Dispersion (Wasserwellen)

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Bei Wasserwellen (Oberflächenwellen) wird unter Dispersion insbesondere die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit (Wellenfortschrittsgeschwindigkeit) von der Wellenlänge bzw. von der Frequenz verstanden.

Interne Wellen südlich der Straße von Messina. Man erkennt die höhere Ausbreitungsgeschwindigkeit mit wachsender Wellenlänge

Schwerewellen pflanzen sich umso schneller fort, je größer ihre Wellenlänge bzw. je kleiner ihre Frequenz ist. Andererseits haben Wellen mit vorgegebener Wellenlänge über tieferem Wasser eine größere Phasengeschwindigkeit als über flacherem Wasser. Im Gegensatz dazu breiten sich Kapillarwellen, deren Rückstellkraft allein aus der Oberflächenspannung resultiert, umso schneller aus, je kürzer sie sind.
Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine Wellengruppe (d. h. das Intensitätsmaximum mehrerer sich überlagernder Wellen) fortbewegt, deren Wellenlängen sich nur wenig unterscheiden. Das Verhältnis der Phasengeschwindigkeit zur Gruppengeschwindigkeit entscheidet über die Art der Dispersion.

Dispersion bei Oberflächenwellen

Dispersion in bichromatischen Gruppen von Schwerewellen an deren Oberfläche über Tiefwasser. Der rote Punkt bewegt sich mit Phasengeschwindigkeit, und die grünen Punkte mit Gruppengeschwindigkeit.

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Bei den vorliegenden Tiefwasserbedingungen ist die Phasengeschwindigkeit gleich der doppelten Gruppengeschwindigkeit. Der rote Punkt überholt auf seinem Wege von links nach rechts zwei grüne Punkte. Neue Wellen scheinen sich am Ende der Wellengruppe zu bilden, wachsen in ihrer Höhe bis sie den Mittelpunkt der Gruppe erreicht haben und verschwinden am Anfang der Gruppe. In den meisten Fällen sind für Schwerewellen die Teilchengeschwindigkeiten (Orbitalgeschwindigkeiten) viel kleiner als die Phasengeschwindigkeit.

Ist die Phasengeschwindigkeit für alle Teilwellen (Komponenten-Wellen) der Gruppe gleich, sind Gruppen- und Phasengeschwindigkeit identisch. Ist dies nicht der Fall, liegt Dispersion vor. Für alle Wellenarten gilt nach Rayleigh die nachfolgende Beziehung zwischen Gruppengeschwindigkeit c_g und Phasengeschwindigkeit c:

$c_g=c- L \cdot \frac{\mathrm dc}{\mathrm dL}$

Hierin ist $L$ die Wellenlänge und $\tfrac{\mathrm dc}{\mathrm dL}$ die Dispersion der Phasengeschwindigkeit. Je nach Vorzeichen und Betrag des Differentialquotienten ist die Gruppengeschwindigkeit kleiner, größer oder gleich der Phasengeschwindigkeit. Man unterscheidet normale Dispersion, anomale Dispersion und dispersionslose Wellenausbreitung:

	dc / dL	dc / df
Normale Dispersion	$>0$	$<0$
Anomale Dispersion	$<0$	$>0$
Keine Dispersion	$=0$	$=0$

Dispersion bei Schwerewellen

Abweichend von den elektromagnetischen Wellen werden bei Schwerewellen die Wellenparameter wie folgt bezeichnet.

	Schwerewellen	elektromagnet. Wellen
Wellenlänge in m	L	$\lambda$
Wellenfrequenz in Hz	f	$\nu$
Periodendauer in s	$T =\frac{1}{f}$	-
Phasengeschwindigkeit in m/s	$c = L\cdot f$	$v=\lambda\cdot\nu$
Gruppengeschwindigkeit in m/s	$c_g$	$v_g$
Wassertiefe in m	d	-
Erdbeschleunigung in m/s²	$g$	-

c(f,d)

Die klassische Dispersionsrelation nach Airy-Laplace (1840) ist auch für Wellen nach der nichtlinearen Wellentheorie Stokes' 2. Ordnung gültig.

$c=L\cdot f=\sqrt{{gL\over{2\pi}}\cdot \tanh\left(\frac{2 \pi d}{ L} \right)}=\frac{g}{2\pi f}\cdot \tanh\left( \frac{2 \pi d}{L}\right)$

c(L,d)

Sie beschreibt die unterschiedliche Ausprägung der Dispersion in Abhängigkeit von der Wassertiefe d. Hierfür ist

$\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL }\ge 0$ bzw. $\frac{\mathrm dc}{\mathrm df} \le 0$

Begrenzte Wassertiefe

Es gilt die obige vollständige Dispersionsrelation.

Insbesondere in Bereichen, in denen die Wassertiefe geringer als die halbe Wellenlänge ist (d ≤ 0,5 L), können sich in der Natur erhebliche Abweichungen ergeben. Als Ursachen kommen u. a. in Betracht:

• morphologische Besonderheiten wie Riffe im Küstenvorfeld,
• konstante Strömungen, beschleunigte Strömungen, siehe Wellentransformation
• Windwirkungen und
• partiell stehende Wellen in Seegebieten mit Inseln, die der Küste vorgelagert sind (auch über Tiefwasser).

Bei Wellenresonanz tritt anomale Dispersion auf.

Tiefwasser

Bei der Ausbreitung über großer Wassertiefe (d ≥ 0,5 L) liegt maximale normale Dispersion vor und die Phasengeschwindigkeit ist von der Wassertiefe unabhängig.

$\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} =\sqrt{g\over{8\pi\cdot L}}$ bzw. $\frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = \frac{-g}{2\pi f^2}$

$c=L\cdot f=\sqrt{gL\over{2\pi}}=\frac{g}{2\pi f}$

$c_g=0{,}5 \, c$

Flachwasser

Im flachen Wasser (d ≤ 0,04 L) ist die Wellenbewegung praktisch dispersionslos und nur von der Wassertiefe abhängig.

$\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = 0$ bzw. $\frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = 0$

$c=L\cdot f=\sqrt{g\cdot d}$

$c_g=c\,$

Siehe auch: Wellenresonanz, Dopplereffekt

Kapillarwellen

Für die Fortbewegung von Kapillarwellen gilt

$c=L\cdot f=\sqrt{2\pi\sigma\over{\rho L}}=\left(\frac{2\pi\sigma f}{\rho}\right)^{1/3}$

Darin bedeuten $\sigma$ Oberflächenspannung und $\rho$ Flüssigkeitsdichte.

Die Dispersion ist anomal

$\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = \frac{-\left(2\pi\sigma L\right)^{-1/2}}{2L}$ bzw. $\frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = \frac{2\pi\sigma}{3\rho}\cdot \left(\frac{2\pi\sigma f}{\rho}\right)^{-2/3}$