Diskussion:Ziegenproblem

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Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel Ziegenproblem zu besprechen.

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Anstatt sich gegenseitig um die beste oder richtige Lösung und eigene Darstellungen zu streiten (mein subjektiver Eindruck von einem Großteil der hier beobachteten Diskussion), sollte der Artikel (gemäß den WP-Richtlinien) stattdessen die Darstellung des Problems und seiner Lösungen in reputablen Quellen wiedergeben. Dazu habe ich hier noch einmal eine Reihe reputabler Quellen gesammelt, die von allen online eingesehen werden können, an deren Inhalt sowie an den im Artikel angegebenen weiteren (offline) Quellen sollte sich der Artikel orientieren und dabei möglichst die verschiedenen Darstellungen und Abschnitte auch direkt den einzelnen Quellen zuordnen, sei es mit Einzelnachweisen oder auch im Text direkt wie im englischen Interwiki:

Fachliteratur Mathematik (Bücher, Fachpublikationen, verlässliche Fachwebseiten)[Bearbeiten]

sonstige Literatur (allgemeine Quellen, Fachpublikationen zu nichtmathematischen Aspekten)[Bearbeiten]

Inhalte für einen guten Artikel[Bearbeiten]

Wenn man die (Fach)literatur überfliegt schälen sich schnell einige Kernpunkte heraus, die ein guter Artikel haben bzw. behandeln sollte (egal wie man sie im Detail gliedert oder innerhalb des Artikels gewichtet):

  • einfache Lösung ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten
  • detallierte/komplexe Lösung mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
  • Unterschiede zwischen beiden Lösungen, Erwähnung der (Fach)kritik an der einfachen Lösung
  • "Originalproblem" und Lösung bei Vos Savant (da Auslöser der Kontroverse und verantwortlich für Wirkung und Bekanntheit des Problems)
  • Unklarheiten des Originalproblems, Problemvarianten
  • historischer Abriss

Vorgehen bei persönlichen oder inhaltlichen Dauerkonflikten zwischen Autoren[Bearbeiten]

Wenn man bei nicht behebbaren Meinungsverschiedenheiten Editwars oder die Stagnation des Artikel auf einem möglicherweise schlechten Nivau verhindern will, so kann man eine 3-te Meinung einholen oder weniger formal direkt ein zuständiges Fachportal um Begutachtung bitten. Als Fachportale bietet sich hier vor allem Mathematik aber auch Logik, Philosophie, Physik, Psychologie, Wirtschaft und Informatik an. Es gibt auch ein Portal statistik, das aber zur Zeit weitgehend inaktiv ist. Wichtig ist, dass sich vorher aber alle aktiven Autoren einig sind, eine 3-te Meinung bzw. Begutachtung durch Experten einzuholen und diese dann auch zu akzeptieren. Sollte es einen einzelnen Autoren geben, der jegliche Einigung und auch eine 3-te Meinung blockiert bzw. unterläuft, so kann dessen Account im Extremfall auch sperren lassen. Auch dafür ist es sinnvoll sich über das Fachportal einen kundigen Admin zu suchen, der beurteilen kann, ob der betroffene Autor eine akzeptablen sachlichen Grund für sein Verhalten hat oder nicht. Wenn ein solcher nicht vorliegt und auch ein administrativen Zureden nicht hilft, kann man ihn gegebenfalls sperren. Bei komplexen und sehr unübersichlichen Streitfragen mit langer Vorgeschichte empfiehlt es sich außerdem, das die betroffen Autoren für umstrittene Abschnitte (zur Not auch für den ganzen Artikel) eine komplette ausformulierte eigene Version vorlegen (auf ihrer Benutzerseite oder auf der Diskussionsseite hier), so dass die begutachtenden Experten einfach die bessere (oder sachlich richtige) Version auswählen können.

So ich verabschiede mich damit demnächst aus der Diskussion und wünsche allen aktiven bzw. zukünftigen Autoren gutes Gelingen beim Erreichen eines besseren Artikels. --Kmhkmh 18:25, 23. Jun. 2009 (CEST)

Grundsätzliche "Argumente" bitte auf Seite Diskussion:Ziegenproblem/Argumente diskutieren. Gerhardvalentin 00:49, 29. Jan. 2010 (CET)

Türnummern[Bearbeiten]

@Albtal: Ich habe den Satz nur deshalb umformuliert, weil Morgan et al. nichts abgeändert haben. Abändern schöpft den Verdacht, es sei absichtlich gemacht, was nicht der Fall ist. Und dennoch, erst nach dem Kritik auf ihre Lösung, hat MvS herangeführt die Türnummern seien nur als Beispiel gemeinnt. Das hilft ihr aber nicht, den irgendwelche Türnummern müssen genannt werden, als die gewählte und die geoffnete Türe. Nijdam (Diskussion) 13:10, 16. Mai 2014 (CEST)

Die Formulierung von vos Savant lautet an der entsprechenden Stelle: You pick a door, say number 1, and the host ... opens another door, say number 3, .... Bei der als wörtlich gekennzeichneten Wiedergabe formulieren Morgan et al.: You pick door No. 1, and the host ... opens No.3.--Albtal (Diskussion) 13:39, 16. Mai 2014 (CEST)
Ich weis, aber wo liegt der wirkliche unterchied? Welche Tuere hat MvS denn gemeinnt? Nijdam (Diskussion) 14:48, 16. Mai 2014 (CEST)
Was sagt MvS selbst dazu? Lesen wir doch einfach ihre eigene Stellungnahme:
"Du wählst irgendein Tor, nennen wir das von dir gewählte Tor sodann beispielsweise Nummer 1, und der Moderator öffnet irgendein anderes Tor, nennen wir das vom Moderator geöffnete Tor sodann beispielsweise Nummer 3."
Das wollte sie ausdrücken, gemäß ihrer eigenen Stellungnahme. Gerhardvalentin (Diskussion) 18:24, 16. Mai 2014 (CEST)
Die Übersetzung ist falsch und irreführend.
  • Das Tor wird nicht anschließend „Nummer eins“ genannt. Die Tore sind offensichtlich bereits nummeriert. Die korrekte Übersetzung lautet: „Sie wählen ein Tor, sagen wir mal, Nummer eins“ oder „… nehmen wir mal an, Nummer eins“.
  • Der Moderator öffnet anschließend nicht irgendein anderes Tor. In zwei von drei Fällen hat er ja keine Wahl, wenn er nicht die Autotür öffnen will. Er öffnet also normalerweise ein bestimmtes Tor. Das englische Original gibt dieses irgendein auch nicht her. Dort steht ja nicht „any other door“, sondern „another door“, also einfach „Der Moderator öffnet ein anderes Tor“.
Troubled @sset   Work    Talk    Mail   22:22, 16. Mai 2014 (CEST)
Falsch, unpassend und irreführend ist hier der Beitrag von User:Troubled asset, der, die relevante "Stellungnahme" von MvS offensichtlich ignorierend, hier – offensichtlich unwissend – lediglich die ursprüngliche Fragestellung rezitiert. Das ist höchst unpassend, wo es eben darum geht, wie MvS jene ursprüngliche Fragestellung interpretiert wissen will. Solch ignorante irreführenden "Beiträge" sind keineswegs hilfreich. Gerhardvalentin (Diskussion) 01:52, 17. Mai 2014 (CEST)
Nein Gerhard, 'Troubled asset' hat volkommen Recht. Teil der Diskussion rund das Ziegenproblem stammt aus diesen Unterschied. MvS hat sich geirrt, und nicht daran gedacht dass die Türnummern beim Kandidat bekannt sind am Moment als er sich entscheiden muss, obwohl sie selbst die Türnummern schon ernannt hat. Sie hat spaeter ihren Fehler nicht wahrhaben wollen, und sich dann mit falschen Argumenten verteidigt. Nijdam (Diskussion) 11:40, 17. Mai 2014 (CEST)
Ich kenne nur englische Originaltexte und keine deutschen „Stellungnahmen“. Mir ist kein Text erinnerlich, in dem die Nummerierung der Tore erst festgelegt wird, nachdem der Kandidat bzw. der Moderator ihr Tor gewählt bzw. geöffnet haben. Die Formulierung lautet immer „Der Kandidat wählt ein Tor, beispielsweise Nummer 1“ und nie „Der Kandidat wählt ein Tor, und das nennen wir dann anschließend Nummer 1“. Beim Host lautet die Formulierung immer „Der Moderator öffnet ein anderes Tor, beispielsweise Nummer 3“ und nie „Der Moderator öffnet irgendein anderes Tor, und das nennen wir von da an Nummer 3“.
Wenn man mir einen Beleg beibringen kann, dass MvS tatsächlich Formulierungen verwendet hat wie „the candidate chooses a door, which we will arbitrarily call door number 1 from then on“ oder „the host then opens any other door, which we will then randomly name door number 3“, oder wenn es eine autorisierte Übersetzung eines MvS-Texts mit einem entsprechenden Wortlaut gibt, ziehe ich meinen Einwand gegen die hier als angeblich korrekt eingebrachte Übersetzung selbstverständlich zurück. Bis dahin bleibe ich bei meiner Ansicht, dass die vorstehende Übersetzung einer „Stellungnahme“ weder wörtlich noch sinngemäß korrekt und darüber hinaus irreführend ist.
Troubled @sset   Work    Talk    Mail   13:54, 17. Mai 2014 (CEST)

Was gibt es da eigentlich zu diskutieren? Oben steht doch die Originalformulierung von vos Savant: You pick a door, say number 1, and the host ... opens another door, say number 3.--Albtal (Diskussion) 02:23, 18. Mai 2014 (CEST)

Nicht jeder spricht Englisch als Muttersprache:  "By the way, Marilyn vos Savant’s original question is semantically ambiguous, though this might not be noticed by a non-native English speaker." – Einem Nicht-Engländer fällt das zwar kaum auf, doch semantisch ist das nicht völlig klar. Denn ein Engländer könnte das ebenso lesen als "Du wählst ein Tor, nennen wir es #1" ... usw.  Gerhardvalentin (Diskussion) 18:10, 23. Mai 2014 (CEST)
Laut Benutzer:Gerhardvalentin gibt es noch eine „relevante Stellungnahme“ von MvS (die ich ignoriert habe), in der sie erklärt, was genau sie mit der Originalformulierung sagen wollte – anscheinend etwas anderes als das, was sie in der Originalformulierung tatsächlich gesagt hat –, und es ist ein Zeichen von offensichtlicher Unwissenheit, nur die ursprüngliche Fragestellung zu rezitieren. Um das klären zu können, warten wir derzeit auf eine Referenz zu dieser Stellungnahme.
Troubled @sset   Work    Talk    Mail   11:53, 18. Mai 2014 (CEST)

Parade lesen oder zumindest wissenschaftliche Literatur zum Thema Ziegenproblem und MvS. – Zitat:

By the way, Marilyn vos Savant’s original question is semantically ambiguous, though this might not be noticed by a non-native English speaker.
Are the mentioned door numbers, huge painted numbers on the front of the doors a priori, or are we just for convenience naming the doors by the choices of the actors in our game a posteriori. Marilyn stated in a later column in Parade that she had originally been thinking of the latter.

Quelle bereits aus Anfang 2010: The Three Doors Problem...-s unten Seite 7/8. Gerhardvalentin (Diskussion) 17:30, 23. Mai 2014 (CEST)

Danke, das Paper war mir bekannt, dieses Detail war mir aber nicht mehr erinnerlich. Vermutlich, weil die Frage auch nicht entscheidend ist. Wir wollen aber doch festhalten, dass es sich dabei nicht um ein Original von MvS handelt und dass Gill in diesem Paper MvS nicht einmal wörtlich zitiert, sondern lediglich formuliert, was MvS seiner Meinung nach in einem Parade-Artikel angeblich gemeint hatte. Gleichzeitig stellt er MvS’ Interpretation ihrer eigenen Worte auch noch infrage: „However, her own offered solutions are not consistent with a single unambiguous formulation.“
Wie auch immer, ich halte eine willkürliche Nummerierung der Tore nur zum Zweck der Analyse für gar nicht möglich. Warum? Die Frage des Moderators an den Kandidaten lautet: „Do you want to pick door No. 2?“ Der Moderator stellt sich nicht vor das nicht gewählte und nicht geöffnete dritte Tor und fragt: „Wollen Sie dieses Tor?“, sondern er fragt „Wollen Sie Tor Nummer 2?“ Dies impliziert zwingend, dass Moderator und Kandidat sich einig sind, welches Tor welche Nummer trägt – sonst hätte der Kandidat ja gar keine Möglichkeit, zu wissen, welches Tor der Moderator denn nun meint mit „Tor Nummer 2“ und müsste als Erstes fragen: „Welches Tor ist denn Tor Nummer 2?“ Nummer 2 könnte ja auch das zuerst gewählte Tor sein, und die Frage des Moderators wäre dann zu verstehen wie „Wollen Sie wirklich Tor 2?“ oder „Wollen Sie immer noch Tor 2?“ Wir können jedenfalls nicht nur für die Analyse Nummern vergeben. Auch die Spielteilnehmer müssen sich schon während des Spiels über die Nummerierung einig sein.
Auch Gill selbst ist in diesem Paper übrigens der Meinung, dass die Nummern der Tore sinnvollerweise bereits zu Beginn festgelegt sein müssen. In seinem Layout des Problems schreibt er: „Let the three doors be numbered in advance 1, 2, and 3.“ (Seite 3, Hervorhebung von mir).
Man könnte sich das Ganze auch mit drei verschiedenfarbigen Toren vorstellen – rot, grün und blau. Der Kandidat wählt z.B. zuerst das rote Tor, der Moderator öffnet das blaue Tor mit einer Ziege und fragt: „Wollen Sie das grüne Tor?“ Diese Frage wäre relativ sinnlos, wenn alle Tore grau wären …
Wie schon gesagt, denke ich aber nicht, dass das an den Ergebnissen der Analyse etwas Wesentliches ändert.
Was noch offen ist, ist die Frage „another door / any other door“. Gruß, Troubled @sset   Work    Talk    Mail   19:22, 23. Mai 2014 (CEST)
Farben der Tore?
Das Team versteckt das Auto hinter einem von drei Toren. Die Kandidatin wählt eines der drei Tore, nennen wir es "K" (für Kandidatin). Von den beiden anderen, von der Kandidatin nicht gewählten Toren öffnet  der extrem einseitige (!) Moderator  eines, nennen wir es "M" (für Moderator), um eine dahinter befindliche Ziege  (keinesfalls jedoch das Auto!)  zu zeigen, und bietet der Kandidatin an, als Alternative zu dem anderen noch verschlossenen Tor zu wechseln.
Die Kandidatin und auch wir kennen diesen bis hierher exakt vordefinierten Spielverlauf des Paradoxons. Wir und die Kandidatin wissen nur, dass sie sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 im Szenarium der Trefferwahl befindet und in diesem 1/3-Szenarium durch Beharren gewinnt, sich jedoch mit doppelter Wahrscheinlichkeit von 2/3 im Szenarium der Nietenwahl befindet und in jenem 2/3-Szenarium durch Wechseln mit Sicherheit gewinnt.
Auch nachdem der Moderator Tor "M" geöffnet hat um eine Ziege zu zeigen, bleibt das Verhältnis von "1/3 zu 2/3" bestehen. Für das weltberühmte, nur schwer zu durchschauende Paradoxon ist jede "exaktere" Angabe als "1/3 zu 2/3" unbewiesen und bleibt damit Illusion. Morgan et al. (2010): Im beschriebenen Paradoxon "beträgt auch die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bei Torwechsel 2/3. Punktum."
Dass die Gewinnchance der beiden noch verschlossenen Tore "1/3 zu 2/3" beträgt, verursacht praktisch bei allen, die das Paraoxon noch nicht kennen, große Überraschung.
Leonard Mlodinow sagt: "The Monty Hall problem is hard to grasp, because unless you think about it carefully, the role of the host goes unappreciated."[1] [2]
Der Artikel sollte die extreme Einseitigkeit der Rolle des Moderators, der zu vollen zwei Dritteln (im Szenarium der Nietenwahl) Sklave seiner Rolle ist, sehr deutlich machen. Denn im vollen Szenarium der Nietenwahl (2/3) ist der Moderator, der "sein Auto" nicht zeigen darf dazu gezwungen, der Kandidatin als Alternative ausschließlich sein Tor mit dem Auto anzubieten. Im vollen Szenarium der Nietenwahl (2/3) bringt ein Torwechsel der Kandidatin deshalb mit Sicherheit den Preis.
Und gleich zu Beginn sollte ebenso deutlich gezeigt werden, dass hingegen, wenn der Moderator (außerhalb des beschriebenen Paradoxons) nur "irgendeines" der beiden von der Kandidatin nicht gewählten Tore öffnet und sich dahinter rein "zufällig" eine Ziege befindet, er in der Hälfte des "Nieten-Wahl-Szenariums", also in einem Drittel aller Fälle (nochmals: "in der Hälfte aller Gewinn-Situationen"), zwangsläufig sein Auto zeigen und dadurch die Hälfte aller klaren Gewinnchancen vereiteln würde. Zeigt er eine Ziege nur per Zufall, so steht es nicht mehr 2:1 zugunsten eines Torwechsels, sondern lediglich 50:50. Das entspricht der landläufigen Fehleinschätzung.[3] Der Artikel sollte also klar zeigen: Es ist die extreme Einseitigkeit der Rolle des Moderators, die das Paradoxon generiert (Mlodinow). Gerhardvalentin (Diskussion) 22:37, 23. Mai 2014 (CEST)
Was hat dieser Beitrag mit der Nummerierung oder Nichtnummerierung der Türen zu tun?
Ich habe mir jetzt mal den Ausschnitt aus Mlodinows Vortrag angeschaut. Was ich seltsam finde: Er spricht erst davon, dass das MHP eine gute Möglichkeit ist, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu illustrieren, und dass es wichtig sei, die Zusatzinformation, die der Moderator liefert, zu berücksichtigen, aber in seiner Erklärung bringt er dann die „einfache Lösung“, die beides nicht leistet. -- HilberTraum (Diskussion) 20:34, 25. Mai 2014 (CEST)

@HilberTraum: Wie "wichtig" sind die Tor-Nummern für die korrekte Entscheidung? Deine Frage wirft ein Schlaglicht auf den unübersichtlichen Artikel. Er leidet darunter, dass nicht klar zwischen dem berühmten frappierenden „Paradoxon“ (Selvin bis MvS) und anderen diversen möglichen abweichenden Varianten unterschieden wird.

Das Paradoxon tritt in einer definierten Standard-Handlungsabfolge EINER Fernsehshow auf: Die Kandidatin hat ein Tor (beispielsweise #1) gewählt, der Moderator hat ein anderes Tor geöffnet (beispielsweise #3), um die dahinter stehende Ziege zu zeigen. Die Kandidatin weiß, welches seiner beiden Tore der Moderator geöffnet hat und die Frage ist, ob sie das Angebot zu einem Torwechsel annehmen soll oder nicht.

Die Fachliteratur sagt über das Paradoxon, dass der Moderator, falls die Kandidatin eine Ziege gewählt hat, keinesfalls sein Tor öffnet, hinter dem sich sein „Auto“ befindet (Bedingung: ein Vorzeigen seines Autos hat eine Wahrscheinlichkeit von Null, und dies generiert das Paradoxon).

Die Fachliteratur sagt, dass – über die offensichtliche Information, dass sich das Auto nicht hinter Tor #3 befand – uns die Aktion des Moderators zwar „zusätzliche Information über die Wahrscheinlichkeit“ gibt, wo sich das Auto aktuell befindet, das heißt über eine bestehende „Verteilung“ der Wahrscheinlichkeit zwischen Tor 1 und Tor 2. Jedoch nicht darüber, wo sich das Auto aktuell tatsächlich befindet (der Moderator hält die Position des Autos geheim). Und auch nicht darüber (falls die Kandidatin das Auto gewählt hat) ob der Moderator aktuell beim Öffnen eines seiner beiden Ziegentore eine besondere „Neigung“ gehabt hatte, gerade dieses und nicht das „andere Ziegentor“ zu öffnen.

Und sie sagt, dass die bislang erhaltene Information die Chance, dass sich das Auto hinter Tor #1 befindet, nicht beeinflusst hat. Diese Chance bleibt unverändert, egal ob der Moderator #2 oder #3 geöffnet hat: „Die Tornummern sind beliebig und deshalb (auch nachträglich) austauschbar. Tornummern sind für die Beantwortung der relevanten Frage unnötig. Selbst wenn bekannt ist, dass der Moderator #3 geöffnet hat, stehen die Chancen von Tor #1 zu Tor #2 weiterhin  1:2.  Die Kandidatin sollte in jedem Fall besser wechseln, ein Beharren ist niemals vorteilhaft.“

Die "bedingte Wahrscheinlichkeit" hat in jedem Fall auf die bekannte zentrale Bedingung abzustellen, dass der Moderator keinesfalls sein Auto zeigt. Doch darauf abzustellen, welches seiner beiden Ziegentore er öffnet, ist für das Paradoxon ohne Relevanz, sondern ist ein Thema für den Unterricht in Wahrscheinlichkeitsrechnung (für Varianten außerhalb des Paradoxons). Doch der Artikel ist keine Lektion in Wahrscheinlichkeitstheorie. Morgan et al.: Auch die "bedingte Wahrscheinlichkeit" für den Gewinn durch Wechseln ist 2/3. Punktum. (Norbert Henze sagt dazu: Die Überlegung ist ganz banal und hat eigentlich mit "bedingten Wahrscheinlichkeiten" nichts zu tun.)
Der Artikel sollte nicht unnötig vom Thema abschweifen. Varianten sind als Varianten deutlich zu machen. Der Artikel darf nicht verwirren. Gerhardvalentin (Diskussion) 16:59, 26. Mai 2014 (CEST)

Aber später in der Vorlesung bringt Henze dann ausführlichst eine Herleitung mit bedingten Wahrscheinlichkeiten. Leider, leider sagt er nicht, wie er die Beziehung zwischen den beiden Erklärungen sieht. Die Begründung mit bedingten Wahrscheinlichkeiten ist sicher nicht nur ein Thema für seinen Unterricht, sondern gemäß zahlreicher Literaturquellen (und auch in meinen Augen), die Herangehensweise, um die 2/3-Wahrscheinlichkeit korrekt herzuleiten. Du schreibst oben selbst: „Und sie sagt, dass die bislang erhaltene Information die Chance, dass sich das Auto hinter Tor #1 befindet, nicht beeinflusst hat.“ Genau! Das ist doch die entscheidende Feststellung, bei der – unter Berücksichtigung aller erhaltenen Informationen – genau begründet werden muss, wieso das der Fall ist. Das ist doch nicht selbstverständlich. -- HilberTraum (Diskussion) 20:26, 26. Mai 2014 (CEST)
Genau. Henze ist Professor für Mathematik / Stochastik / Wahrscheinlichkeitsrechnung, ich besitze auch sein Buch, und auch dort schreibt er über das Paradoxon, ohne die "bedingte" Wahrscheinlichkeit (Wahl zwischen zwei Ziegentoren) anzusprechen. Und er weist darauf hin, dass freilich manches (ausdrücklich: für Unterichtszwecke) noch genauer untersucht werden könne. Und er verweist dabei auf ein spätes Kapitel, in welchem er sodann jenen "Unterreichtsstoff in Wahrscheinlichkeitsrechnung" ausführlich behandelt. Henze unterscheidet gewissenhaft zwischen dem "Ziegenproblem" und dem Unterricht in Wahrscheinlichkeitsrechnung. Andere Mathematiker machen diese scharfe Trennlinie ebenso. Siehe den weltberühmten Richard D. Gill, der sagt: Die hier angesprochene "bedingte" Wahrscheinlichkeit ist hinsichtlich des Paradoxons eine unnötige Fleißaufgabe. Man "kann" sie mathematisch ermitteln, doch noch niemand habe "bewiesen" oder könne beweisen, dass dies für die korrekte Beantwortung der Frage "ist Wechseln von Vorteil?" auch tatsächlich "notwendig" sei. The MHP auf en.wp hatte exzessiv Bayes-Formeln enthalten, die "sämtliche" von Richard D. Gill dort gelöscht worden sind. Übrigens ist die "implizite Anname", dass der Moderator bei der Wahl zwischen zwei Ziegentoren keine "Vorliebe" für eines der beiden Ziegentore erkennen lassen kann, auch aus der Tatsache abzuleiten, dass
1. die Kandidatin weder als "subjektivist" eine solche Vorliebe" in der konkreten Situation der einmaligen TV-Show zu erkennen vermag, noch als "frequentist" - bei Beachtung der Regeln - festzustellen in der Lage ist. Das hat dazu geführt, dass
2. in der relevanten Fachliteratur vorbeugend dem Moderator "unterstellt" wird, er "wähle dabei eines der beiden Ziegentore mit gleicher Wahrscheinlichkeit" (Münzwurf). Die Henze-Stelle folgt. Nach meinem Verständnis bezieht er sich dabei eben gerade auch auf das Ziegenproblem. Gruß Gerhardvalentin (Diskussion) 23:07, 26. Mai 2014 (CEST)
Mit „seinem Buch“ meinst du Stochastik für Einsteiger, oder? Dann sag doch bitte, auf welches exaktes Zitat sich deine Aussagen beziehen „(ausdrücklich: für Unterichtszwecke)“. Ich habe gerade das ganze pdf durchsucht und die Zeichenkette „Unterricht“ (oder „Untericht“, falls ein Druckfehler vorliegen sollte) kommt in diesem Zusammenhang im ganzen Buch nicht vor. Ich habe auch nicht behauptet, dass die Betrachtung bedingter Wahrscheinlichkeiten „notwendig“ ist, sondern nur, dass sie dem Problem angemessen ist und eine korrekte Antwort auf die Fragestellung liefert. Aus der Aufgabe geht mMn eindeutig hervor, dass die Frage "ist Wechseln von Vorteil?" beantwortet werden soll, nachdem der Kandidat zwei zusätzliche Informationen erhalten hat: Der Moderator hat diese bestimmte Tür geöffnet und hinter der geöffneten Tür ist eine Ziege. -- HilberTraum (Diskussion) 23:01, 26. Mai 2014 (CEST)
Henze, Stochastik für Einsteiger, 9. Auflage, Kapitel 7.5 Zwei Ziegen und ein Auto, Schluss: "Bei allen diesen Betrachtungen ist natürlich entscheidend, dass der Moderator die Autotür geheimhalten muss, aber auch verpflichtet ist, eine Ziegentür zu öffnen. Wer dieser Argumentation nicht traut und lieber praktische Erfahrungen sammeln möchte, lasse sich unter der Internet-Adresse [3] überraschen."
Kapitel 15: Bedingte Wahrscheinlichkeiten: "In diesem etwas längeren Kapitel geht es hauptsächlich um Fragen der vernünftigen Verwertung von Teilinformationen über stochastische Vorgänge und um den Aspekt des Lernens aufgrund von Erfahrung."
Kapitel 15.9: Das Ziegenproblem (vgl. 15.2 und 7.5): "Natürlich sind Verfeinerungen des Modells denkbar. Beispielsweise könnte der Moderator für den Fall, dass er eine Wahlmöglichkeit zwischen zwei Ziegentüren besitzt, mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit q die Tür mit der kleineren Nummer wählen (s. Übungsaufgabe 15.3)."
15.10 Beispiel (Fortsetzung von Beispiel 15.3): "Beispiele wie 15.3 finden sich häufig in Lehrbüchern zur Stochastik. Ihr einziger Zweck besteht darin, mit bedingten Wahrscheinlichkeit schematisch rechnen zu üben. So wird jeder, ..."
Gruß, Gerhardvalentin (Diskussion) 23:55, 26. Mai 2014 (CEST)
So! Das klingt doch schon ganz anders. Ich denke, da kann man uneingeschränkt zustimmen. Insbesondere ist sicher die Diskussion allgemeiner Wahrscheinlichkeiten q eine Feinheit, die im Artikel momentan ziemlich überrepräsentiert ist. Zum letzten Punkt beachte man aber, dass es da gar nicht um das Ziegenproblem geht, sondern um dieses seltsame „Spiel“, bei dem jemand im Nachbarraum würfelt. Das ist in der Praxis sicher noch niemandem begegnet, sondern wohl wirklich nur eine einfache Rechenübung. (Andererseits könnte man vielleicht auch sagen, dass das ganze Ziegenproblem nur eine intellektuelle Fingerübung ist, die darüber hinaus keine große Bedeutung hat …) SCNR: Während wir hier Vor- und Nachteile korrekter Begründungen für die 2/3-Lösung diskutieren, nützt wahrscheinlich Albtal die Gelegenheit, den Artikel Schritt für Schritt unauffällig so umzuschreiben, dass am Ende nur die 50-50-Lösung richtig ist, sodass wir uns den Aufwand sowieso sparen können … zwinker  -- HilberTraum (Diskussion) 21:04, 27. Mai 2014 (CEST)
+1. – Chance Richtung enzyklopädisch, bei klarer Artikelstruktur? Gerhardvalentin (Diskussion) 21:38, 27. Mai 2014 (CEST)
+1 für „Insbesondere ist sicher die Diskussion allgemeiner Wahrscheinlichkeiten q eine Feinheit, die im Artikel momentan ziemlich überrepräsentiert ist.“ und „Während wir hier ...“.
Zum ersten Punkt werden zwar die Fälle q=1/2 und q=1 ausführlich dargestellt. Der eigentliche Witz, wie man von den q-spezifischen Aussagen wieder zu einer generellen Aussage kommt, fehlt aber. Das wäre so, wie wenn man bei Schere, Stein, Papier nur analyisieren würde, welche Strategie jeweils unter der Annahme einer dem Gegner unterstellten Strategie optimal wäre. Die aufgrund dieser Unvollständigkeit suggerierte Mehrdeutigkeit soll wohl als Nachweis dafür diesen, dass der Wert 2/3 das Ergebnis einer großen Verschwörung ist.
--Lefschetz (Diskussion) 21:50, 27. Mai 2014 (CEST)

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Mlodinow, Leonard (2008). The Drunkard's Walk: How Randomness Rules Our Lives. Seiten 53–56.
  2. The Monty Hall Problem. Event occurs at 25:00–28:00 – via YouTube.
  3. University of California San Diego, Monty Knows Version and Monty Does Not Know Version, An Explanation of the Game


Wechseln – ja oder nein? – Die "Lösung"[Bearbeiten]

Immer wieder taucht die einfache Erklaerung (keine Loesung) auf. Und immer wieder versuchen Autoren diese Erklaerung als Loesung zu rechtfertigen. Das koennen sie aber nicht. Ich habe mit Henze ausfuehrlich darueber diskutiert; er hat es mir aber nicht gestattet daraus zu zitieren. Jedenfalls kann ich sagen dass auch Henze die "Loesung" von MvS auffasst als eine intuitive Erklarung, die hilft das Problem zu verstehen, und dass die einfache Erklaerung als Loesung zutrifft wenn man das Problem ein wenig anders formuliert.Nijdam (Diskussion) 12:07, 28. Mai 2014 (CEST)

Frage an W. Nijdam, zu  "ein wenig anders formuliert": Bitte kannst/darfst Du angeben, WIE die Umformulierung gemäß Henze lauten müsste? Gerhardvalentin (Diskussion) 09:30, 29. Mai 2014 (CEST)
(Auch) richtig! Die (zu) „einfache Lösung“ bezieht sich auf den Zeitpunkt, bevor der Moderator eine Tür mit Ziege wählt und öffnet. Allerdings zeigt der zu diesem Zeitpunkt bestimmte Wert 2/3 für die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Wechsels, was „im Mittel“ bei den Erfolgswahrscheinlichkeiten auf Basis der mit einer unbekannten Moderator-Auswahl-Wahrscheinlichkeit q parametrisierten Modelle herauskommt: Die absoluten Wahrscheinlichkeiten für die Unterereignisse „Türwechsel ist gut“ und „Türwechsel ist schlecht“ verhalten sich nämlich affin-linear zu q, so dass im Bayes’schen Sinne E(q)=1/2 ausreicht, um 2/3 zu erhalten – und nicht 0,693, wie von Morgan et al. vermutet. Aber das ist Dir, Nijdam, natürlich bestens bekannt.
--Lefschetz (Diskussion) 15:41, 28. Mai 2014 (CEST)
Die andere Formulierung betrifft ein anderes Problem, und zwar die unbedingte Variante. Viele Autoren, wie auch MvS, die die (zu) einfache Erklaerung benutzen, versuchen dazu eine Rechtfertigung zu finden, indem sie das Problem so versuchen zu formulieren dass keine bedingte Wahrscheinlichkeit notwendig ist. Das gelingt aber nur kuenstlich, und entnimmt dem Problem seine Existenzgrund.Nijdam (Diskussion) 11:48, 30. Mai 2014 (CEST)
Ja! Natürlich ist es ein anderes Problem, wenn sich der Kandidat bereits entscheiden muss, bevor die Tür aufgemacht wird (aber immerhin im Wissen, dass eine Tür mit Ziege aufgemacht werden wird). Aber diese beiden Probleme hängen natürlich zusammen.
Ich erlaube mir mal eine Problem-Modifikation: Es gibt kein Auto zu gewinnen, sondern 3000 Euro. Außerdem verspricht der Moderator einen Bonus von 1500 Euro, die es nur dann gibt, wenn der Kandidat nicht wechselt und gewinnt. Dann stehen beim A-Ariori-Problem 1/3*4500=1500 ohne Türwechsel gegen 2/3*3000=2000 beim Wechsel, also sollte man wechseln! Und welche (eine???) Lösung hat das „richtige“ Problem „Entscheidung nach Türöffnung durch den Moderator“. Ich weiß, dass ich trotzdem wechseln würde. Du doch auch, oder? Und wie begründen wir das? Ja mit der Berechnung, die Du erstmals richtig mit Hogbin gemacht hast. Leider funktioniert bei dieser Variante nämlich kein Argument mehr, bei der die eine Entschdeidung die andere quasi dominiert.
--Lefschetz (Diskussion) 12:56, 30. Mai 2014 (CEST)
Das Paradoxon tritt auf "in einer" Fernsehshow, und die nach dem Öffnen eines Ziegentores (!) gestellte Frage: "Ist Wechseln vorteilhafter als Beharren?"
kann schlicht mit Ja oder Nein gelöst werden.
Lösung und Begründung:
  • Da ein Beharren niemals vorteilhafter sein sein kann, scheidet ein "Nein" als Lösung definitiv aus.
  • In 2/3 aller Fälle befindet sich die Kandidatin aktuell unabänderlich (!) im "Szenarium der Nieten-Wahl", wobei ein Torwechsel aktuell zwangsläufig zum Gewinn des Autos führt: In dieser aktuellen Situation der Nieten-Wahl muss der Moderator ein Wechseln auf sein Tor mit dem Auto angeboten haben, indem er seine einzige (die zweite) Ziege gezeigt hat. Befindet sich das Auto aktuell hinter Tor #2, muss er die zweite Ziege hinter #3 gezeigt haben, und befindet sich das Auto aktuell hinter #3, muss er die zweite Ziege hinter #2 gezeigt haben. In dieser aktuellen Situation der Nieten-Wahl führt ein Torwechsel zum Gewinn, gleichgültig ob er #2 oder #3 geöffnet hat. Während nur im restlichen 1/3 aller Fälle sich die Kandidatin aktuell unabänderlich (!) im Szenarium der Treffer-Wahl befindet, wobei – gleichgültig, welche seiner beiden Ziegen der Moderator hergezeigt hat – (also unabhängig vom Moderatorverhalten) ein Wechseln zwangsläufig schadet (Quelle: Leonard Mlodinow). Meiner Meinung nach wird zur Entscheidungsfindung ein "aus dem Moderatoverhalten ableitbarer" (???) Hinweis darauf, in WELCHEM Szenarium sich die Kandidatin aktuell befindet (Nietenwahl oder Trefferwahl), also ein derartiger "Hinweis zur aktuellen Erfolgswahrscheinlicheit", nicht benötigt und ist somit irrelevant für die in der AKTUELLEN (konkret gegebenen) Spielsituation zu gebende Antwort.
Da ein "Nein" bereits ausgeschieden war verbleibt, als generelle begründete Lösung der Frage – "unter allen Bedingungen" – ein schlichtes "Ja". Period.
(nota bene: auch NACH ! – Die Unterscheidung "vor oder nach" ist für die einzig korrekte Lösung (JA, deshalb: WECHSELN!) völlig sinnfrei.
Gerhardvalentin (Diskussion) 16:40, 28. Mai 2014 (CEST)
Auch richtig. Siehe Die Fragestellung ist qualitativ, nicht quantitativ
nachträgliche Ergänzung:
Da ein Beharren niemals vorteilhafter sein sein kann, scheidet ein "Nein" als Lösung definitiv aus.
... ist natürlich richig.
In 2/3 aller Fälle befindet sich die Kandidatin unabänderlich im "Szenarium der Nieten-Wahl", wobei ein Torwechsel zwangsläufig zum Gewinn des Autos führt.
... ist m.E. missdeutig. Das Ereignis, bei dem ein Türwechsel gut ist und dessen Wahrscheinlichkeit 2/3 beträgt, zerlegt sich durch das Türöffnen des Moderators in zwei Unterereignisse, von denen nur eins als zugehörig zur Frage, die ja nach dem Türöffnen gestellt wird, interpretiert wird. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten für diese beiden Unterereignisse (und damit auch die bedingten Wahrscheinlichkeiten für einen Erfolg) hängen aber von dem Moderatorverhalten ab, das dem Spieler unbekannt ist.
Es ist wie beim Wurf von zwei Würfeln: Die Wahrscheinlichkeit für eine Summe 11 ist 2/36. Aber nicht unabänderlich, denn wenn der erste Würfel vor dem zweiten fällt, verändert sich natürlich die Wahrscheinlichkeit.
--Lefschetz (Diskussion) 16:45, 28. Mai 2014 (CEST)
Ja genau. Gerhardvalentin, du schreibst „nach dem Öffnen eines Ziegentores“ und in der Begründung „ob sich dieses hinter Tor #2 befindet und er die Ziege hinter #3 zeigen muss, oder ob sich das Auto hinter #3 befindet und er die Ziege hinter #2 zeigen muss“. Der zweite Fall kann ja dann gar nicht mehr vorliegen, das passt also nicht zusammen. -- HilberTraum (Diskussion) 11:42, 29. Mai 2014 (CEST)
Eben je nachdem - beides war doch möglich? Danke, ich seh' mal nach. Gerhardvalentin (Diskussion) 11:58, 29. Mai 2014 (CEST)
Ja eben, war möglich, aber aktuell ist doch nur noch eines von beiden möglich.
Überleg’s dir doch lieber so: Die Kandidatin weiß jetzt, dass der Moderator Tor #3 geöffnet hat. Es sind also nur die folgenden beiden Szenarien möglich:
1. Der Moderator musste es öffnen, weil das Auto hinter #2 ist.
2. Das Auto ist hinter #1 und der Moderator hat sich zufällig für #3 entschieden.
Das Szenarium 1 tritt in 1/3 aller Spielrunden ein, das Szenarium 2 in 1/6 aller Spielrunden, also nur halb so oft. Wenn die Kandidatin also von Szenarium 1 ausgeht, liegt sie doppelt so oft richtig. -- HilberTraum (Diskussion) 12:16, 29. Mai 2014 (CEST)
Deine Herleitung von "2/3" ist freilich völlig korrekt und mathematsch bereits "Standard", doch gilt mMn auch die Sicht non Mlodinow, die ich wiederzugeben versuche. Und wie gesagt: "Je nachdem". Tabelle? Gerhardvalentin (Diskussion) 12:47, 29. Mai 2014 (CEST)
Das "dem Spieler bekannte Moderatorverhalten" ist zur Entscheidungsfindung – wie von Mlodinow deutlich gezeigt, der ostentativ nicht näher darauf eingeht – irrelevant, jedoch ist es andererseits ein willkommenes Thema im Bereich des Rechnens mit bedingten Wahrscheinlichkeiten. Diese Themen-Trennung ist leider noch nicht "Standard". Gerhardvalentin (Diskussion) 12:47, 29. Mai 2014 (CEST)
Ich kann nur nochmals daran erinnern, dass man Wirklichkeit (Was würden wir tun, wenn wir als Kandidat gefragt würden: Klar, natürlich wechseln, selbst wenn sich die bedingten Erfolgswahrscheinlichkeiten von 0,45 bis 0,95 statt von 0,5 bis 1 bewegen würden) und Modell unterscheiden sollte. Beim Modell würde mir persönlich das A-Priori-Modell ausreichen. Es kommt am schnellsten zur Erfolgswahrscheinlichkeit 2/3. Aber Wissenschaft lebt davon, Widerspruch zu ertragen und Argumente aufzunehmen. Und da kann man Morgan et al. und Nijdam nicht ganz wegwischen, auch wenn ich deren Prädikat „falsch“ für die A-Priori-Erklärung für etwas zu hart halte. Dabei muss man eben nicht von einem „dem Spieler bekannte[n] Moderatorverhalten“ ausgehen. Es reicht, dass man als Spieler ein Moderatorverhalten annimmt. Das ist aber unvollständig, wenn ich nicht wieder zu einer Zahl komme, wo ich sagen kann, Wechseln ist doppelt (o.ä.) so gut wie Nicht-Wechseln (vergleiche mein obiges Würfelbeispiel). Und da lässt sich eben einfach (!) beweisen, dass sich jede Bayes’sche-Annahme einer A-Priori-Verteilung von q mit E(q) = 1/2 so verhält wie der Fall q = 1/2 und dieser Fall aufgrund der Symmetrie so wie das A-Priori-Modell. Es ist wie bei Schrödinger und Heisenberg. Es kommt dasselbe raus. Schön für die Wirklichkeit und eigentlich keiner langen Debatten wert.
--Lefschetz (Diskussion) 16:15, 29. Mai 2014 (CEST)
Danke Lefschetz. Ja, grundsätzlich völlig einverstanden. Und ja, die "Bayes-Universalformel" hilft Veranschaulichen, und sie ist (mathematisch) korrekt. Doch sie gibt (infolge der unzähligen "möglichen Annahmen von 0 bis 1") entsprechend viele Wahrscheinlichkeitswerte von 1/2 bis 1. Dass aber alle möglichen "Annahmen" nichts weiter als bloße "Annahmen" bleiben (!), relativiert von vornherein sämtliche daraus resultierenden Wahrscheinlichkeitswerte, die (bis auf 2/3) aktuell offensichtlich ungültig sind und nur bei exaktem Zutreffen der jeweiligen Annahme "zuträfen".

Kurz: Sie alle sind "falsch", wenn sie von der "Annahme 1/2" mit dem Ergebnis "2/3" abweichen. Ja, die Bayes-Univeralformel sieht zwar "korrekt" aus, doch für das Paradoxon ist jedes ihrer Wahrscheinlichkeits-Resultate "ungleich 2/3" schlicht falsch. Also nichts als bloße Mathematik. Mag zwar dem Veranschaulichen und dem Verständnis helfen, allenfalls auch als "Beweisführung", ist jedoch daüberhinaus (insbesondere für die korrekte Antwort / sprich "Lösung" unnötig. Zur Beweisführung eignet sich mMn besser die Tatsache, dass das aktuell zutreffende Szenarium (2/3 Nietenwahl zu 1/3 Trefferwahl) unabänderlich ist. Es sollte nur erkennbar gemacht werden, dass dabei die Torwahl des – bis auf seine "Rolle" unbekannten – Moderators keine Beeinträchtigung dieses Verhältnisses von 2/3 zu 1/3 bewirkt. Kannst Du meine Worte klarer ausdrücken als ich? All das sage ich im Hinblick auf die Struktur des Artikels, der - ungleich Henze, Gill, Mlodinow und vielen anderen - ungerechtfertigt mit nichtssagenden Formeln überladen ist. Das Paradoxon wird hier nicht verdeutlicht, sondern als Lehrstoff in Stochastik missbraucht. Gruß Gerhardvalentin (Diskussion) 18:05, 29. Mai 2014 (CEST)

Weitgehend sind wir uns einig. Ich bin aber, wie ich oben schrieb, kein Anhänger von „richtig“ und „falsch“. Ich sehe den Ansatz von Morgan et al. – wie Du – als Mathematik, und zwar solche, die in Bezug auf die Anwendung Zwischenergebnisse liefert (wie bei den zwei Würfeln und Schere-Stein-Papier). Was ist daran schlimm? Einverstanden bin ich mit Deiner Wertung, dass im Artikel die Gewichte falsch gesetzt sind. Dafür habe ich ja bereits einen Baustein gesetzt und würde mich freuen, wenn irgendjemand mal konkret anfangen würde. In meinen Augen würde eine Darlegung der Fälle q = 1/2 und das allgemeine q (deutlich kürzer als jetzt q = 1) reichen (man muss natürlich berücksichtigen, dass der Indifferenzprinzip-Fall q = 1/2 der Ansatz ist, den die meisten Autoren verwenden, so dass er in WP dargelegt werden muss).
--Lefschetz (Diskussion) 18:59, 29. Mai 2014 (CEST)

Die "einfachen Lösungen" beziehen sich aus meiner Sicht auf die Situation nach dem Öffnen der Ziegentür durch den Moderator. Die Fragestellung ist ja an dieser Stelle unmissverständlich. Diese "einfachen Antworten" beinhalten den Gedankengang, dass man durch das vorher schon bekannte Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür keine neue Information erhält, aus der man etwas schließen kann.

Das stimmt bei korrekt formulierter Spielregel, wenn man voraussetzt, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht davon abhängt, ob z.B. bei "Wahl" von Tür 1 vom Moderator Tür 2 oder aber Tür 3 geöffnet wird. Diese Annahme entspricht der Annahme "q = 1/2" bei der Lösung mit bedingten Wahrscheinlichkeiten bzw. "E(q) = 1/2" bei Lefschetz, die zum "Schwerpunkt" 2/3 führt.

Dass der "allgemeine" Ansatz, der zur Gewinnwahrscheinlichkeit 1/(1+q) führt - also nur zur sehr unscharfen Aussage "zwischen 1/2 und 1" - nicht angemessen ist (wenn er auch die ebenso unscharfe Frage in der ursprünglichen Aufgabe beantwortet), sieht man, wie ich hier schon ausführte, wenn man die Anzahl der Türen erhöht. Bei der Million-Türen-Variante von vos Savant ergäbe sich dieselbe unscharfe Aussage "zwischen 1/2 und 1" - im Gegensatz zu offensichtlich angemessenen exakten 99,9999%. (Zu Morgan und vos Savant ist das inzwischen auch im Artikel zu finden.)--Albtal (Diskussion) 17:36, 28. Mai 2014 (CEST)

Weitere Verbesserung des Artikels[Bearbeiten]

Bevor folgender Gedanke auch in reputablen Quellen erscheint, möchte ich ihn hier schon mal bringen:

Wir wissen, dass sich beim Ziegenproblem nur dann eine 2/3-Lösung ergibt, wenn der Moderator durch die Spielregel zum Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür verpflichtet ist (und danach einen Wechsel anbieten muss). (Eine dazu äquivalente Regel bzw. Problemformulierung tut es natürlich auch.)

Wir wissen auch, dass die 2/3-Lösung auf der Basis dieser Spielregel sehr einfach zu einzusehen ist:

Hat der Kandidat Tür 1 gewählt, gewinnt er durch Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tür 2 steht, als auch, wenn es hinter Tür 3 steht.

Das sieht man sofort: Wenn man z.B. drei Spielkarten auf den Tisch legt, muss man mit der "Simulation" nicht einmal richtig anfangen.

Das Problem wurde aber in der Öffentlichkeit ohne die entscheidende Spielregel verbreitet, wofür es zahllose Belege, auch in der Fachwelt, gibt.

Dass dann bei der Begründung der 2/3-Lösung Konfusion entsteht, ist zwangsläufig. Und es fehlt ja bei der Erklärung auch der entscheidende Grund: Dass es nämlich gar nicht der Moderator ist, der etwas Überraschendes tut, sondern dass er nur ausführt, was der Kandidat sowieso schon weiß. Und dass er gezwungen ist, von den beiden Türen, die zusammen eine 2/3-Chance haben, eine Nietentür zu entfernen. Und es ist nur dieser Zwang, der zu einer 2/3-Chance für die andere Tür führt.

Wer von der 2/3-Lösung überrascht ist und sich erst durch Simulationen oder entsprechende Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen überzeugen lässt, zeigt, dass er das Problem nicht verstanden hat und dass die von ihm behauptete 2/3-Lösung für die gestellte Aufgabe falsch ist.

Es entgeht ihm der Unterschied zwischen der Situation, in der sich der Kandidat auf der Bühne befindet, und der "Simulation", in die die fehlende Spielregel unerkannt einfließt.

Nun der angekündigte Gedanke:

Wenn jemand eine "Simulation" als Beleg für die Richtigkeit der 2/3-Lösung auf der Basis der ursprünglichen Aufgabe vorführt, spielt er in diesem Moment tatsächlich ein Spiel mit einer 2/3-Lösung, wenn wir voraussetzen (und aus dem Kontext folgt das ja jetzt), dass er auf jeden Fall "eine nicht gewählte Ziegentür öffnet" und einen Wechsel anbietet.

So spielen selbst der Lehrer im Film "21" und die Autoren vom Mathe-Prisma der Universität Wuppertal, wenn sie die Situation "nachspielen", ein Spiel mit einer 2/3-Lösung, obwohl sie es selbst auch für möglich halten, dass der Moderator den Kandidaten nur reinlegen will, was bei korrekt formulierter Spielregel unmöglich ist.

D.h. es wird ein Spiel mit einer 2/3-Lösung gespielt, ohne den entscheidenden Grund für diese Lösung zu kennen.

Die "Auflösung" des Wirrwarrs ist natürlich die Erkenntnis, dass bei der ursprünglichen Aufgabe die entscheidende Spielregel fehlte.

So hat auch das "Hütchenspiel", das Marilyn vos Savant als Beleg für die 2/3-Lösung empfiehlt, durchaus diese Lösung, da sich hier aus dem Kontext die entscheidende Spielregel ableiten lässt.

Aber es ist eben nicht das Spiel, das "um die Welt ging".

Ich bringe diesen Beitrag hier auf der Diskussionsseite, weil ich darin ein großes Potential für eine weitere Verbesserung des Artikels sehe.

Zwar gibt es natürlich zahlreiche Quellen, aus denen sich dieser Gedanke ableiten lässt; aber es wäre gut, Quellen zu finden, die ihn direkt formulieren.--Albtal (Diskussion) 11:13, 6. Jun. 2014 (CEST)

Ja, es ist tatsächlich die extreme "Einseitigkeit der Rolle" des Moderators, die das Paradoxon generiert. Beste Quelle bisher: Leonard Mlodinow. Diese extreme Einseitigkeit seiner Rolle wird zu wenig betont und meist kaum beachtet.
Oben, nach Nummern bzw. Farben, unter "Farben der Tore" schrieb ich (22:37, 23. Mai 2014 mit Quellenangabe):
Auch nachdem der Moderator Tor "M" geöffnet hat um eine Ziege zu zeigen, bleibt das Verhältnis von "1/3 zu 2/3" bestehen. Für das weltberühmte, nur schwer zu durchschauende Paradoxon ist jede "exaktere" Angabe als "1/3 zu 2/3" unbewiesen und bleibt damit Illusion. Morgan et al. (2010): Im beschriebenen Paradoxon "beträgt auch die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bei Torwechsel 2/3. Punktum."
Dass die Gewinnchance der beiden noch verschlossenen Tore "1/3 zu 2/3" beträgt, verursacht praktisch bei allen, die das Paraoxon noch nicht kennen, große Überraschung.
Leonard Mlodinow sagt:
"The Monty Hall problem is hard to grasp, because unless you think about it carefully, the role of the host goes unappreciated." (Mlodinow, Leonard 2008: The Drunkard's Walk: How Randomness Rules Our Lives. Seiten 53–56.) und The Monty Hall Problem.
Der Artikel sollte die extreme Einseitigkeit der Rolle des Moderators, der zu vollen zwei Dritteln (im Szenarium der Nietenwahl) Sklave seiner Rolle ist, sehr deutlich machen. Denn im vollen Szenarium der Nietenwahl (2/3) ist der Moderator, der "sein Auto" nicht zeigen darf dazu gezwungen, der Kandidatin als Alternative ausschließlich sein Tor mit dem Auto anzubieten. Im vollen Szenarium der Nietenwahl (2/3) bringt ein Torwechsel der Kandidatin deshalb mit Sicherheit den Preis.
Und gleich zu Beginn sollte ebenso deutlich gezeigt werden, dass hingegen, wenn der Moderator (außerhalb des beschriebenen Paradoxons) nur "irgendeines" der beiden von der Kandidatin nicht gewählten Tore öffnet und sich dahinter rein "zufällig" eine Ziege befindet, er in der Hälfte des "Nieten-Wahl-Szenariums", also in einem Drittel aller Fälle (nochmals: "in der Hälfte aller Gewinn-Situationen"), zwangsläufig sein Auto zeigen und dadurch die Hälfte aller klaren Gewinnchancen vereiteln würde. Zeigt er eine Ziege nur per Zufall, so steht es nicht mehr 2:1 zugunsten eines Torwechsels, sondern lediglich 50:50. Das entspricht der landläufigen Fehleinschätzung University of California San Diego, Monty Knows Version and Monty Does Not Know Version, An Explanation of the Game. Der Artikel sollte also klar zeigen: Es ist die extreme Einseitigkeit der Rolle des Moderators, die das Paradoxon generiert (Mlodinow).
Soweit die Wiederholung des obigen Zitates. Die "Rolle" des Moderators, der Sklave seiner "Rolle" ist, wird zu wenig betont und zumeist kaum beachtet. Doch sie ist der "Schlüssel" zum Verständnis des Paradoxons. Gerhardvalentin (Diskussion) 13:26, 6. Jun. 2014 (CEST)
Ja, aber die Aufgabe muss auch so formuliert sein, dass der "Zwang", unter dem der Moderator steht, erkennbar ist. Sonst haben wir nämlich genau das "umgekehrte" Problem: Wer glaubt, dass man auch ohne diesen Zwang zur 2/3-Lösung kommt, liegt mit dieser Lösung falsch. Und wer dann das Problem zum "Beweis" seiner These "simuliert", erhält die 2/3-Lösung nur, weil in die Simulation die "Zwangsregel" implizit einfließt. Das erklärt die "Überraschung" mancher Publizisten nach ihrer "Simulation". Und es erklärt auch, warum sie die Lösung anderen gegenüber durch "Simulation" belegen wollen: Die viel einfachere Begründung, dass man (bei korrekter Spielregel mit "Zwang") von vornherein in zwei von drei Fällen gewinnt, stimmt dann nämlich auch gar nicht.--Albtal (Diskussion) 13:53, 6. Jun. 2014 (CEST)
Was meinst Du mit "... Die viel einfachere Begründung, dass man (bei korrekter Spielregel mit "Zwang") von vornherein in zwei von drei Fällen gewinnt, stimmt dann nämlich auch gar nicht" ?  Gerhardvalentin (Diskussion) 14:08, 6. Jun. 2014 (CEST)
Wenn der Moderator durch die Spielregel verpflichtet ist, eine nicht gewählte Ziegentür zu öffnen und einen Wechsel anzubieten, lautet eine ganz einfache Begründung der 2/3-Lösung: Der Kandidat gewinnt in zwei von drei Fällen bei einem "Wechsel": Der Moderator muss eine der nicht gewählten Türen mit einer Niete öffnen, der Kandidat öffnet dann die andere. Eine weitere Begründung wie eine "Simulation" usw. ist dann für die Einsicht in die 2/3-Lösung nicht mehr erforderlich.
Wenn der Moderator aber dieselbe Handlung (durchaus in voller Absicht) zwar vornimmt, aber nicht durch die Spielregel dazu verpflichtet ist, stimmt die 2/3-Lösung nicht mehr. Der Kandidat hat dann keinen Grund, eine der beiden verbleibenden Türen zu bevorzugen.
Das Wichtigste ist dabei wohl zu erkennen, dass allein eine andere Möglichkeit die tatsächliche Gewinnwahrscheinlichkeit verändert.
Man kann sich das an einer konkreten Spielweise klar machen: Angenommen, der Moderator öffnet immer (bewusst) eine Ziegentür und bietet einen Wechsel an; evtl. öffnet er also auch die vom Kandidaten gewählte Tür, wenn sich dahinter eine Ziege befindet. Wenn nun genau die in der ursprünglichen Aufgabenstellung beschriebene Situation eintritt, hat der Kandidat mit jeder verbleibenden Tür die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/2.
Ich finde dieses Gegenbeispiel besser als das, bei dem der Moderator "zufällig" eine der beiden nicht gewählten Türen öffnet, evtl. also auch die Autotür. Denn das hieße ja, dass er sein eigenes Wissen über die Autotür ignoriert. Das kann er zwar auch; es ist aber etwas weit hergeholt ...
Diese Überlegungen führen zum Zentrum der gesamten Debatte: Wenn der Zwang durch die Spielregel nicht vorliegt, ist die Behauptung der 2/3-Lösung ein Scherz, und die Lösung 1/2 ist trivialerweise richtig. Das erklärt auch den "Proteststurm". Und wenn der Zwang durch die Spielregel vorliegt, ist die 2/3-Lösung trivialerweise richtig; und der "Proteststurm" bleibt aus.--Albtal (Diskussion) 17:23, 6. Jun. 2014 (CEST)
Für die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/2 reicht es nicht aus, dass der Moderator „evtl.“ die vom Kandidaten gewählte Tür öffnet, sondern es muss zusätzlich angenommen werden, dass er dies mit genau der gleichen Wahrscheinlichkeit tut, mit der er die nichtgewählte Ziegentür öffnet. Das halte ich für eine sehr starke Annahme, denn hierbei hat man ja nicht einmal eine Art Symmetrieüberlegung („Indifferenzprinzip“, wenn man so will) zu Verfügung: Das Spiel nimmt sowohl aus der Sicht des Kandidaten also auch aus der des Moderators einen völlig anderen Verlauf, wenn die vom Kandidaten gewählte Tür geöffnet wird. -- HilberTraum (Diskussion) 19:33, 6. Jun. 2014 (CEST)
Ja ja, mit genau der gleichen Wahrscheinlichkeit eine der beiden Ziegentüren: Soll man diesen Nebenaspekt wirklich ständig erwähnen? - Und: Entscheidend ist doch, dass für den Kandidaten, wenn der Moderator bei dieser Spielweise eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, genau die Situation der ursprünglichen Aufgabenstellung vorliegt und dass allein die Möglichkeit, auch anders zu handeln, in diesem Fall dazu führt, dass der Kandidat keinen Grund hat, eine der beiden verbleibenden Türen zu bevorzugen. (Siehe z.B. Georgii)--Albtal (Diskussion) 20:29, 6. Jun. 2014 (CEST)
„Soll man diesen Nebenaspekt wirklich ständig erwähnen?“ Hier ja, denn im Gegensatz zu beispielsweise der Platzierung des Autos hinter den Türen oder der ersten Wahl des Kandidaten halte ich wie darstellt die Annahme einer Gleichwahrscheinlichkeit hier für völlig willkürlich, da keinerlei Symmetrie vorliegt.
Und ja, der Kandidat kann sicherlich Annahmen treffen, die ihn in eine Situation bringen, in der er keine Ahnung hat, ob er wechseln sollte oder nicht. Aber um zum Schluss zu kommen, dass seine Gewinnwahrscheinlichkeit haargenau 1/2 beträgt, muss er sich echt eine Menge Zeug zusammenfantasieren … HilberTraum (Diskussion) 20:57, 6. Jun. 2014 (CEST)
siehe z.B. Georgii - und natürlich die Beiträge, auf die du angeblich antwortest ...--Albtal (Diskussion) 21:22, 6. Jun. 2014 (CEST)
Dann nimm’s halt meinetwegen nur als eine begründete Meinungsäußerung meinerseits: Ich halte die Annahme für unnatürlich, das würde ich auch mit Georgii so ausdiskutieren. Georgii schreibt „Er [der Kandidat] kann aber auch zum Beispiel davon ausgehen, dass […]“. Klar kann er, aber ich sehe keinen Grund, warum er auf diese Idee kommen sollte. Was danach kommt, halte ich deshalb für ein reines Übungsbeispiel im Rechnen mit der Bayes-Formel. Seit wann findest du die denn überhaupt so toll? Nur weil am Schluss dieses Mal zufällig 1/2 rauskommt, stimmt’s? -- HilberTraum (Diskussion) 21:45, 6. Jun. 2014 (CEST)

Wann tritt das Paradoxon in Erscheinung[Bearbeiten]

Die Frage ist: Wann tritt das Paradoxon in Erscheinung, und wann nicht. Das Paradoxon tritt erst dann in Erscheinung, wenn die von Marilyn vos Savant genannten Voraussetzungen gegeben sind, die von der Fachliteratur noch konzentriert "verdeutlicht" worden sind (z.B. ist der Moderator dazu verpflichtet, das Tor mit dem Auto geheimzuhalten etc. etc.) Wer sich für das "Paradoxon" und sein Auftreten wirklich interessiert, kann sich die dazu nötigen Voraussetzungen ohne viel Mühe auch selbst "erarbeiten"! (Die Hervorhebungen bitte ich zu entschuldigen.) Wichtig: Die dem Paradoxon zugrunde liegende "Rolle des Moderators" ist klar zu präsentieren und von "anderen Varianten" deutlich zu unterscheiden. Das kann hier nicht deutlich genug gesagt werden. Kein konfuses "Vermischen" mit anderen Voraussetzungn/Varianten! Bereits MvS sagte wörtlich zu jener "Rolle":
...and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door ... Ausdrücklich ein ANDERES Tor.
... Then the host, who knows what’s behind the doors and will always avoid the one with the prize, opens them all except door #777,777. Das Tor mit dem Auto öffnet er GRUNDSÄTZLICH NICHT.
... And a very small percentage of readers feel convinced that the furor is resulting from people not realizing that the host is opening a losing door on purpose. (But they haven’t read my mail! The great majority of people understand the conditions perfectly.) Andere rechtfertigten ihr Versagen mit Fake-Argumenten.
... So let’s look at it again, remembering that the original answer defines certain conditions, the most significant of which is that the host always opens a losing door on purpose. (There’s no way he can always open a losing door by chance!) Anything else is a different question.  Der Moderator öffnet grundsätzlich (immer), und zwar absichtlich, ein Ziegentor.
... Then the host purposely lifts up a losing cup from the two unchosen. Lastly, the contestant "stays" and lifts up his original cup to see if it covers the penny. Play "not switching" two hundred times and keep track of how often the contestant wins. [...] Play "switching" two hundred times, also. Kein Zweifel daran, dass dies die "fixe Rolle" des Moderators beschreibt: Er öffnet grundsätzlich ein anderes Tor, um eine Ziege vorzuzeigen und um dabei einen Torwechsel anzubieten. Reichen 400 Mal?
.. ...and the host always opens a loser.
Die Rahmenbedingungen (Voraussetzungen) für das Auftreten des präsentierten "Paradoxons" sind zur Genüge bekannt. Der Artikel soll das zeigen und nicht verwirren. Und dass ANDERE Rahmenbedingungen zu ANDEREN Ergebnissen führen, darf freilich AUCH gezeigt werden. Fazit: In der Fachliteratur untersuchte, vom Paradoxon abirrende Varianten sind auch im Artikel deutlich als "vom Paradoxon abirrende Varianten" zu behandeln. Dies ist den Lesern geschuldet. Gerhardvalentin (Diskussion) 20:09, 6. Jun. 2014 (CEST)

Variante[Bearbeiten]

Um ein wenig vom eigentlichen Thema abzulenken ist hier eine Variante des Ziegenproblems, die tatsächlich in der Literatur diskutiert wurde und auch eine erstmal überraschende Lösung besitzt:

Hinter drei verschlossenen Türen befinden sich zufällig verteilt ein Auto, die Autoschlüssel und eine Ziege. Es gibt zwei Spieler: der erste Spieler muss das Auto finden, der zweite Spieler die Autoschlüssel. Nur wenn beide Spieler erfolgreich sind dürfen sie mit dem Auto nach Hause fahren. Zunächst betritt der erste Spieler die Arena und darf nacheinander zwei der drei Türen öffnen. Ist er erfolgreich, werden die Türen wieder geschlossen und der zweite Spieler betritt die Arena. Der zweite Spieler darf ebenfalls zwei der drei Türen öffnen, kann allerdings in keinster Weise mit dem ersten Spieler kommunizieren. Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn beide Spieler optimal handeln?

Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:17, 9. Jun. 2014 (CEST)

Frage an Quartl: Spieler #1 muss also zuerst das (sein) Auto gefunden haben, nur dann "darf" Spieler #2 sodann in "jener" Runde erstmals den (seinen) Schlüssel suchen, ist das korrekt? Wenn "pro Runde" diese Reihenfolge eingehalten werden muss, hat Spieler #1 "sein Auto" spätestens zu Beginn der zweiten Runde gefunden und merkt sich dessen Standort, okay? Spätestens im zweiten Teil der zweiten Runde versucht Spieler #2 zum ersten Mal sein Glück und kann das Pech haben, dass sich hinter den beiden von ihm geöffneten Toren der Schlüssel nicht befindet.

In spätestens der dritten Runde jedoch öffnet Spieler #1 die ihm inzwischen bekannte Autotüre, und Spieler #2 wählt spätestens jetzt jenes "dritte Tor", hinter dem sich "sein Schlüssel" verbarg. Also sind schlimmstenfalls drei Runden nötig. Hab' ich das korrekt vertanden? Gruß Gerhardvalentin (Diskussion) 16:51, 9. Jun. 2014 (CEST)

Ich habe das so verstanden, dass es nur diese beiden Runden gibt. Und dass die beiden sich absprechen können, bevor das Spiel beginnt, oder? Dann ist es auf alle Fälle schon mal besser, wenn z. B. Spieler 1 die Türen 1 und 2 öffnet und Spieler 2 die Türen 2 und 3, als wenn beide zufällig wählen. Aber was man sonst noch ausnützen könnte, um bei der Gewinnwahrscheinlichkeit über 50 % zu kommen, sehe ich nicht. -- HilberTraum (Diskussion) 17:30, 9. Jun. 2014 (CEST)
Sehe keine Verbesserung in einer solchen Vorabsprache "Spieler A=1+2, Spieler B=2+3". Annahme: Schlüssel hinter Tor 1 und Auto hinter Tor 3. In Runde 1 findet Spieler A das Auto nicht, sondern erst in Runde 2, doch Spieler B findet in Runde 2 den Schlüssel nicht. Es bleibt dabei: Ein garantierter Erfolg stellt sich erst in Runde 3 ein. Gerhardvalentin (Diskussion) 18:44, 9. Jun. 2014 (CEST)
Ich denke nicht, dass es so viele Runden gibt: Erst wählt Spieler A, dann evtl. noch Spieler B und dann ist Schluss. Wenn noch mehr passieren würde, hätte uns Quartl das bestimmt gesagt. -- HilberTraum (Diskussion) 19:14, 9. Jun. 2014 (CEST)
Es ist wie HilberTraum sagte: Es gibt nur diese beiden Runden. Wenn der erste Spieler das Auto nicht gefunden hat, ist das ganze Spiel sowieso vorbei und der zweite Spieler muss gar nicht erst ran. Die beiden Spieler dürfen sich vorher bezüglich ihrer Strategie absprechen. Die beiden Tore müssen nicht gleichzeitig geöffnet werden, sondern können auch nacheinander geöffnet werden, das heißt ein Spieler kann schauen, was hinter seinem zuerst gewählten Tor ist, und dann entscheiden, welches Tor er als zweites öffnen möchte. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:26, 9. Jun. 2014 (CEST)
Beispielstrategien:
  • Beide Spieler einigen sich darauf, jeweils Tor 1 und 2 zu öffnen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist dann 1/3 (sie gewinnen nur dann wenn die Ziege hinter Tor 3 ist).
  • Beide Spieler einigen sich darauf, zwei Tore zufällig zu öffnen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist dann 4/9 (jeder Spieler hat unabhängig voneinander die Erfolgswahrscheinlichkeit 2/3).
  • Der erste Spieler öffnet Tore 1 und 2, der zweite Spieler Tore 2 und 3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist dann 1/2 (die Spieler gewinnen in den Fällen ASZ, AZS und ZAS und verlieren in den Fällen SZA, SAZ und ZSA).
Es gibt eine Strategie, deren Gewinnwahrscheinlichkeit wesentlich besser als 1/2 ist. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:42, 9. Jun. 2014 (CEST)
Dann hab ich ja schon mal die drittschlechteste Strategie gefunden … :-) -- HilberTraum (Diskussion) 20:22, 9. Jun. 2014 (CEST)
„Die beiden Tore müssen nicht gleichzeitig geöffnet werden, sondern können auch nacheinander geöffnet werden …“ Ist das wichtig? Bringt das was? Wenn er bei der ersten Tür schon richtig liegt, braucht er keine weitere mehr zu öffnen, aber wenn er trotzdem noch eine weitere geöffnet hätte, würde das ja nicht schaden … und wenn er mit der ersten Tür falsch liegt, gibt ihm das keinen Hinweis darauf, welche zweite Tür richtig sein könnte. Er hätte also gleich eine Tür und präventiv noch eine der beiden anderen Türen als zweite Tür wählen können … Was also macht das für einen Unterschied?
Troubled @sset   Work    Talk    Mail   19:39, 9. Jun. 2014 (CEST)
Das Recht die Tore nacheinander öffnen zu dürfen macht einen sehr großen Unterschied ;-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:44, 9. Jun. 2014 (CEST)
Ist die Lösung (wieder mal …) 2/3? Dann hab ich glaube ich eine Strategie. Echt schöne Aufgabe! -- HilberTraum (Diskussion) 20:40, 9. Jun. 2014 (CEST)
Ja, die Gewinnwahrscheinlichkeit ist bei der bestmöglichen Strategie 2/3. Besser kann sie auch nicht sein, denn der erste Spieler hat nur eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 2/3. Hätte mich jetzt auch stark gewundert, wenn du nicht draufgekommen wärst ;-). Wir müssen die Strategie ja noch nicht verraten. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:49, 9. Jun. 2014 (CEST)
Wow, 2/3. Sechs Kombinationen, vier erfolgreich. Unglaublich! Ja, hab's gefunden. Niemand ist klüger als die Leute! Danke für dieses Beispiel! Gerhardvalentin (Diskussion) 21:17, 9. Jun. 2014 (CEST)
Übrigens ist die Gewinnwahrscheinlichkeit bei optimaler Strategie selbst dann 2/3, wenn noch ein dritter Spieler dazukommt, der die Ziege finden muss (die kommt dann mit auf den Rücksitz). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:41, 9. Jun. 2014 (CEST)

Lösung[Bearbeiten]

Hier ist die Auflösung:

  • Spieler 1 öffnet erst Tor 1. Befindet sich das Auto darin, ist er erfolgreich. Befinden sich die Schlüssel darin, öffnet er als nächstes Tor 2, befindet sich die Ziege darin, Tor 3.
  • Spieler 2 öffnet erst Tor 2. Befinden sich die Schlüssel darin, ist er erfolgreich. Befindet sich die Ziege darin, öffnet er als nächstes Tor 3, befindet sich das Auto darin, Tor 1.

Die verschiedenen Fälle sind dann:

Auto – Schlüssel – Ziege Auto – Ziege – Schlüssel Schlüssel – Auto – Ziege Schlüssel – Ziege – Auto Ziege – Auto – Schlüssel Ziege – Schlüssel – Auto
Spieler 1 Tor 1: Auto Tor 1: Auto Tor 1: Schlüssel
Tor 2: Auto
Tor 1: Schlüssel
Tor 2: Ziege
Tor 1: Ziege
Tor 3: Schlüssel
Tor 1: Ziege
Tor 3: Auto
Spieler 2 Tor 2: Schlüssel Tor 2: Ziege
Tor 3: Schlüssel
Tor 2: Auto
Tor 1: Schlüssel
Tor 2: Ziege
Tor 3: Auto
Tor 2: Auto
Tor 1: Ziege
Tor 2: Schlüssel

Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt also 2/3. Der Trick besteht darin, eine Korrelation zwischen den Erfolgen der beiden Spieler herzustellen. Das Rätsel ist nicht von mir, sondern von A.S. Landsberg, Mathematical Intelligencer 31(2), 2009 (online). Die Drei-Spieler-Variante funktioniert ganz analog und findet sich hier. Zum weiteren mathematischen Hintergrund siehe Problem der 100 Gefangenen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:37, 10. Jun. 2014 (CEST)

... wo sich diese Variante nun auch findet. Sorry, wenn die Diskussion letztlich zur Verbesserung eines anderen Artikels diente. Um wenigstens noch ein bischen Bezug zu retten: spricht was gegen eine Verlinkung unter "Siehe auch"? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:34, 10. Jun. 2014 (CEST)

Ja Quartl, ein Querverweis unter "Siehe auch" wäre hier fraglos vorteilhaft und hilfreich. Bitte kannst Du das im Artikel einsetzen, oder HilberTraum? Danke und Gruß Gerhardvalentin (Diskussion) 11:16, 10. Jun. 2014 (CEST)

Die Aufgabe ist interessant. Entscheidend ist, dass der zweite Spieler überhaupt nur drankommt, wenn der erste Spieler das Auto gefunden hat. Allein dass Nr. 2 drankommt, gibt ihm daher eine überaus wichtige Information: Nr. 1 hat das Auto gefunden. In der Aufgabe war das korrekt beschrieben, sprachlich allerdings maximal schwach formuliert und dadurch geradezu versteckt („Ist er erfolgreich, werden die Türen wieder geschlossen und der zweite Spieler betritt die Arena.“), weshalb ich diesen Aspekt zuerst auch übersehen hatte. Das heißt klarer ausgedrückt, nur wenn Nr. 1 erfolgreich war, darf Nr. 2 überhaupt ran. Aber wie gesagt, eine intelligente Aufgabe. Danke!
Troubled @sset   Work    Talk    Mail   15:24, 10. Jun. 2014 (CEST)

Die Reihung der Spieler spielt hier keine Rolle. Das Ergebnis ist das gleiche, wenn der zweite Spieler vor dem ersten Spieler dran wäre oder wenn die beiden Spieler parallel in zwei Kopien des gleichen Raums geführt werden und gleichzeitig ihre Wahl treffen müssten. Wichtig ist, dass die Spieler sich so absprechen, dass sie möglichst beide erfolgreich sind. Der tieferliegende mathematische Grund hat mit Permutationen zu tun und wird in dem anderen Artikel (hoffentlich) erklärt. Die beiden Fälle, in denen die Spieler nicht erfolgreich sind, sind die beiden zyklischen Permutationen der Länge 3 von (Auto, Schlüssel, Ziege). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:09, 10. Jun. 2014 (CEST)
Man kann natürlich die Strategie des zweiten Spielers auf den Erfolg des ersten Spielers bedingen, vermutlich meinst du das. Also angenommen der erste Spieler hätte das Auto mit seiner Strategie gefunden. Der zweite Spieler öffnet nun Tor 2. Findet er den Schlüssel, haben die Spieler gewonnen. Findet er das Auto, dann weiß er, dass hinter Tor 1 die Schlüssel sein müssen (ansonsten hätte der erste Spieler das Auto nicht gefunden), er öffnet als nächstes also Tor 1 und die Spieler haben gewonnen. Findet er die Ziege, dann weiß er, dass die Schlüssel nicht hinter Tor 1 sein können (ansonsten hätte der erste Spieler das Auto nicht gefunden), er öffnet als nächstes also Tor 3 und die Spieler haben gewonnen. Der zweite Spieler ist also – bedingt auf den Erfolg des ersten Spielers – mit seiner Strategie immer erfolgreich. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:24, 11. Jun. 2014 (CEST)
Genau so habe ich das verstanden.
Wenn Nr. 2 Tor 2 öffnet und eine Ziege findet, gibt es zunächst zwei Möglichkeiten: AZS und SZA. Bei AZS hatte Nr. 1 das Auto im ersten Versuch hinter Tor 1 gefunden, also muss der Schlüssel hinter Tor 3 sein. Bei SZA hätte Nr. 1 hinter Tor 1 den Schlüssel gefunden, gemäß Vereinbarung Tor 2 geöffnet und die Ziege gefunden – damit hätte Nr. 1 das Auto auch im zweiten Versuch nicht gefunden und Nr. 2 wäre erst gar nicht drangekommen. Also muss AZS vorliegen.
Entsprechend auch bei SAZ / ZAS: Wenn Nr. 2 hinter Tor 2 das Auto findet, kann Nr. 1 das Auto nicht im ersten Versuch gefunden haben (da hatte er ja Tor 1 geöffnet). Er muss es aber im zweiten Versuch gefunden haben, weil nur dann Nr. 2 überhaupt drankommt. Tor 2 öffnet Nr. 1 aber nur dann, wenn hinter Tor 1 der Schlüssel ist – bei der Ziege hinter Tor 1 hätte Nr. 1 Tor 3 geöffnet, das Auto damit endgültig nicht gefunden und Nr. 2 wäre gar nicht drangekommen. Der Schlüssel muss also hinter Tor 1 sein.
Die Argumentation mit den zyklischen Permutationen ist mathematisch natürlich viel eleganter. Die werde ich mir in einem ruhigen Moment noch mal durch den Kopf gehen lassen. Bemerkenswert finde ich auch, dass diese Strategie offensichtlich optimal ist: Nr. 1 hat eine (durch welche Strategie auch immer nicht veränderbare) 2/3-Chance, das Auto zu finden, und immer wenn Nr. 1 das Auto findet, findet Nr. 2 die Schlüssel. Besser geht es nicht … :-)
Troubled @sset   Work    Talk    Mail   16:50, 11. Jun. 2014 (CEST)

Ziegenproblem???[Bearbeiten]

Nur weil drei Türen, ein Auto und eine Ziege beteiligt sind, hat das Ganze noch lange nichts mit dem Ziegenproblem zu tun! Wo bitte ist der Moderator Monty Hall, der in das Spielgeschehen eingreift? Das ist nur wieder mal ein Beispiel dafür, dass jemand (Adam S. Landsberg), um Interesse zu wecken, völlig ungerechtfertigt an historische Vorbilder anknüpfen möchte... --Geodel (Diskussion) 16:31, 14. Jun. 2014 (CEST)

Was ist unter "ungerechtfertigt" zu verstehen? Marilyn vos Savant hatte ab 1990 in ihrer Kolumne des Magazins Parade ein inzwischen weltberühmtes Paradoxon in Form einer Denksportaufgabe vorgestellt und erläut. Die Fachwelt ist sich einig (inzw. einschließlich Morgan et al.), dass die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bei Torwechsel 2/3 beträgt. Morgan et al. 2010 wörtlich zitiert: To wit, had we adopted conditions implicit in the problem, the answer is 2/3, period. Dieses für jeden "Neuling" frappierende Ergebnis (2/3 und nicht 1/2) ist bedingt durch die extreme Einseitigkeit des Moderators, der keinesfalls das Tor mit dem Auto öffnet.

Ein zumindest ebenso frappierendes weil unerwartetes Ergebnis (Gewinnchance 2/3 und nicht 4/9) bietet die von Adam S. Landsberg präsentierte anspruchsvolle Variante eines sogenannten Ziegenproblems. Die Gemeinsamkeit beider Denksportaufgaben ist deutlich erkennbar die unerwartet hohe Gewinnchance, die auf den ersten Blick unwahrscheinlich scheint. Insoferne verbindet beide "Ziegenprobleme" ein sowohl psychologisch als auch mathematisch höchst anspruchsvolles gemeinsames Element. Grund genug, auf diese unübersehbare Gemeinsamkeit hinzuweisen. Gerhardvalentin (Diskussion) 19:12, 14. Jun. 2014 (CEST)

Ungerechtfertigt ist es, von "The Return of Monty Hall" (Adam S. Landsberg) zu sprechen, ohne dass Monty Hall seinen Auftritt hat und in das Spielgeschehen eingreift. --Geodel (Diskussion) 11:22, 16. Jun. 2014 (CEST)

Mathematik contra Leben[Bearbeiten]

Wenn das Ganze eine Fernsehshow ist, dann ist der Ablauf vorgeplant, Das bedeutet: (1) Der Moderator weiß, wo das Auto steht. (2) Dem Moderator ist es verboten, Kandidaten zu bevorzugen oder zu benachteiligen, es soll ein reines Glücksspiel sein. (3) Unterhaltungswert: Der Moderator öffnet immer eine Ziegentür und gibt danach immer dem Kandidaten die Möglichkeit des Wechselns. Wenn es auf diesen Unterhaltungswert nicht ankäme, könnte man den Kandidaten aus einer Urne mit zwei roten und einer grünen Kugel blind eine herausfischen lassen – das wäre zum Gähnen.

Aus mathematischer Sicht mögen diese Bedingungen nicht zwingend notwendig sein, im Unterhaltungs-TV sind sie selbstverständlich. (nicht signierter Beitrag von 79.248.122.4 (Diskussion) 10:00, 18. Jun. 2014 (CEST))

ad (1): Einverstanden!
ad (2): Eine Fernsehshow mit Moderator ist kein reines Glücksspiel. Im Gegenteil wird von einem Moderator in einer Fernsehshow erwartet, dass er je nach Situation in das Spielgeschehen eingreift, mal helfend, mal verwirrend. Dadurch ist es unvermeidlich, dass bestimmte Kandidaten bevorzugt, andere benachteiligt werden. Genau das macht ja den (psychologischen) Reiz für das Publikum aus.
ad (3): Der Unterhaltungswert eines solchen stereotypen Verhaltens "Der Moderator öffnet immer eine Ziegentür und gibt danach immer dem Kandidaten die Möglichkeit des Wechselns." ist für ein (Fernseh-)Publikum gleich Null. Solch eine Show würde spätestens nach dem zweiten Male mangels Einschaltquote abgesetzt! --Geodel (Diskussion) 17:53, 21. Jun. 2014 (CEST)
Bei (3) würde ich bis zu einem gewissen Grad zustimmen, der Moderator kann sicherlich „zur Abwechslung“ z. B. mal die vom Kandidaten gewählte Tür öffnen oder anstelle eines Wechsels einen Geldbetrag anbieten usw. Aber den Punkt mit der Fairness sollte man vielleicht schon berücksichtigen. Ich denke, dass man bis zu einem gewissen Grad davon ausgehen kann (Garantie hat man natürlich keine), dass der Moderator sich solche Variationen schon vor dem Spiel „ausdenkt“ und nicht erst nach der Wahl des Kandidaten, um diesem bestimmten Kandidaten bewusst zu schaden oder zu nutzen. Und in diesem Fall würde sich an der bedingten 2/3-Wahrscheinlichkeit ja nichts ändern. Die langfristige Durchschnittszahl der gewonnenen Autos kann ja er trotzdem mit seinem Verhalten steuern, aber diesem einen Kandidaten bewusst schaden zu wollen, halte ich für ein bisschen heftig. -- HilberTraum (Diskussion) 19:16, 21. Jun. 2014 (CEST)
"Und in diesem Fall würde sich an der bedingten 2/3-Wahrscheinlichkeit ja nichts ändern." Diese Aussage verstehe ich in diesen Zusammenhang nicht.
"Aber den Punkt mit der Fairness sollte man vielleicht schon berücksichtigen." Beim Nachlesen von Selvins Aufgabenstellung fällt auf, dass sowohl der Kandidat als auch das Publikum den Showmaster eher als Gegner denn als Unterstützer des Kandidaten betrachten. Die Show besteht also nach Selvins Auffassung in erster Linie in dem Wettbewerb zwischen Moderator und Kandidat, wobei letzterer den Autoschlüssel bekommen möchte und ersterer genau das verhindern möchte, auch indem er dem Kandidaten Geld bietet. Das einzig "faire" an dem Spiel ist, dass sich in einer der drei Schachteln tatsächlich die Autoschlüssel befinden. Savants Problemformulierung lässt sich genauso als Spiel "Moderator vs. Kandidat" lesen, wobei auch klar wird, warum die meisten Leser einen Wechsel ablehnen würden. --Geodel (Diskussion) 13:45, 24. Jun. 2014 (CEST)
Ja ein Spekulieren über die Einstellung des Moderators (neutral, Gegner, Unterstützer) ist sicher äußerst vage und subjektiv. Hängt sicher von der Art der Show, vielleicht auch vom Ausstrahlungsland ab. Und natürlich davon, ob der Kandidat eher Optimist/Pessimist bzw. risikofreudig/risikioscheu ist.
Der Punkt, dass sich die bedingte Wahrscheinlichkeit unter bestimmten Voraussetzungen nicht ändert, wenn der Moderator seine Strategie variiert, ist tatsächlich eine kleine mathematische Überlegung, die mir neulich hier gekommen ist. Wichtig ist nur, dass die Wahrscheinlichkeiten dieser Variationen nicht davon abhängen dürfen, ob der Kandidat bei seiner ersten Wahl Erfolg hatte, und dass man sie nicht mit der Standardstrategie verwechseln kann. Keine Angst, ich kenne WP:KTF zwinker , aber wenn ihr wollt, kann ich das hier heute Abend, wenn ich mehr Zeit habe, noch etwas ausformulieren. -- HilberTraum (Diskussion) 15:57, 24. Jun. 2014 (CEST)
Ok, ich führe meinen Gedanken mal ein bisschen aus. Wie wir alle wissen, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel 2/3, wenn sich der Moderator an die Standardregel halt (Ich schreibe kurz: „Er spielt S“, d. h. er öffnet immer eine nichtgewählte Ziegentür; wenn er die Wahl zwischen zwei Türen hat, entscheidet er zufällig.)
Wir wissen auch (fast) alle, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit unbekannt ist, wenn überhaupt nichts über die Strategie des Moderators bekannt ist. Aber mit folgender Überlegung lässt sich die 2/3 Wahrscheinlichkeit meiner Meinung recht stark verallgemeinern. Interessant ist, dass die Argumentation nur mit der bedingten Wahrscheinlichkeit klappt, nicht mit der unbedingten.
Der Moderator kann (zur Abwechslung) mit einer festen Wahrscheinlichkeit p eine andere Strategie verwenden. Wichtig ist nur, dass p konstant ist, also nicht davon abhängt, ob der Kandidat bei der ersten Wahl richtig liegt oder nicht. Außerdem darf die andere Strategie nicht „so aussehen“ wie die Standardstrategie. Um irgendein Beispiel zu nennen: Der Moderator würfelt vor der Spielrunde, bei einer 1 öffnet er die vom Kandidaten gewählte Tür, bei einer 2 bietet er ihm 5000 Dollar an und sonst spielt er S. Aber was genau der Moderator macht, ist unter den genannten Voraussetzungen gar nicht wichtig.
Ok, die Show läuft, der Kandidat wählt Tür 1, der Moderator öffnet Tür 3 mit einer Ziege dahinter. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 2 ist immer noch 2/3. Ich könnte jetzt sagen, das folgt einfach durch Einsetzen in die Bayes-Formel, aber da einige von euch die nicht so gern mögen, etwas ausführlicher:
Der Kandidat weiß jetzt (wegen der Voraussetzungen), dass der Moderator S spielt, außerdem hat er Tür 3 geöffnet. Es können nur die folgenden beiden Ereignisse eingetreten sein:
A: Der Moderator hat S gespielt und Tür 3 geöffnet und das Auto ist hinter Tür 2.
B: Der Moderator hat S gespielt und Tür 3 geöffnet und das Auto ist hinter Tür 1.
Die Wahrscheinlichkeit P(A) von A ist (1-p)/3, denn wenn das Auto hinter 2 ist (Wahrsch. 1/3) und der Moderator S spielt (Wahrsch. 1-p), muss er Tür 3 öffnen.
Die Wahrscheinlichkeit P(B) von B ist (1-p)/6, ähnlich wie bei A, aber nun könnte der Moderator ja auch (mit gleicher Wahrscheinlichkeit) Tür 2 öffnen.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 2 ist, wenn der Moderator S spielt und Tür 3 öffnet, ist P(A) geteilt durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung also P(A)+P(B), somit (1-p)/3 durch (1-p)/2 gleich 2/3. Meinungen? Gibt es diese Überlegung schon in der Literatur (ihr kennt die viel besser als ich)? -- HilberTraum (Diskussion) 22:09, 24. Jun. 2014 (CEST)
Der problematische Punkt ist das „so aussehen wie die Standardstrategie“. Dadurch fällt zum Beispiel der Fall weg, dass der Moderator mit Wahrscheinlichkeit p immer die Tür 3 öffnet (nennen wir sie mal Strategie 3). Aus dem Öffnen der Tür 3 kann somit der Kandidat schließen, dass der Moderator S spielt. Das p spielt keine Rolle mehr und wir sind im Standardszenario. Hätte der Moderator mit der Standardstrategie Tür 2 öffnen müssen (weil das Auto hinter Tür 3 ist) würde die Strategie 3 nicht mehr so aussehen wie die Strategie S. Das „So-aussehen-Kriterium“ hängt also von der Verteilung von Auto und Ziegen und auch der Wahl des Kandidaten ab. Das ist zumindest unschön, weil gleichzeitig ja gefordert wird, dass p eben nicht von der Wahl des Kandidaten abhängt. Letztlich führen die ganzen Voraussetzungen dazu, dass man, sobald der Moderator eine andere Tür als die vom Kandidaten gewählte öffnet, gleich p=0 setzen kann ;-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:21, 25. Jun. 2014 (CEST)
Dank dir, Quartl, für deine Einschätzung (ich hätt jetzt sowieso nicht gleich ein Paper dazu aufgesetzt ;-). Aber ich denke schon, dass sich der Kandidat, wenn er sich diese einfache Überlegung klar macht, ein paar Sorgen ersparen kann. Im – sehr TF-mäßigen – Abschnitt „Die erfahrungsbezogene Antwort“ soll wohl irgendwie suggeriert werden, dass man sich um mögliche Spielverläufe wie Spiel 1 oder Spiel 3 kümmern sollte, aber meine Überlegung zeigt, dass diese gar kein Problem darstellen, weil man ja die Information erhält, dass sie gar nicht eingetreten sind. Viel „gefährlicher“ sind also Moderatorstrategien, die wirklich die Wahrscheinlichkeit ändern, weil er dem Kandidaten absichtlich schaden will oder nur „vortäuscht“, dass er nach den Standardregeln spielt.
Außerdem denke ich, dass das aus Sicht des Moderators (oder des Produzenten) eine gute Strategie ist, um „Autos einzusparen“ (z. B. einfach ab und zu die Kandidatentür öffnen) und Abwechslung reinzubringen, ohne die Kandidaten zu benachteiligen, denen tatsächlich ein Wechsel angeboten wird. -- HilberTraum (Diskussion) 11:47, 25. Jun. 2014 (CEST)
Mit dem Artikel als solches habe ich mich noch gar nicht groß auseinandergesetzt, aber in den Abschnitt „Die erfahrungsbezogene Antwort“ würde ich auch als allererstes einen {{Belege}}-Baustein platzieren. Allgemein denke ich: entweder die Strategie des Moderators ist bekannt, dann hat man ein mathematisches Problem, kann Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und darauf aufbauend eine Strategieempfehlung für den Kandidaten abgeben. Oder die Strategie des Moderators ist unbekannt, dann hat man eine Fernsehshow, die nach ihren eigenen Gesetzen abläuft und mit Mathematik nichts zu tun hat. Du suchst was zwischendrin, also einen Fall wo die Strategie des Moderators teilweise bekannt und teilweise unbekannt ist. Dann hat man weder ein mathematisches Problem noch eine Fernsehshow :-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:23, 25. Jun. 2014 (CEST)
Ach, der Artikel … was soll man da sagen …
Aber unbekannte Strategien sind doch gar nicht schlimm, die bekommen einfach irgendwelche A-priori-Wahrscheinlichkeiten verpasst und dann nennen wir das Ganze Bayessche Statistik zwinker . „Kein mathematisches Problem“ gibt’s bei mir nicht … das wird solange umformuliert, bis es passt … da bin ich völlig hemmungslos … -- HilberTraum (Diskussion) 13:49, 25. Jun. 2014 (CEST)
Schon klar, aber mit einem probabilistischen Ansatz verschiebst du nur das Problem. Irgendwie musst du ja an die Verhaltensmuster des Moderators und die zugehörigen a-priori-Wahrscheinlichkeiten rankommen. Die herauszufinden ist dann weniger ein mathematisches Problem, als ein psychologisches oder ökonomisches. Klar kann man das Moderatorverhalten auch statistisch untersuchen. Für einen konkreten Fall hilft einem die Statistik aber nur begrenzt. Sollte sich zum Beispiel der Kandidat zu Beginn der Show als Mathematiker outen sinkt seine Gewinnchance natürlich schlagartig auf Null :-).
Zum Artikel: ich würde mit dem Standardproblem in einer wasserdichten Formulierung anfangen, dann die 2/3-Lösung dazu präsentieren und dann erst die Kontroverse um die Interpretation der Originalformulierung bringen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:10, 25. Jun. 2014 (CEST)
+1 zum Vorschlag von Quartl, das ist auch meine Sicht, das trägt imho zur besseren Arikelstruktur bei. Gerhardvalentin (Diskussion) 18:48, 25. Jun. 2014 (CEST)
Im Prinzip auch +1, aber wenn’s mal so einfach wäre: Die Standardvoraussetzungen, die zu einer wasserdichten 2/3-Lösung führen, dürften noch relativ unstrittig sein, aber schon bei der Frage, was genau da eigentlich 2/3 ergibt, gehen die Meinungen grundlegend auseinander: Die Wahrscheinlichkeit aus der Sicht des einzelnen Kandidaten, der nach dem Öffnen des Ziegentors alle ihm nun zur Verfügung stehenden Informationen berücksichtigt, oder eine gemittelte Wahrscheinlichkeit für Kandidaten, die immer wechseln. Obwohl Ersteres die konkrete Fragestellung der Aufgabe beantwortet, taugt die Argumentation nix, weil wahlweise: 1. Das doch auch viel einfacher gehen muss. 2. Die meisten Mathematiker diese Lösung als die passende ansehen und man denen ja sowieso nicht trauen kann (siehe auch unten: „doch sollten wir vorsichtig bleiben: Es lauern immer noch Mathematiker, die [….]“) 3. In der Lösung bedingte Wahrscheinlichkeiten verwendet werden, die bekanntlich der Teufel erfunden hat. (siehe auch oben: „dass aus dir [= HilberTraum] der Satan spricht“). -- HilberTraum (Diskussion) 21:10, 25. Jun. 2014 (CEST)
Die Gegenargumente sind natürlich keine, ich gebe aber zu, nicht die ganze Diskussion hier gelesen zu haben. Man kann ja mehrere Begründungen angeben, die über den Wahrscheinlichkeitsbaum, die über bedingte Wahrscheinlichkeiten und eine empirische über Monte-Carlo-Simulation. Das alles wie gesagt für den Fall, dass die Spielshow immer nach dem gleichen Muster abläuft, bei der der Moderator nach der ersten Wahl des Kandidaten eine (zufällige) nicht gewählte Ziegentür öffnen muss. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:31, 26. Jun. 2014 (CEST)
Zu ... eine (zufällige) nichtgewählte Ziegentür ...: Der "Sinn" dieser "Bedingung" ist jedoch keine "an den Moderator gerichtete Vorschrift". Es handelt sich darum, dass weder die Kandidatin noch wir aus der (einmaligen!) Show mit ansonsten "unbekanntem Moderator", der soeben eine Ziege vorgezeigt hat, grundlos "falschen Schlüsse" ziehen sollen (siehe unten):
Für die Kandidatin und für uns alle gilt: Wenn der Moderator beim Öffnen seines Ziegentores die Wahl zwischen zwei Ziegentoren gehabt haben sollte, ist hinsichtlich des berühmten Paradoxons schlicht davon auszugehen, dass er seine Wahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit getroffen (gehabt) hatte.
Also ist nicht der Moderator zum Münzwurf verpflichtet, sondern WIR dürfen keine (unbekannte!) Einseitigkeit bei seiner Wahl zwischen zwei Ziegen "als gegeben hinzufügen". Das dürfen nur Mathe-Lehrer und -Schüler, die nicht das lupenreine "Paradoxon" behandeln, sondern jene "andere Variante", die für Übungszwecke in Wahrscheinlichkeitsrechnung unbestritten geradezu ideal ist. Gerhardvalentin (Diskussion) 09:11, 26. Jun. 2014 (CEST)
Man könnte natürlich einwenden, dass der Moderator, der ja wie du immer betonst in diesem Szenario ein Sklave seiner Rolle ist, auch für den Fall, dass er zwei Ziegentore zur Auswahl hat, eine Art „Handlungsanweisung“ habe muss. Aber die Begründung, warum er die beiden Ziegentore mit gleicher Wahrscheinlichkeit wählt, wäre mir erst mal egal, solange man sich einigen könnte, dass diese Wahrscheinlichkeit 1/2 in die vollständige Lösung der Fragestellung eingeht. Das scheint ja (siehe z.B. unten) hier alles andere als Konsens zu sein. -- HilberTraum (Diskussion) 09:48, 26. Jun. 2014 (CEST)
So ist es. Selvin und Marilyn vos Savant versuchten, ein inzwischen berühmtes (bekanntermaßen nicht leicht zu durschauendes) frappierendes Paradoxon zu beschreiben. Erst in zweiter Linie geht es um Missverständnisse und diverse "andere Varianten", in welchen dieses reine Paradoxon nicht auftritt. Der Artikel sollte das klar machen und "nicht darunter leiden" müssen. Gerhardvalentin (Diskussion) 11:03, 26. Jun. 2014 (CEST)
Was ist so? Wenn du jedem Beitrag hier erst mal zustimmst, ist das zwar ganz nett von dir, aber die Diskussion bringt das nicht weiter. Also konkret deine Meinung
1. Braucht der Moderator, wenn er Sklave seiner Rolle ist, eine Handlungsanweisung, wenn er die Wahl zwischen zwei Ziegentoren hat (ja/nein <- bitte ankreuzen)
2. Unten stimmst du Albtal zu, wenn er die Voraussetzung, dass der Moderator mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwischen den Ziegentoren wählt, für unnötig hält. Hier stimmst du mir zu, wenn ich behaupte, dass man sie für eine vollständige Lösung braucht. -- HilberTraum (Diskussion) 13:45, 26. Jun. 2014 (CEST)
Bitte Disku lesen. 1.) + 2.) Es ist zwischen dem "Paradoxon" (das von Selvin und anderen, schließlich auch von MvS - und nicht zuletzt seit Jahren von der Fachliteratur) vorzustellen versucht worden ist - resp. von der Fachliteratur weiterhin vorzustellen versucht wird - und von davon abweichenden "anderen Varianten" zu unterscheiden. Tut man das nicht, führt dies zu einem Verwirrspiel à la aktuellem Artikel. Fazit: Das "Paradoxon" zeigt eine "one-time-show" mit einem - hinsichtlich seiner Rolle definierten, uns als Person jedoch völlig unbekannten - Moderator, der durch seine extreme Einseitigkeit (zeigt nie das Auto!) das Paradoxon generiert: Ein Torwechsel (in besagter one-time-show) verdoppelt die Gewinnchance, wie von Morgan et al. (2010) eingeräumt worden ist. Also nicht nur für eine generelle Wechsel-"Strategie". Um das korrekt darzustellen ist Ruma Falks Analyse wegweisend: Sollte der Moderator zwischen ZWEI Ziegen wählen können, wäre seine "diesbezügliche Einseitigkeit" nur dann von Belang, wenn eine solche tatsächlich "gegeben" (und definiert) ist und uns dies darüberhinaus bereits bekannt ist. Eine solche "Variante" hat Berechtigung für den Unterricht und das Üben von bedingter Wahrscheinlichkeitsrechnung und hat nur dort Relevanz. Was aber das berühmte "Paradoxon" anbelangt, ist eine solche "diesbezügliche Einseitigkeit" des als Person unbekannten Moderators NICHT bekannt, und es genügt, eine solche bereits definierte und bekannte "diesbezügliche Einseitigkeit" auszuschließen. Nicht indem der Moderator zum "Münzwurf" gezwungen wird, sondern indem wir diesbezügliche "unzulässige Annahmen" ausschließen. Die Fachliteratur trägt dem Rechnung, indem sie bereits in der Beschreibung des Umfeldes solche hinsichtlich des Paradoxons "unzulässigen Annahmen" auszuschließen gebietet, beispielsweise mit dem Hinweis, der Moderator wähle in jenem Fall jedes seiner beiden Ziegentore "mit gleicher Wahrscheinlichkeit".

Das Ankreuzen erfolgt hier: Der uns als Person unbekannte Moderator braucht keine Anweisung, doch der Beobachter und die Kandidatin benötigen eine solch "einfache Klarstellung" um unzulässigen Annahmen vorzubeugen. Gerhardvalentin (Diskussion) 17:17, 26. Jun. 2014 (CEST)

Wie kommst du auf die Idee, ich würde die Disku nicht lesen? Ich bereue es zwar oft, aber mitlesen tu ich immer. Wenn du das auch machen würdest, hättest du dir den ganzen ersten Teil der Antwort ersparen können, denn hier ging es momentan nicht im Geringsten um eine Variante, bei der eine Einseitigkeit im Falle zweier Ziegentore vorliegt, sondern um den Standardfall gleicher Wahrscheinlichkeit und welche Rolle diese Gleichwahrscheinlichkeit für die Lösung spielt. Danke dass eine Antwort zum Thema dann doch kam. Dazu: Ich finde es ziemlich uneinheitlich, wenn der Moderator teilweise strikte Regeln hat („zeigt nie das Auto“) und teilweise nicht. Mir wäre ein Moderator, der eine Münze werfen muss (so wie er eine Ziege zeigen muss) „lieber“, aber ich will dir da jetzt nicht weiter dreinreden, es gibt sicher wichtigere Themen. -- HilberTraum (Diskussion) 19:03, 26. Jun. 2014 (CEST)
"Lesen" erwähnte ich, weil genau dieser Punkt in der Disk hier mein ceterum censeo war. Ja, wir sollten für das Standard-Paradoxon die Fachliteratur heranziehen, die in ihren "Regeln" ausdrücklich besagt, der Moderator wähle zwischen zwei Ziegentoren "gleich wahrscheinlich". Und ich halte Henzes deutliches Statement "Der Moderator hält das Autotor geheim" für ebenso wichtig und zitierenswert. Jedenfalls sollten sämtliche vom Standard-Paradoxon abweichende Varianten später (als solche kategorisiert) dargestellt werden. Gerhardvalentin (Diskussion) 19:30, 26. Jun. 2014 (CEST)
Danke. Das klang für mich zwar z. B. vorgestern noch ein bisschen anders (da hast du auf das Statement „Dass für eine exakte Lösung bekannt sein müsste, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Moderator eine bestimmte Nietentür öffnet, wenn er die Wahl hat, ist eine Irreführung.“ mit „Exakt.“ geantwortet), aber wenn du jetzt in dieser Sache Henze zitierst, von mir schon mal Daumen hoch glass  -- HilberTraum (Diskussion) 21:03, 26. Jun. 2014 (CEST)
Kein bisschen anders. Was ich meinte: Morgan et al.(1991)-followers hatten stets argumentiert, 2/3 sei nur für die generelle Wechsel-"Strategie" gültig, nicht jedoch für das "aktuelle Spiel". Denn korrekt sei eine "Lösung" erst dann, wenn die dazu benötigte allumfassende Bayes-Formel fix abstellt auf:
"Kandidat wählte Tor #1 und Moderator öffnete Tor #3" sowie auf die "aktuelle Vorliebe q" des Moderators für das von ihm soeben geöffnete Tor (nicht 1/2, sondern "von 0 bis 1").

Was sodann für den Torwechsel eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/2 bis 1 ergibt. Der "aktuelle" Wert für das "aktuelle" Spiel müsse also die "aktuelle" Vorliebe q (0 bis 1) des Moderators bereits berücksichtigt haben. Inzwischen verzichteten selbst Morgan et al. (2010) auf diese "Differenzierung", ebenso wie Albtal und ich. Gerhardvalentin (Diskussion) 23:59, 26. Jun. 2014 (CEST)

@Gerhardvalentin, (ich rück mal aus): So wie ich deine Antwort verstehe, hast du den Unterschied, auf den ich hinaus will, noch nicht verstanden:

  • Henze, Morgan et al. (2010) und ich: Der Moderator wählt zwischen zwei Ziegentoren gleich wahrscheinlich und deshalb muss die Gewinnwahrscheinlichkeit 2/3 sein.
  • Albtal, du? Geodel?: Ob der Moderator zwischen zwei Ziegentoren gleich wahrscheinlich wählt, ist egal für die Gewinnwahrscheinlichkeit. -- HilberTraum (Diskussion) 07:43, 27. Jun. 2014 (CEST)

P.S. Bin grad richtig erschrocken, als ich in meiner Beo gesehen hatte, dass mein obiger Beitrag genau 666 Bytes lang ist. Vielleicht sollte ich mir doch langsam Sorgen machen … :D -- HilberTraum (Diskussion) 07:56, 27. Jun. 2014 (CEST)

Keine Bange!  ;)  Gerhardvalentin (Diskussion) 10:43, 27. Jun. 2014 (CEST)

  • Henze, Morgan at al. (2010) und ich: Der Moderator wählt zwischen zwei Ziegentoren gleich wahrscheinlich und deshalb muss die Gewinnwahrscheinlichkeit 2/3 sein.
  • Und ich weiter:  Für das Standard-Paradoxon gilt: Unbegründete Spekulationen darüber, ob der Moderator zwischen zwei Ziegentoren nun "tatsächlich" gleich wahrscheinlich gewählt hat, sind für das reine Paradoxon irrelevant. Die Gewinnwahrscheinlichkeit wird dadurch nicht verändert:
Die Fachliteratur sagt zum als Person unbekannten Moderator, und zu seinen beiden Ziegentoren #2 und #3:
Für den Fall, dass sich das Auto aktuell hinter Tor #1 befindet, beträgt die Chance, dass der Moderator Tor #2 öffnet, 50 %, und die Chance, dass er Tor #3 öffnet, ebenfalls 50 %. Die Signifikanz der Info "Moderator hat Tor #3 geöffnet" bzw. deren Wahrscheinlichkeitswert beträgt also 50 %. Somit lautet die statistische Wahrscheinlichkeitsverteilung "1 : 1". Vor dem Öffnen des aktuellen Ziegentores betrug die Gewinnchance für Tor #1 "1/3". Deshalb bleibt jene Chance nach dem Öffnen des aktuellen Ziegentores unverändert "1/3":
"The information "host opens door 3" contributes a Bayes factor or likelihood ratio of 1 : 1, on whether or not the car is behind door 1. Initially, the odds against door 1 hiding the car were 2 : 1. Therefore the posterior odds against door 1 hiding the car remain the same as the prior odds, 2 : 1."
Dem ist nichts hinzuzufügen, und abweichende "Spekulationen sind irrelevant (egal)" für die aktuelle Gewinnwahrscheinlichkeit. So hatte ich das gemeint. Und auch Henze: Der Moderator hält das Autotor geheim. Gruß Gerhardvalentin (Diskussion) 10:33, 27. Jun. 2014 (CEST)
Es wäre schon etwas merkwürdig, wenn der Moderator einerseits extrem einseitig niemals das Auto zeigen oder die vom Kandidaten gewählte Tür öffnen dürfte, andererseits aber extrem uneinseitig eine der Ziegentüren mit gleicher W'keit öffnen sollte, wenn er die Wahl hat, ohne durch eine Spielregel dazu verpflichtet zu sein. Auch Savant bezeichnet den Moderator nur als "agent of chance", der keinerlei Freiheiten bzgl. seiner Handlungen genießt. Es liegt also nahe, ihm bei der Wahl zwischen zwei Ziegentüren z.B. einen Münzwurf als Teil der dem Kandidaten bekannten Spielregeln vorzuschreiben.
Gemäß Gerhardvalentin (wenn ich ihn richtig verstehe) liefert das Öffnen von Ziegentür 3 keinerlei Information bzgl. einer möglichen Vorliebe des Moderators für das Öffnen einer bestimmten Ziegentür. Ohne explizite Zusatzinformationen erscheint das Moderatorverhalten indifferent bzgl. der beiden nichtgewählten Türen, und aus der Sicht des Kandidaten öffnet der Moderator demgemäß die Türen 2 und 3 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Die bed. W'keit P(M3|G1)=1/2 sollte deshalb nicht als Spielregel sondern als zulässige (subjektive) Einschätzung des Moderatorverhaltens aufgefasst werden. Andere Einschätzungen bedürfen expliziter Zusatzinformationen und die Beweispflicht obliegt dem Zweifler an dieser Indifferenz des Moderators... --Geodel (Diskussion) 13:16, 28. Jun. 2014 (CEST)
Ja, das meinte ich: Hinsichtlich des Öffnens eines Ziegentores – in 1/3 freie Wahl zwischen zwei Ziegen(toren), in 2/3 keine Wahl – ist es müßig, über "Vorlieben" des uns als Person unbekannten Moderators (only a single incident) Spekulationen anzustellen, auch wenn der Moderator dieses einzige Mal einer (uns unbekannten) deutlichen Vorliebe gefolgt sein sollte. Für die Kandidatin und für uns besteht kein Grund, im Spektrum "q=0 bis 1, ergo p=1/2 bis 1" (siehe Morgan et al. 1991) die Mitte "q=1/2, ergo p=2/3" (siehe Morgan et al. 2010) zu verlassen. Die Fachliteratur trug dem von Anfang an dadurch Rechnung, dass sie vom Paradoxon abweichende Varianten von vornherein abzublocken versucht und (als "Hilfe" für uns!) fixierte: "der Moderator wählt zwischen zwei Ziegentoren mit gleicher Wahrscheinlichkeit". Das allerdings weder als an den Moderator gerichtete "Verhaltensvorschrift" noch als "zusätzliche Bedingung", auch nicht als "subjektive Einschätzung", sondern als Ausdruck der - hinsichtlich des (only a single incident) lupenreinen Paradoxons - erkennbaren Unzulässigkeit anderer Werte. Henze formuliert eben dies mit anderen Worten: Der Moderator hält das Tor mit dem Auto geheim.  –  Vom reinen Paradoxon abweichende Varianten (beispielsweise zu finden in Lehrbüchern zum Üben von Aufgaben in bedingter Wahrscheinlichkeitsrechnung) dürfen gläserne Tore allerdings freilich zulassen. Dort sind jene Abweichungen – weil ebendort zielführend − äußerst sinnvoll. Doch das ist ein völlig anderes Thema, das mit anderen "abweichenden Varianten" erst später im Artikel als Glastür-Variante behandelt werden sollte. Gerhardvalentin (Diskussion) 16:28, 28. Jun. 2014 (CEST)
Das mit den „Glastüren“, das du in letzter Zeit erwähnst, verstehe ich nicht. Wo wird so etwas diskutiert? Was ist der Sinn dahinter? -- HilberTraum (Diskussion) 21:35, 28. Jun. 2014 (CEST)
Das war bereits vor Jahren auch in einer "Dispute Resolution–Survey" in en.WP Thema: Host makes the doors transparent. Siehe auch oben: Wenn für die Kandidatin und/ resp. für uns ein bestimmtes "host's bias" bei seiner Wahl zwischen zwei Ziegentoren erkennbar sein könnte, so hält der Moderator die Autotüre - im Widerspruch zu Henze - nicht mehr geheim. Siehe die Diskussion hier (über Jahre) oder auch oben unter Formel: Wenn der Moderator sein beim Öffnen strikt bevorzugtes Tor "diesmal" (=Widerspruch zu one-time-event!) ausnahmsweise geschlossen lässt und das von ihm vermiedene Tor öffnet, so spricht viel dafür, dass sich das Auto "diesmal" hinter seiner ansonsten bevorzugten Türe befindet: Er macht damit jene beiden Tore gleichsam transparent bzw. aus Glas bzw. er öffnet gleichsam beide gleichzeitig. Er gäbe damit einen Hinweis über die aktuelle Position des Autos bzw. - verbotenerweise - einen Hinweis darüber, in welchem Szenarium sich die Kandidatin aktuell befindet. Dies widerspricht krass den schlichten Regeln des Paradoxons und ist eine abweichende Variante, die sich in Lehrbüchern zur Wahrscheinlichkeitsrechnung findet und dort sinnvoll ist. Mmn ist die Wortwahl von Henze treffender, verglichen mit "öffnet er beide mit gleicher Wahrscheinlichkeit". Gerhardvalentin (Diskussion) 22:28, 28. Jun. 2014 (CEST)
Was soll das "Der Moderator hält das Tor mit dem Auto geheim." eigentlich bedeuten? Schließlich öffnet der Moderator eine Ziegentür und sorgt so dafür, dass die Position des Autos nun weniger "geheim" ist als vorher. Außerdem muss der Moderator ja nicht extrem einseitig sein, sondern kann sein Lieblingstor, wenn er die Wahl hat, z.B. mit einer dem Kandidaten bekannten W'keit q=5/8 öffnen, so dass das Autotor weiterhin "geheimgehalten" wird. Wieso widerspräche das den "schlichten Regeln des Paradoxons"?
Wieso ist die Aussage "der Moderator wählt zwischen zwei Ziegentoren mit gleicher Wahrscheinlichkeit" weder als Verhaltensvorschrift noch als subjektive Einschätzung zu verstehen, sondern als Ausdruck der Unzulässigkeit anderer Werte? Warum sollten andere Werte generell nicht zulässig sein? Das klingt ja so, als ob jede Annahme, welche die 2/3-Lösung gefährden könnte, allein schon deswegen als unzulässig zu betrachten sei (quasi Majestätsbeleidigung). --Geodel (Diskussion) 02:41, 29. Jun. 2014 (CEST)
nachträglich eingeschoben: Die Kandidatin in der beschriebenen one-time-show weiß von Anfang an, bereits vor ihrer ersten Torwahl, dass sie sich mit p=1/3 im Szenarium der Treffer-Wahl und mit p=2/3 im Szenarium der Nieten-Wahl befinden wird bzw. befindet und ein späteres Wechseln somit ihre Gewinnchance verdoppelt. Den aktuellen Standort des Autos kennt sie dabei NICHT. Nachdem der (als Person unbekannte) Moderator seiner Rolle gerecht geworden ist und hinter einem anderen Tor eine Ziege gezeigt hat, ändert sich an ihrem Kenntnis-Stand wenig: Sie weiß zwar jetzt, dass das Auto nicht hinter dem geöffneten Tor steht, seine aktuelle Position bleibt ihr jedoch unbekannt. Und ihre Gewinnchance bleibt unverändert. Befindet sie sich aktuell im Szenarium der Treffer-Wahl, verliert sie mit einem Torwechsel ihr Auto. Befindet sie sich aktuell im Szenarium der Nieten-Wahl, gewinnt sie mit einem Torwechsel das Auto. Das blieb unverändert, und unverändert bleibt auch ihre "Kenntnis", in welchem der beiden möglichen Szenarien sie sich aktuell befindet: Unverändert mit p=1/3 Treffer-Szenarium und mit p=2/3 Nieten-Szenarium. Die in Lehrbüchern zur Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelte Variante kann hingegen einen zusätzlichen Hinweis zum aktuellen Standort des Autos geben (bis zu p=1) und damit einen Zusätzlichen Hinweis darüber, in welchem der beiden möglichen Szenarien sie sich aktuell tatsächlich befindet. Denn der Moderator könnte (in jener vom Paradoxon abweichenden Variante) sein "normalerweise bevorzugtes" oder "vermiedenes" Tor geöffnet haben. Gerhardvalentin (Diskussion) 13:10, 29. Jun. 2014 (CEST)
Selvin hatte ein frappierendes "Paradoxon" entdeckt: Nur zwei geschlossene Kästchen, davon enthält eines (welches?) mit Sicherheit den Preis bzw. dessen Symbol (z.B. den Autoschlüssel), das andere Kästchen ist mit Sicherheit leer. Dennoch sind ihre Chancen nicht 1:1, denn das "als Alternative zum Wechseln angebotene Kästchen" hat die doppelte Gewinnchance. Seiter geht es schlicht um die "stimmige Formulierung" dieses von Selvin entdeckten Paradoxons. Offensichtlich ein heikles Unterfangen. Gerhardvalentin (Diskussion) 09:15, 29. Jun. 2014 (CEST)
Genau diese "stimmige Forumlierung" fehlt aber in Teilen der sogenannten "Fach"-Literatur, obwohl seit Jahrzehnten die Mängel der ursprünglichen Problemformulierung bekannt sind. Um so ärgerlicher ist es, wenn manche Autoren, obwohl sie es besser wissen müssten, immer noch darauf beharren, dass die 2/3-Lösung die einzige dazu passende Lösung sei.
Nachdem Martin Gardner sein Junge-oder-Mädchen-Problem veröffentlicht hatte, wurde er darauf hingewiesen, dass eine seiner Fragestellungen auch eine andere als die von ihm beabsichtigte Lösung besäße. Er hat sofort zugegeben, dass dieser Hinweis korrekt sei, und die Alternativlösung umstandslos als ebenfalls richtig akzeptiert. An diesem wissenschaftlich redlichen Verhalten sollten sich andere mal ein Beispiel nehmen. --Geodel (Diskussion) 11:06, 29. Jun. 2014 (CEST)
Dem stimme ich voll zu, und mir gefällt Dein Versionskommentar "Versuch' es mal mit Redlichkeit..." – Das sollte mMn für beide "Lager" gelten. Anstelle eines gemeinsamen Ringens um eine unmissverständliche und "stimmige" Formulierung zum Thema "von Selvin entdecktes frappierendes Paradoxon" (dessen stimmige Formulierung seit jeher das größte Problem gewesen zu sein scheint) waren - auch in "Fachkreisen" - in der Vergangenheit eher gegenseitige Anwürfe die Regel.
Der Artikel hat demnach viele Aspekte, die übersichtlich und für den Leser klar verständlich dargestellt werden sollen. Im Vordergrund muss bleiben, worum es eigentlich geht: Das stimmig formulierte Paradoxon mit seinem frappierenden Ergebnis. Kennzeichnend ist in diesem Zusammenhang, dass der Physiker Leonard Mlodinow (der jahrelang mit Stephen Hawking gearbeitet hat) betont, dass zum Verständnis keine mathematische Ausbildung notwendig sei, und der Mathematiker und Stochastiker Norbert Henze sagt dazu: Die Überlegung ist ganz banal und hat eigentlich mit bedingten Wahrscheinlichkeiten nichts zu tun.
Die anspruchsvolle Aufgabe hier (fast aussichtslos und unlösbar ?) wäre nun, dies (samt Hinweis auf Konflikte und Kontroversen) für den Leser Oma-tauglich darzustellen. Ausgehend vom intendierten Paradoxon bis zu den historischen Konflikten. Wer kann und will dies hier zu leisten helfen? Gruß Gerhardvalentin (Diskussion) 12:35, 29. Jun. 2014 (CEST)

Hierher verschobene direkte Antworten zu "Mathematik contra Leben" von 79.248.122.4[Bearbeiten]

In der Fundgrube können wir dazu lesen: Das eigentliche Rätsel beim Ziegenproblem ist ja, warum es nach den "messerscharfen Contra-Argumenten" nicht sofort umformuliert worden ist. Wenn zum Beispiel bei Schwarzer Peter über die Regeln Unklarheiten bestehen, werden sie ja auch innerhalb von Sekunden geklärt; und es werden keine stundenlangen Vorträge darüber gehalten, dass die gültigen Spielregeln aus den bisher formulierten, zusammen mit mehreren "hochplausiblen Zusatzannahmen", ableitbar sind; gefolgt von tagelangen Diskussionen darüber, ob diese These stimmt.--Albtal (Diskussion) 13:32, 20. Jun. 2014 (CEST)
Naja, naja, die Lottoziehung ist auch nach Jahrzehnten noch nicht abgesetzt … --Chricho ¹ ² ³ 18:25, 21. Jun. 2014 (CEST)
Dieser Vergleich ist nicht sinnvoll, weil die "Kandidaten" in diesem Fall die Millionen lotto-spielenden Fernsehzuschauer sind. --Geodel (Diskussion) 13:50, 24. Jun. 2014 (CEST)
@Albtal:Wahrscheinlich waren die Contra-Argumente genauso messerscharf wie auf dieser Seite … -- HilberTraum (Diskussion) 19:02, 21. Jun. 2014 (CEST)

Leben contra 79.248.122.4:

1. A: Der Moderator muss ja jetzt eine andere Tür mit einer Ziege öffnen. B: Warum muss er das?

2. Ich glaube nicht, dass mich der Moderator reinlegen will. Ich würde wechseln.

3. Film 21: Aber es könnte ja sein, dass der Moderator dich reinlegen will!?

4. Matheprisma der Uni Wuppertal: Der will die Kandidaten doch nur verunsichern. Ich würde bei meiner Wahl bleiben!

Usw. usf. --Albtal (Diskussion) 10:26, 24. Jun. 2014 (CEST)

Die einfachste Lösung ist die beste[Bearbeiten]

Wenn sich mit der Wahrscheinlichkeit p hinter einer von zwei Türen der Preis befindet und vom Moderator eine Nietentür geöffnet werden muss, so befindet sich nach dem Öffnen dieser Nietentür der Preis mit Wahrscheinlichkeit p hinter der anderen Tür.

In (p*100)% der Fälle hat der Moderator dabei gar keine Wahl. Das sind genau die Gewinnfälle.

Dass für eine exakte Lösung bekannt sein müsste, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Moderator eine bestimmte Nietentür öffnet, wenn er die Wahl hat, ist eine Irreführung. Dass es auf Türnummern ankäme, ist ja sowieso Unfug.

Die Korrektheit dieser einfachen Lösung kann man mit extremen Werten für p leicht bestätigen.

Beim Ziegenproblem beträgt p für die beiden nicht gewählten Türen zusammen 2/3. Wie schon vor langer Zeit im Artikel stand, ist p eine Invariante des Spiels. (Entsprechend auch die Wahrscheinlichkeit 1 - p dafür, dass sich der Preis hinter der anfangs gewählten Tür befindet.)

Auf die Annahme bzw. die entsprechende Ergänzung der Problemformulierung zur gleichen Ausgangswahrscheinlichkeit für die drei Türen kann man auch verzichten. Das kann der Kandidat selbst erledigen, indem er "zufällig" (mit gleicher Wahrscheinlichkeit) zunächst eine der drei Türen "wählt".

Für eine ebenso einfache wie exakte Lösung genügt es also, die Aufgabenstellung vos Savants um die Spielregel zu ergänzen, dass der Moderator nach der ersten "Wahl" zum Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür mit anschließendem Wechselangebot verpflichtet ist.

Auch die einfachste Aufgabenstellung ist die beste. --Albtal (Diskussion) 11:53, 24. Jun. 2014 (CEST)

Exakt. Siehe oben Wann tritt das Paradoxon in Erscheinung. MvS sagte dazu deutlich: Der Moderator, der weiß was hinter den Toren verborgen ist, öffnet in jedem Fall absichtlich ein anderes Tor, um eine Ziege zu zeigen und bietet einen Wechsel auf das zweite ungeöffnete Tor an. Mlodinow sagt sogar, im Paradoxon sei eben dies die (sklavische) "Rolle" des extrem einseitigen Moderators, der keinesfalls das Auto zeigen wird. Und Henze entkräftet Morgan et al. (1991) wie folgt: "dabei hält der Moderator die Autotüre geheim". Und damit ist das klar definierte, unglaubliche Paradoxon (nicht 1:1, sondern 1:2) geboren. Mit in der Vergangenheit "stattgefundenen Fernsehshows" hat das berühmte Paradoxon allerdings sehr wenig zu tun. Der Artikel muss klarer werden. Gerhardvalentin (Diskussion) 12:49, 24. Jun. 2014 (CEST)
Bei manchen Moderatorstrategien bzw. Ergänzungen der Spielregel bleibt p invariant, bei anderen nicht. Wie kann man die beiden Gruppen unterscheiden? -- HilberTraum (Diskussion) 19:20, 24. Jun. 2014 (CEST)
p ist invariant, wenn der Moderator nach der ersten "Wahl" zum Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür mit anschließendem Wechselangebot verpflichtet ist. Natürlich kann man sich auch dazu äquivalente Formulierungen einfallen lassen; aber bei allen anderen hier und in der "Fachwelt" dargestellten Spielvarianten ist p nicht invariant, insbesondere - wie von mir schon oft betont - führt das bloße Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür mit anschließendem Wechselangebot ohne die Verpflichtung zu diesem Verhalten nicht zu einer 2/3-Lösung. Die zentrale Aussage dieses von mir angelegten Abschnitts ist allerdings, dass es für eine exakte 2/3-Lösung nicht darauf ankommt, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Moderator eine bestimmte Ziegentür öffnet, wenn der Kandidat die Autotür gewählt hat.--Albtal (Diskussion) 12:08, 25. Jun. 2014 (CEST)

Formel[Bearbeiten]

Am besten man formuliert seine Gedanken in mathematisch genaue Formeln, denn Worte sind leicht geschrieben, aber ihre Bedeutung ist nicht immer klar. Deutlich ist:

P(Auto hinterm Tür 1)=P(Auto hinterm Tür 2)=P(Auto hinterm Tür 3)=1/3

Aber wie formuliert man dass der geöffnete Tür kein Auto zeigt?Nijdam (Diskussion) 18:03, 24. Jun. 2014 (CEST)

So, wie Du das in en.WP formuliert hast: P(Moderator öffnet Tor x|Auto hinter Tor x) = 0
Oder anders formuliert: P(Moderator öffnet Tor x|Ziege hinter Tor x) = 1.
Gemäß Mlodinow ist diese extreme "Einseitigkeit" des Moderators die Bedingung für das Entstehen des "Paradoxons", dass ein Torwechsel die Gewinnchance verdoppelt.
Und: die Kandidatin weiß von Anfang an, dass sie sich mit p=1/3 im Szenarium der Trefferwahl und mit p=2/3 im Szenarium der Nietenwahl befindet. Das Öffnen eines Ziegentores durch den Moderator ändert an diesem Kenntnisstand nichts, denn die Kandidatin erhielt dabei "keinen weiteren Hinweis" darauf, in welchem dieser beiden Szenarien sie sich aktuell nun tatsächlich befindet (Henze). Oder andere Literatur unisono:
Für die Kandidatin und für uns alle gilt: Wenn der Moderator beim Öffnen seines Ziegentores die Wahl zwischen zwei Ziegentoren gehabt haben sollte, ist hinsichtlich des berühmten Paradoxons schlicht davon auszugehen, dass er seine Wahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit getroffen (gehabt) hatte. Punktum.
Kein Paradoxon:  Wenn aber der Moderator die aktuelle Position des Autos nicht kennt und eines der beiden von der Kandidatin nicht gewählten Tore nach Zufallsprinzip öffnet und rein "zufällig" eine Ziege zeigt, gäbe es kein Paradoxon. Denn in 1/3 aller Fälle (d.h. in der Hälfte aller Konstellationen, in denen ein Torwechsel zum Gewinn des Autos führt) würde er diese Gewinnchance vernichten, wenn er dabei das AUTO zeigt: game over, und 1:1 bleibt 1:1. Nur wenn er sodann einen Wechsel auf das schon geöffnete Autotor anbietet, stünden die Chancen für Strategie Beharren:Torwechsel generell wieder 1:2, wie beim Paradoxon. Gerhardvalentin (Diskussion) 18:23, 24. Jun. 2014 (CEST)

Richtig ist dass du denkst an einer bedingter Wahrscheinlichkeit, aber du hast die Falsche erwaehnt. Es muss sein: P(Auto hinter Tor x|Moderator öffnet Tor x) = 0. Zwar hast du recht dass auch P(Moderator öffnet Tor x|Auto hinter Tor x) = 0, aber das ist ein Regel des Spiels, und infolge dessen ist auch die ander Wahrscheinlichkeit 0.Nijdam (Diskussion) 11:31, 25. Jun. 2014 (CEST)

Bei Georgii lautet die einfache Begründung folgendermaßen (hier mit meinen eigenen Worten wiedergegeben):
E1: Der Kandidat wählt die Autotür.
E2: Der Moderator öffnet eine Tür, die nicht gleich der Autotür und nicht gleich der gewählten Tür ist.
Es gilt p(E1) = 1/3 und p(E2) = 1.
Daraus folgt p(E1|E2) = p(E1) = 1/3.
Entsprechend gilt p(nicht E1|E2) = p(nicht E1) = 2/3.
Das kann als etwas zu einfach erscheinen - oder nicht einfach genug? Denn E2 steht hier für das "sichere Ereignis" und kann beispielsweise auch dadurch ersetzt werden, dass der Moderator, anstatt eine nicht gewählte Ziegentür zu öffnen, "Hänschen klein" pfeifen muss (Ereignis H mit p(H) = 1).
Dann gilt p(E1|H) = p(E1) = 1/3.
Weniger lustig ausgedrückt, ist das genau die Begründung, die häufig für die 2/3-Lösung angegeben wird:
Das vorher schon bekannte Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür ändert die Wahrscheinlichkeit für die gewählte Tür nicht.
(Ohne das "vorher schon bekannte" (oder eine äquivalente Formulierung) ist diese Begründung natürlich ein Scherz.)
Die entscheidende Erkenntnis ist also die, dass das "sichere Ereignis" an der Wahrscheinlichkeit für die gewählte Tür nichts ändert. Und dass dieses spezielle "sichere Ereignis" sogar die Information liefert, dass eine der beiden nicht gewählten Türen ausscheidet: umso besser.
Die "operative" Begründung ist ebenfalls vollkommen korrekt:
Der Kandidat gewinnt durch Wechsel in zwei von drei Fällen.
Denn diese Begründung beruht auf der Tatsache, dass der Moderator die eine oder die andere Tür mit einer Ziege öffnet. Und die 2/3-Wahrscheinlichkeit ändert sich natürlich nicht dadurch, dass der Moderator nun tatsächlich die eine oder aber die andere Tür "geöffnet hat".--Albtal (Diskussion) 13:20, 25. Jun. 2014 (CEST)
Hier trifft genau zu, was ich oben schrieb. Mit Worten laesst sich viel sagen, aber genau formuliert gibt es Probleme. Das Ereignis E1 bedeutet: {Auto hinter 1 und Kandidat waehlt 1, oder Auto hinter 2 und Kandidat waehlt 2, oder Auto hinter 3 und Kandidat waehlt 3}, aber im Ziegenproblem hat der Kandidat eine bestimmte Tuer gewaehlt. Analog mit E2. Nijdam (Diskussion) 09:28, 26. Jun. 2014 (CEST)
Die Lösung Georgiis gilt wie alle (korrekten) "einfachen Lösungen" natürlich für alle "bestimmten" Türkombinationen. Dass du auf Grund deiner Fragestellung nur zu dem Ergebnis "zwischen 1/2 und 1" kommst, zeigt doch, dass deine Überlegungen - im Gegensatz zum "einfachen" Blick auf das Problem - offensichtlich nicht angemessen sind. Mathematische Formeln sind übrigens völlig äquivalent zu verbalen Formulierungen, nur in der Regel kürzer. Die "einfachen Lösungen" liegen ganz auf der Linie von Paul Erdös, der ja auch der Auffassung war, dass dieses einfache Problem auch eine einfache Lösung haben muss (siehe Artikel). Übrigens bringen die einfachen (korrekten) Begründungen auch sehr schön die (stochastische) Unabhängigkeit der betrachteten Ereignisse zum Ausdruck.--Albtal (Diskussion) 11:59, 26. Jun. 2014 (CEST)
Sagst du mir doch welche Tuer der Kandidat gewaehlt hat und welche der Moderator geoeffnet hat. Nijdam (Diskussion) 21:15, 27. Jun. 2014 (CEST)
Ich wünsche der Wikipedia mit dir weiterhin viel Spaß.--Albtal (Diskussion) 22:40, 27. Jun. 2014 (CEST)
Die Zeit ist längst abgelaufen, irgendwann kommen die Tatsachen ans Licht, und der Artikel muss dem Rechnung tragen. Das lupenreine (Abstraktion) Paradoxon (Chance Wechseln:Beharren nicht 1:1 sondern 2:1, andere Werte sind in dieser Abstraktion ausgeschlossen) ist weltberühmt: Der (abstrakte) Moderator ist uns als Person nicht bekannt (the question described only a single incident, excluding transparent curtains from the outset, siehe auch Ruma Falk), er hält das Tor mit dem Auto selbstverständlich streng geheim und öffnet nicht alle drei Tore gleichzeitig (von gläsernen Toren ist nicht die Rede, die gibt es nur im Mathe-Unterricht in von der Abstraktion "abweichenden Varianten". Der Moderator ist extrem einseitig, weil er keinesfalls das Tor mit dem Auto öffnet (Mlodinow), seine weiteren Vorlieben mögen zahlreich sein, sind aber irrelevant und spielen keine Rolle und interessieren uns nicht, da sie uns ohnehin unbekannt sind (Falk). Gemäß Fachliteratur sind die Nummern der Tore ebenfalls belanglos und brauchen uns nicht zu interessieren. Und gemäß Morgan et al. (2010) ist die Chance auf den Gewinn bei Torwechsel 2:1. Gerhardvalentin (Diskussion) 13:20, 28. Jun. 2014 (CEST)
Völlig einverstanden, Albtal, doch sollten wir vorsichtig bleiben: Es lauern immer noch Mathematiker, die zwar vorgeben vom "Paradoxon" zu sprechen, doch dabei eine gänzlich "andere Variante" meinen. Ja, die Kandidatin befand sich nach ihrer ersten Wahl zwar (unveränderlich!) mit p=2/3 im Nieten-Szenarium, und dort verbleibt sie auch nachdem der Moderator ein Ziegentor geöffnet hat. DOCH: Manche sprechen von einer "Variante", in welcher der Moderator - im Gegensatz zu Henze - das Autotor nicht geheimhält und der Kandidatin und uns damit verraten könnte, dass sie sich beispielsweise mit p=1 (!) im Nietenszenarium befindet (siehe Morgan et al. 1991). Wenn in einer solchen (abweichenden) Variante bekannt ist, dass der Moderator - wenn immer möglich - Tor y öffnet und es - wenn immer möglich - vermeidet, Tor x zu öffnen, doch in der aktuellen Runde dennoch Tor x öffnet, dann doch nur deshalb, weil sich diesmal aktuell das AUTO hinter Tor y befindet. Dann kam sie zwar mit p=2/3 im Nietenszenarium an, doch weiß sie nun, dass sie sich mit "p=1" tatsächlich im Nietenszenarium befindet und ein Torwechsel auf das angebotene Tor y mit Sicherheit (p=1) zum Gewinn des Autos führt. In einer solchen (abweichenden) Variante, in welcher der Moderator das Autotor NICHT geheim hält, führt also ein Torwechsel nicht immer mit p=2/3 zum Gewinn des Autos (bekanntlich gilt dort für einen Gewinn durch Wechseln der Bereich von p=1/2 bis p=1). Unsere Formulierungen müssen klar machen, dass wir - wenn wir vom lupenreinen "Paradoxon" sprechen - nicht solch "abweichende Varianten" meinen. Gruß Gerhardvalentin (Diskussion) 18:48, 25. Jun. 2014 (CEST)
Der Witz ist ja, dass diese Formulierungen zum Verhalten des Moderators in dem Fall, dass der Kandidat die Autotür gewählt hat, in die Spielregeln aufgenommen wurden, weil man damit angeblich erst eine exakte Lösung angeben kann. Die ursprüngliche Aufgabe, ergänzt um die Spielregel, dass der Moderator verpflichtet ist, eine nicht gewählte Ziegentür zu öffnen und einen Wechsel anzubieten, hat aber entsprechend meinen Ausführungen u.a. in diesem und im vorangehenden Abschnitt auch ohne solche Ergänzungen exakt die Lösung 2/3. Wenn man solche Erweiterungen der Aufgabenstellung vornimmt, hat man natürlich auch mehr Informationen, die man auswerten muss. Aber die hat man auch, wenn man mitgeteilt bekommt, hinter welcher Tür das Auto steht ... Morgan et al. haben offensichtlich auf einen Holzweg geführt.--Albtal (Diskussion) 21:26, 25. Jun. 2014 (CEST)
So ist es. Zwar mögen die drei Tore aus Holz sein, doch die "Annahmen der Mathe-Lehrer" beim Üben von Wahrscheinlichkeitsrechnung (M.et al. 1991) verwandeln Holztüren mitunter zu Glastüren. Das ändert zwar nichts am Szenarium, in welchem sich die Kandidatin aktuell befindet (p=1/3 Trefferszenarium, p=2/3 Nietenszenarium), sondern erweitert lediglich ihren angeblichen "Kenntnis-Stand" bis hin zur exakten aktuellen Position des Autos, wie auch Du das nennst. Doch ohne dass dabei ein Beharren jemals vorteilhaft sein kann. Gerhardvalentin (Diskussion) 09:28, 26. Jun. 2014 (CEST)

"Ziegenproblem" oder "Monty-Hall-Standard-Problem"?[Bearbeiten]

Der Artikel trägt die Überschrift "Ziegenproblem" und nicht "Monty-Hall-Standard-Problem". Deshalb macht es durchaus Sinn, dass der Artikel sich zunächst mit dem mangelhaften Originaltext von Savant, der ja das Ziegenproblem eigentlich repräsentiert, auseinandersetzt und erst später vollständige Problemformulierungen mit ihren eindeutigen mathematischen Lösungen behandelt. --Geodel (Diskussion) 10:12, 26. Jun. 2014 (CEST)

Doch in erster Linie geht es um ein weltberühmtes nicht leicht zu durchblickendes Paradoxon. Selvin und Marilyn vos Savant versuchten, jenes frappierende Paradoxon zu beschreiben. Erst in zweiter Linie geht es um Missverständnisse und diverse "andere Varianten", in welchen dieses reine Paradoxon nicht auftritt. Der Artikel sollte das klar machen und "nicht darunter leiden" müssen. Gerhardvalentin (Diskussion) 11:03, 26. Jun. 2014 (CEST)

@Geodel: Selbstverständlich soll der Artikel die Originalaufgabe vos Savants in den Mittelpunkt stellen (und dabei auch die Formulierung von Randows behandeln) und genau darstellen, welche Spielregel für die 2/3-Lösung dort fehlte. Alles andere wäre ja eine Irreführung der Leser. Beschränken sollte man aber den restlichen Teil (s.o.).--Albtal (Diskussion) 21:56, 26. Jun. 2014 (CEST)

Bei dem „Ziegenproblem“ handelt es sich im Grunde genommen um zwei Probleme, ein mathematisches und ein interpretatorisches. In der aktuellen Form wird in dem Artikel ein viel zu starkes Gewicht auf den zweiten Aspekt gelegt, wodurch der erste untergeht und der Leser primär verwirrt wird. Aus dem Artikel sollten eigentlich zwei Dinge hervorgehen:
  1. In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es Probleme, deren Lösung überraschend ist und (zunächst) nicht der Intuition entspricht.
  2. Bei der Formulierung eines Problems soll man darauf achten, implizit getroffene Annahmen nicht zu vergessen.
Entsprechend sollte man den Artikel auch strukturieren und das mathematische Problem in den Vordergrund stellen und nicht das Hickhack um dessen genaue Formulierung. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:42, 27. Jun. 2014 (CEST)
Da capo--Albtal (Diskussion) 10:45, 27. Jun. 2014 (CEST)
Stimmt, siehe #Inhalte für einen guten Artikel. Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:13, 27. Jun. 2014 (CEST)