Distributiver Verband

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Ein distributiver Verband ist eine spezielle Struktur der Mathematik. Gegenüber allgemeinen Verbänden, in denen für die beiden (zweistelligen) Operationen \sqcup und \sqcap nur die Assoziativgesetze, die Kommutativgesetze und die Absorptionsgesetze gefordert werden, gelten in einem distributiven Verband noch zusätzlich Distributivgesetze für beide Richtungen.

Die Gültigkeit der Distributivgesetze macht Verbände interessanter. Sie lassen sich einfacher untersuchen, da auftretende Terme sich leichter umformen lassen und es „gute“ Darstellungen gibt. Dabei treten distributive Verbände sehr häufig auf, auch in Bereichen außerhalb der Mathematik. Boolesche Algebren sind spezielle distributive Verbände.

Präzisierung[Bearbeiten]

Im Folgenden meinen wir mit dem „Verband V“ stets den Verband \left(V, \sqcup,\sqcap\right).

Ein Verband V heißt distributiver Verband, wenn für alle a,b,c\in V gilt:

  • a\sqcup(b\sqcap c) = (a\sqcup b)\sqcap(a\sqcup c) \qquad      (D1)
  • a\sqcap(b\sqcup c) = (a\sqcap b)\sqcup(a\sqcap c) \qquad      (D2)

Man kann jede der beiden Aussagen aus der anderen mit Hilfe der Verbandsaxiome ableiten.[1] Daher genügt es, die Gültigkeit eines dieser beiden Distributivgesetze zu fordern.

Jeder distributive Verband ist modular, aber nicht umgekehrt.

Ein modularer Verband, der nicht distributiv ist, enthält immer den Verband M_3, den Verband der Untergruppen der Kleinschen Vierergruppe, als Unterverband.[2] Dies ergibt den „Test“:

hat ein Verband weder einen Unterverband der Form N_5 noch einen der Form M_3, dann ist er distributiv.

Beispiele[Bearbeiten]

Distributive Verbände kann man in vielen Gebieten innerhalb und außerhalb der Mathematik finden. Distributive Verbände sind:

Beispiele für distributive Verbände
Hasse diagram of powerset of 3.svg
Verband der Teilmengen von {x,y,z} durch Teilmengenrelation geordnet
Lattice of the divisibility of 60.svg
Verband der Teiler von 60, mit ggT und kgV
N-Quadrat, gedreht.svg
\N_0 \times \N_0 mit der Produkt-Ordnung
nicht-distributive Verbände
N 5 mit Beschriftung.svg
N_5, der minimale nicht-modulare Verband
M 3 mit Beschriftung.svg
M_3, der minimale modulare, nicht-distributive Verband: a ⊓ (b ⊔ c) = a, aber (a ⊓ b) ⊔ (a ⊓ c) = 0

Kürzungsregel[Bearbeiten]

In einem distributiven Verband gilt die Kürzungsregel: Gelten für a, b, c \in V die beiden Gleichungen

  • aus \qquad a \sqcap b = a \sqcap c \qquad und \qquad a \sqcup b = a \sqcup c \qquad folgt b = c.[3]

Das Beispiel M_3 zeigt, dass diese Regel in beliebigen Verbänden nicht gilt. Sie ist in dem folgenden Sinn typisch für distributive Verbände:

Ist die Kürzungsregel für beliebige Wahl von a,b,c in einem Verband V gültig, dann ist V distributiv.[4]

Komplemente in distributiven Verbänden[Bearbeiten]

Für ein gegebenes Element a eines beschränkten Verbandes nennt man ein Element b mit der Eigenschaft

  • a \sqcap b = 0 und a \sqcup b = 1

ein Komplement von a.

Während es im Allgemeinen zu einem Elemente mehrere komplementäre Elemente geben kann, gilt:

wenn in einem distributiven Verband ein Komplement von a existiert, dann ist es eindeutig bestimmt.[5]

Man bezeichnet ein eindeutig bestimmtes Komplement von a mit a^c oder \neg a (vor allem bei Anwendungen in der Logik) oder \overline a.

Ein distributiver Verband, in dem jedes Element a ein (eindeutig bestimmtes) Komplement \neg a hat, heißt Boolesche Algebra.

Siehe auch: Boolesche Algebra

Auch in einem nicht-distributiven Verband kann jedes Element genau ein Komplement haben. Damit man die Distributivität folgern kann, muss man mehr fordern:

Ein Verband V ist distributiv, wenn jedes Element in jedem Intervall höchstens ein relatives Komplement besitzt.

Ist V ein distributiver Verband und haben a,b \in V Komplemente, dann haben auch a \sqcap b und a \sqcup b Komplemente und es gilt

  • (a \sqcap b)^c = a^c \sqcup b^c und (a \sqcup b)^c = a^c \sqcap b^c

Dies ist eine andere Formulierung der de Morganschen Regeln.

Repräsentationssatz für distributive Verbände[Bearbeiten]

T_{60}, der Verband der Teiler von 60 (geordnet durch Teilbarkeit) und die Repräsentation durch den Mengenverband der (irreduziblen) Primzahlpotenz-Elemente

Distributive Verbände sind auch anders zu charakterisieren, denn Birkhoff (1933) und Stone (1936) haben gezeigt:

Ein Verband ist genau dann distributiv, wenn er isomorph zu einem Mengen-Ring ist.[6]

Hieraus folgt natürlich, dass sich jeder distributive Verband in eine Boolesche Algebra einbetten lässt.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten]

Jeder Unterverband eines distributiven Verbandes ist distributiv, dagegen sind Teilverbände nicht immer distributiv.

Das homomorphe Bild eines distributiven Verbandes ist distributiv.

Das direkte Produkt beliebig vieler distributiver Verbände ist distributiv.

Vollständige Distributivität[Bearbeiten]

vollständiger distributiver Verband, der \sqcap-volldistributiv, aber nicht volldistributiv ist. Es gilt \bigsqcup{}_{i \in \N} \left(B \sqcap A_i\right) = A_5, aber B \sqcap \bigsqcup{}_{i\in \N} A = B

Ein Verband heißt \sqcap-volldistributiv, wenn für jede Wahl von a \in V und jede Teilmenge M \subseteq V gilt

a \sqcap  \bigsqcup_{x \in M} x  = \bigsqcup_{x \in M}(a \sqcap x).

\sqcup-Volldistributivität wird dual definiert.

Der Begriff Volldistributivität ohne Zusatz wird unterschiedlich verwendet:

  • Es kann bedeuten, dass einer von diesen beiden Bedingungen erfüllt ist und im anderen Fall spricht man von dual-volldistributiv oder verwendet explizit die obige Bezeichnung.[7]
  • Es kann bedeuten, dass beide Bedingungen erfüllt sind.
  • Es kann bedeuten, dass das folgende unendliche Distributiv-Gesetz und die dazu duale Form gilt
Für alle \emptyset \ne I, J \subseteq V gilt: U+220f.svg\Big(\Big.U+2210.svg (a_{ij}| j \in J)|i \in I\Big.\Big) = U+2210.svg\Big(\Big.U+220f.svg (a_{i\varphi(i)}|i \in I)|\varphi: I \to J\Big.\Big) [8]

Für alle drei Begriffe gilt:

Jeder volldistributive Verband ist distributiv und jeder endliche distributive Verband ist volldistributiv.[9]

Ein vollständiger distributiver Verband braucht nicht volldistributiv sein, wie das Beispiel zeigt.[10]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Der Beweis ist eine Gleichungsumformung. Wir nehmen an, dass D2 gilt, und wollen D1 zeigen:
      (a \sqcup b) \sqcap (a \sqcup c) ; Anwendung von D2:
    = ((a \sqcup b) \sqcap a) \sqcup ((a \sqcup b) \sqcap c); nach Absoptionsgesetz:
    = a \sqcup ((a \sqcup b) \sqcap c); Anwendung von D2 in Klammer:
    = a \sqcup ((a \sqcap c) \sqcup (b \sqcap c)) ; nach Assoziativgesetz:
    = (a \sqcup (a \sqcap c)) \sqcup (b \sqcap c) ; die linke Seite entspricht nach dem Absorptionsgesetz a:
    = a \sqcup (b \sqcap c) .
    Die Gegenrichtung folgt dual.
  2. Der Beweis (mit mehreren Zwischenschritten) findet sich z. B. in: H.Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967,S 111
  3. Auch dies wird mit einer einfachen Folge von Gleichungen bewiesen, in der das Absorptionsgesetz, das Distributivgesetz und die Voraussetzungen verwendet werden: b = b \sqcup (a \sqcap b) = b \sqcup (a \sqcap c) = (b \sqcup a) \sqcap (b \sqcup c) = (a \sqcup c) \sqcap (b \sqcup c) = (a\sqcap b) \sqcup c = (a \sqcap c) \sqcup a = c; nach H. Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 114
  4. Die Beweisidee ist, dass in N_5 und M_3 jeweils die Kürzungsregel nicht gilt. Vgl. H.Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 113f
  5. Dies folgt unmittelbar aus der Kürzungsregel
  6. G.Grätzer, Lattice Theory, 1971, S. 75
  7. So z. B. H.Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 114
  8. Diese Form wurde aus G.Grätzer, Lattice Theory, p 118, Exercise 7 übernommen.
  9. H.Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967,S 114f
  10. Der Verband ohne die 1 ist als Produkt von \N \times \{0,1\} distributiv. Dass der ganze Verband vollständig und distributiv ist, sieht man leicht. Das Beispiel findet sich (mit etwas anderem Hasse-Diagramm) in H.Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967,S 115

Literatur[Bearbeiten]