94.35.248 01:18, 31. Aug. 2012 (CEST)

Die Höhe eines Tetraeders ist nicht die Höhe des gleichseitigen Dreiecks. Da musst du nochmals mit Pythagoras ran, um die Höhe im Raum zu berechnen. -- ⅃ƎƏOV ИITЯAM WW 17:07, 31. Aug. 2012 (CEST)

Kriege zwar immer noch andere Ergebnisse, aber da mach ich bestimmt einfach nur wieder Fehler. Um die zu finden frage ich lieber mal meinen Mathelehrer ^^. Danke für die Infos und die Gedult.

-- 78.94.35.248 23:41, 31. Aug. 2012 (CEST)

Wenn du dir das Dreieck Flächenmittelpunkt unten - Eckpunkt unten - Spitze oben anguckst, dann sei a= Ecke unten bis Spitze (Kantenlänge Tetraeder), H= Mittelpunkt bis Spitze (gesucht) und b= Mittelpunkt bis Ecke (und das ist 2/3 der Höhe des Dreicks, also a*2/3* (1/2*Wurzel(3)) = a/3*Wurzel(3)). Unten ist der rechte Winkel, also gilt (a/3*Wurzel(3))² + H² = a², also ist H² = a² - a²/3 = 2/3*a². H ist daher a*Wurzel(2/3). Die Grundfläche ist a²/4*Wurzel(3), das Volumen (1/3 * Grundfläche * Höhe) ist demnach (1/3 * a²/4*Wurzel(3) * a*Wurzel(2/3) = 1/3 * a³/4 * Wurzel (2) und das ist a³/12*Wurzel(2), wie im Artikel behauptet. -- ⅃ƎƏOV ИITЯAM WW 12:30, 1. Sep. 2012 (CEST)

(Habe die Fehler in den Rechnungen gefunden.) Wollte zu deiner Erklärung fragen, woher dieser Part "(1/2*Wurzel(3)" stammt und wieso hier in "H² = a² - a²/3" scheinbar das "*Wurzel(3)" fehlt und das hoch zwei nur auf das a bezogen ist. Die Formel a²/4*Wurzel(3) scheint ein genaures Ergebnis zu liefern, als wenn ich die einzelnen Schritte für die Berechnung der Grundfläche durchgehe, auch wenn ich da nicht runde, sondern mit Brüchen oder "Ergebnissen" arbeite o_o. Würde gern wissen, wie du das so umgeformt hast, aber damit strapazier ich wieder nur unnötig dieses geduldige "Forum"(oder wie man das nennen soll ^^).

-- 78.94.35.248 20:32, 3. Sep. 2012 (CEST)

Tetraederwinkel-Berechnung

Ich möchte vorschlagen in dem Bild https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder#/media/File:W%C3%9CRFELA_Tetraederwinkel.PNG die zweite Zeile "in Grad = * 45 / ARCTAN(1)" irgendwie anders zu schreiben oder ganz wegzulassen. So wie es dasteht ist es keine Gleichung, wenn vor dem "*" nichts steht. Es verwirrt mehr als dass es nützt. (nicht signierter Beitrag von 79.241.143.105 (Diskussion) 11:24, 15. Mai 2016 (CEST))

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:W%C3%9CRFELA_Tetraederwinkel.PNG
Dieser Link hat funktioniert. Rechts nun das Bild.Es wird sonst nirgends gebraucht. Warum kümmerst Du Dich darum?
-- mfGn Ana Lemma 37 12:31, 8. Mai 2019 (CEST)

Tetraederwinkel hochgenau

Der Tetraederwinkel berechnet sich hochgenau zu: 109,471220634491 Grad und zwar auf zweierlei Weise. Zum einen aus Winkelberechnungen und zum anderen durch iterative Lösung eines Gleichungssystems. ws

Kantenabstand (erl.)

In die Formeln sollte noch der Abstand der Mittelpunkte zweier gegenüberliegenden Tetraederkanten, z. B. AB und CD, hinein. Ich denke, daß der a/Wurzel(2) ist. --77.10.189.104 04:10, 11. Dez. 2019 (CET)

Belege

Ein Teil des Ausbaus bzw. auch älterer könnte noch ein paar Belege bzw. Einzelnachweise vertragen.--Kmhkmh (Diskussion) 04:22, 14. Nov. 2020 (CET)

Kugelabstände

Wie berechnet man die Abstände aller Kugeln eines Tetraedersystems in Bezug zu einer Kugel?ws--31.150.142.40 14:44, 5. Dez. 2020 (CET)

Dazu müsstest du evtl zuerst definieren, was du unter einem Tetraedersystem verstehen möchtest. –Nomen4Omen (Diskussion) 17:55, 5. Dez. 2020 (CET)

Bild 4: Drachenviereck, Teile zueinander kongruent?

Servus Mathematthias,

siehe herzu die 3D-Zeichnung in GeoGebra. Meinst du wirklich, dass die Teile des Tetraeders zueinander kongruent sind? Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 00:26, 31. Mär. 2023 (CEST)

Lieber Petrus3743,

bin schon öfter auf deine Beiträge gestoßen und schätze sie sehr, insbesondere die Zeichenmaschinen.

Zu deiner Frage kann ich nur sagen: auf Meinung kommt es hier gar nicht an. Die von dir erwähnte GeoGebra Zeichnung spielt hier der Anschauung einen Streich; man kann sie auch so hindrehen, dass das Ungleichgewicht gegenteilig auszufallen scheint:

https://www.geogebra.org/m/kctcmk5b

Ich habe einen ausführlichen Beweis als WORD-Dokument erstellt, weiß aber auch nicht, wie ich diese wikipediatauglich transformieren kann. --Mathematthias (Diskussion) 01:12, 2. Apr. 2023 (CEST)

Lieber Mathematthias,

vielen Dank für deine konstruktive Rückmeldung. Hm..., deine Drehung des Tetraeders bring mich zum Weiterdenken. Vielleicht sollt man einmal die Summe der Oberflächen der beiden Teile vergleichen? Versuche doch bitte deinen Beweis als PDF-Datei auf Commons zu speichern. Inzwischen werde ich versuchen die Oberflächen zu vergleichen... Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 09:27, 2. Apr. 2023 (CEST)

Lieber Petrus3743,

Ich habe jetzt Material eingestellt. Vermutlich weißt du es noch nicht, weil ich den falchen Antwortknopf erwischt habe. Ich komme erst langsam rein ins Wiki-Geschaft...)

bis dann --Mathematthias (Diskussion) 17:10, 2. Apr. 2023 (CEST)

Beweis: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Drachenf%C3%B6rmigGeteiltesTetraederKongruenz.pdf

Bastelbogen: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:NetzDrachenf%C3%B6rmigGeteiltesTetraeder.png --Mathematthias (Diskussion) 13:10, 2. Apr. 2023 (CEST)

Puzzle-Fotos: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ein_Tetraeder_wird_durch_einen_drachenf%C3%B6rmigen_Schnitt_in_zwei_kongruente_Teile_zerlegt.jpg --Mathematthias (Diskussion) 14:42, 2. Apr. 2023 (CEST)

Guten Abend Mathematthias,

das hast du sehr gut gesehen und exzellent veranschaulicht, bravo! Die beiden Teile des Tetraeders sind wirklich kongruent. Dies zeigen auch die beiden Summen der Oberflächen beider Teile (s. GeoGebra).

• Es gibt aber leider noch ein Problem: Nach den Wikipedia-Regeln ist deine Arbeit im Moment noch ohne Beleg und deshalb eine sogenannte Theoriefindung. Sie kann deshalb noch nicht in den Artikel eingarbeitet werden.
• Mein Vorschlag: Versuche einen belastbaren Beleg zu finden, egal ob in Deutsch oder Englisch. Ich werde dazu auch recherchieren, vielleicht klappt es... Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 22:09, 2. Apr. 2023 (CEST)

Hallo Petrus3743,

so ist das also, nicht auf die Wahrheit kommt es an, sondern auf das Renommee...

Die Zeichnung zum Drachenschnitt stammt ja von Dir. Das Faktum auch? Dort wird sich doch schon mal ein gültiger Mensch Gedanken darum gemacht haben!

Grüße

Matthias --Mathematthias (Diskussion) 23:51, 2. Apr. 2023 (CEST)

Servus Mathematthias,

danke für deinen Hinweis. Selbstverständlich ist auch in Querschnitt für die nicht elementare Aussage bezüglich Quadrat „.. Teile des Tetraeders sind zueinander kongruent“ ein Einzelnachweis (Beleg) erforderlich (ist jetzt eingetragen). Übrigens, diese nicht belegte Aussage hätte jeder Leser löschen dürfen. Viele Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 11:29, 3. Apr. 2023 (CEST)

Lieber Petrus3743,

schon wieder ich... Mein letzter Beitrag war gar nicht als Kritik gedacht gewesen (Trotzdem Danke für die Belegangabe). Vielmehr würde mich interessieren, woher Du das Faktum mit dem Drachen als Querschnitt hast. Weder in [5] noch in [6] kann ich dazu etwas finden. Die Hoffnung war (und ist) dass sich dort auch ein Hinweis auf einen Beleg für die Kongruenz findet.

Danke und Grüße --Mathematthias (Diskussion) 23:12, 3. Apr. 2023 (CEST)

Nun, die Idee und Text stammt von MaierPeterH (siehe Version vom 6. April 2022 um 16:38 Uhr), die Galeriebilder und etwas Textangleichung sind von mir. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 08:07, 4. Apr. 2023 (CEST)

Hexagonale Kugelpackung

Zur Berechnung der Packungsdichte PD der hexagonalen Kugelpackung dient die Pyramidenhöhe. --178.142.21.36 17:38, 24. Mai 2023 (CEST)

Raumfüllung

Aristoteles hatte wohl irrtümlich angegeben, daß der Raum mit T parkettiert werden könnte. Es sollte in den Artikel hinein, daß das nicht geht. Etwas anderes sollte auch noch hinein: Wenn man in einer hexagonalen Kugelpackung vom Zentrum einer Kugel aus die zwölf Verbindungsstrecken zu den Mittelpunkten der benachbarten Kugeln zeichnet, dann bilden diese 8 T und 6 vierseitige reguläre Pyramiden. Ich bin mir nicht so sicher, aber das sollte eigentlich bedeuten, daß man den Raum unter Benutzung von T und vierseitigen Pyramiden parkettieren kann. --77.0.129.158 23:07, 22. Aug. 2023 (CEST)

Das ist die Dreieckskuppel, aus der sich Kuboktaeder und Antikuboktaeder zusammensetzen lassen. --77.8.58.237 07:46, 23. Aug. 2023 (CEST)