Divergenz (Mathematik)

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Dieser Artikel behandelt die mathematische Funktion der mehrdimensionalen Analysis. Für die gleichnamige Eigenschaft von Folgen siehe Grenzwert_(Folge)#Bestimmte_Divergenz.

In der Mathematik ist die Divergenz ein Differentialoperator, der einem Vektorfeld ein Skalarfeld zuordnet. Während bei einem Vektorfeld jedem Punkt ein Vektor zugeordnet wird, wird bei einem Skalarfeld jedem Punkt ein Skalar, also eine Zahl, zugeordnet. Interpretiert man das Vektorfeld als Strömungsfeld, so gibt die Divergenz für jeden Raumpunkt an, wie viel mehr aus einer Umgebung dieses Punkts hinausfließt als in sie hineinfließt. Mithilfe der Divergenz lässt sich also herausfinden, ob und wo das Vektorfeld Quellen (Divergenz größer als Null) oder Senken (Divergenz kleiner als Null) hat. Ist die Divergenz überall gleich Null, so bezeichnet man das Feld als quellenfrei.

Die Divergenz wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Gradient und Rotation in der Vektoranalysis, einem Teilgebiet der mehrdimensionalen Analysis, untersucht.

In der Physik wird die Divergenz zum Beispiel bei der Formulierung der Maxwell-Gleichungen und der Kontinuitätsgleichung verwendet.

Beispiel aus der Physik[Bearbeiten]

Man betrachtet zum Beispiel eine ruhige Wasseroberfläche, auf die ein dünner Strahl Öl trifft. Die Bewegung des Öls auf der Oberfläche kann durch ein zweidimensionales (zeitabhängiges) Vektorfeld beschrieben werden, d. h. in jedem Punkt zu jedem Zeitpunkt ist als Vektor mit Betrag und Richtung die Fließgeschwindigkeit des Ölfilms angegeben. Die Stelle, an der der Strahl auf die Wasseroberfläche trifft, ist eine „Ölquelle“, da von dort Öl wegfließt, ohne Zufluss auf der Oberfläche. Die Divergenz an dieser Stelle ist positiv. Im Gegensatz dazu bezeichnet man eine Stelle, an der das Öl beispielsweise am Rand aus dem Wasserbecken abfließt, als Senke. Die Divergenz an dieser Stelle ist negativ.

Definition[Bearbeiten]

Die Divergenz eines differenzierbaren Vektorfeldes \vec F:\R^n\to\R^n ist ein skalares Feld. Es wird als \nabla\cdot\vec F oder als \operatorname{div}\vec F geschrieben. Dabei bezeichnet \nabla den formalen Nabla-Operator und \operatorname{div} das Operatorsymbol der Divergenz. Für den Fall eines dreidimensionalen Vektorfeldes \vec F(x_1,x_2,x_3) ist die Divergenz in kartesischen Koordinaten definiert als

\begin{matrix} \operatorname{div}: & C^1(\R^3,\R^3) & \rightarrow & C^0(\R^3,\R) \\ & \vec F=\left(F^1,F^2,F^3\right) & \mapsto & \frac{\partial}{\partial x_1}F^1 + \frac{\partial}{\partial x_2}F^2+ \frac{\partial}{\partial x_3}F^3 \end{matrix}

Allgemein gilt für ein n-dimensionales Vektorfeld \vec F = (F^1,\ldots,F^n):

\begin{matrix} \operatorname{div}: & C^1(\R^n,\R^n) & \rightarrow & C^0(\R^n,\R) \\ & \vec F=\left(F^1,\ldots,F^n\right) & \mapsto & \sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}F^i \end{matrix}

Die Divergenz lässt sich formal als Skalarprodukt zwischen \nabla=(\tfrac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\tfrac{\partial}{\partial x_n}) und \vec F = (F^1,\ldots,F^n) interpretieren, d.h. als die Summe der komponentenweisen Produkte.

Die Divergenz als „Quellendichte“[Bearbeiten]

Interpretiert man ein Vektorfeld \vec{F}\colon\R^n\to\R^n als Strömungsfeld, so beschreibt dessen totales Differenzial DF\colon\R^n\to\R^{n\times n} ein Beschleunigungsfeld. Ist in einem Punkt x_0\in\R^n die Beschleunigungsmatrix DF(x_0) diagonalisierbar, so beschreibt jeder Eigenwert \lambda_i(x_0) die Beschleunigung in Richtung des zugehörigen Eigenvektors u_i(x_0). Jeder positive Eigenwert beschreibt also die Intensität einer gerichteten Quelle und jeder negativer Eigenwert die gerichtete Intensität einer Senke. Addiert man diese Eigenwerte, so erhält man die resultierende Intensität einer Quelle bzw. Senke. Da die Summe der Eigenwerte \lambda_i(x_0) gerade die Spur der Beschleunigungsmatrix DF(x_0) ist, wird die Quellenintensität durch


    \operatorname{Spur}(DF) = \sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}F^i = \operatorname{div}\,\vec{F}

gemessen.

Die Divergenz kann in diesem Sinne als „Quellendichte“ (im Gegensatz zur „Wirbeldichte“, siehe Rotation) interpretiert werden.

Koordinatenfreie Darstellung[Bearbeiten]

Für die Interpretation der Divergenz als „Quellendichte“ ist die folgende koordinatenfreie Definition in der Form einer Volumenableitung wichtig (hier für den Fall n=3)

\operatorname{div}\,\vec{F} = \lim_{|\Delta V|\to 0}\left(\frac{1}{|\Delta V|}\int_{\partial (\Delta V)} \vec F\;\cdot\vec n\,dS \right)\,.

Dabei ist \Delta V ein beliebiges Volumen, zum Beispiel eine Kugel oder ein Parallelepiped; |\Delta V| ist sein Inhalt. Es wird über den Rand \partial (\Delta V) dieses Volumenelements integriert, \vec{n} ist die nach außen gerichtete Normale und d S das zugehörige Flächenelement.

Für n > 3 kann diese Aussage leicht verallgemeinert werden, indem man n-dimensionale Volumina und ihre (n-1)-dimensionalen Randflächen betrachtet. Bei Spezialisierung auf infinitesimale Würfel oder Quader erhält man die bekannte Darstellung in kartesischen Koordinaten

\operatorname{div}\, \vec{F} = \sum_{i=1}^n\,\frac{\partial F_i}{\partial x_i}\,.

In orthogonalen krummlinigen Koordinaten, zum Beispiel Kugelkoordinaten oder elliptischen Koordinaten, (also für \textstyle \mathrm{d}\vec{r} = \sum_{i=1}^n a_i(u_1, \dots, u_n) \cdot \mathrm{d}u_i\,\vec e_i(u_1, \dots, u_n)\,, mit \vec e_i\cdot \vec e_k = \delta_{i,k}\,), wobei \textstyle \vec{F} = \sum_{i=1}^n\,F_i(u_1, \dots, u_n)\,\vec e_i ist, wobei also nicht die \mathrm{d}u_i, sondern die  a_i\cdot\mathrm{d}u_i die physikalische Dimension einer „Länge“ haben, gilt dagegen etwas allgemeiner

\operatorname{div}\, \vec{F} = (a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n)^{-1}\,\left\{ \frac{\partial}{\partial u_1}[(a_2 \cdot a_3\cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_n)\,F_1] + \dots \right\},

wobei die Punkte am Ende weitere Terme beinhalten, die durch fortgesetzte zyklische Permutationen, erzeugt nach dem Schema 1 \to 2, 2 \to 3, \dots, (n-1) \to n, n \to 1, usw., aus dem angeschriebenen folgen.

Herleitung der kartesischen Darstellung[Bearbeiten]

Zur Herleitung der kartesischen Darstellung der Divergenz aus der koordinatenfreien Darstellung betrachte man einen infinitesimalen Würfel [x_{1},x_{1}+\Delta x_{1}],\ldots,[x_{n},x_{n}+\Delta x_{n}].

\begin{align}
\frac{1}{|\Delta V|}\int\limits _{\partial(\Delta V)}\vec{F}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S & =\frac{1}{\Delta x_{1}\Delta x_{2}\ldots\Delta x_{n}}\left[\int\limits _{x_{2}}^{x_{2}+\Delta x_{2}}\ldots\int\limits _{x_{n}}^{x_{n}+\Delta x_{n}}\left(\vec{F}(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})-\vec{F}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\right)\cdot\hat{e}_{1}\,\mathrm{d}x_{2}\ldots\mathrm{d}x_{n}\right]+\ldots\\
 & +\frac{1}{\Delta x_{1}\Delta x_{2}\ldots\Delta x_{n}}\left[\int\limits _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x_{1}}\ldots\int\limits _{x_{n-1}}^{x_{n-1}+\Delta x_{n-1}}\left(\vec{F}(x_{1},\ldots,x_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-\vec{F}(x_{1},\ldots,x_{n-1},x_{n})\right)\cdot\hat{e}_{n}\,\mathrm{d}x_{1}\ldots\mathrm{d}x_{n-1}\right]\end{align}

Nun wendet man den Mittelwertsatz der Integralrechnung an, wobei die gestrichenen Größen x'_{i} aus dem Intervall [x_{i},x_{i}+\Delta x_{i}] sind.

\begin{align}
\frac{1}{|\Delta V|}\int\limits _{\partial(\Delta V)}\vec{F}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S & =\frac{\left(\vec{F}(x_{1}+\Delta x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})-\vec{F}(x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})\right)\cdot\hat{e}_{1}}{\Delta x_{1}}\underbrace{\left[\frac{1}{\Delta x_{2}}\int\limits _{x_{2}}^{x_{2}+\Delta x_{2}}\mathrm{d}x_{2}\right.}_{=1}\ldots\underbrace{\left.\frac{1}{\Delta x_{n}}\int\limits _{x_{n}}^{x_{n}+\Delta x_{n}}\mathrm{d}x_{n}\right]}_{=1}+\ldots\\
 & +\frac{\left(\vec{F}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-\vec{F}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n})\right)\cdot\hat{e}_{n}}{\Delta x_{n}}\left[\frac{1}{\Delta x_{1}}\int\limits _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x_{1}}\mathrm{d}x_{1}\ldots\frac{1}{\Delta x_{n-1}}\int\limits _{x_{n-1}}^{x_{n-1}+\Delta x_{n-1}}\mathrm{d}x_{n-1}\right]\end{align}

Somit bleibt nur die Summe der Differenzenquotienten übrig

\frac{1}{|\Delta V|}\int\limits _{\partial(\Delta V)}\vec{F}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S=\frac{F_{1}(x_{1}+\Delta x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})-F_{1}(x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})}{\Delta x_{1}}+\ldots+\frac{F_{n}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-F_{n}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n})}{\Delta x_{n}},

die im Grenzübergang \Delta x_{i}\to 0 zu partiellen Ableitungen werden:

\operatorname{div}\,\vec{F}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})+\ldots+\frac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}(x_{1},x_{2},\ldots,x{}_{n})

Kovariantes Verhalten bei Drehungen und Verschiebungen[Bearbeiten]

Der Divergenz-Operator vertauscht mit räumlichen Drehungen und Verschiebungen eines Vektorfeldes, d.h. die Reihenfolge dieser Operationen macht keinen Unterschied.

Begründung: Wenn das Vektorfeld \vec{F} im Raum gedreht oder (parallel)verschoben wird, braucht man in der oben gegebenen koordinatenunabhängigen Darstellung nur die Flächen- und Volumenelemente in derselben Weise zu drehen, um wieder auf denselben skalaren Ausdruck zu kommen. Das Skalarfeld \operatorname{div}\,\vec F dreht und verschiebt sich also in gleicher Weise wie das Vektorfeld \vec{F}.

Ein „Zerlegungs-Theorem“[Bearbeiten]

Für n=3-dimensionale Vektorfelder \vec{F}(\vec{r}), die im ganzen Raum mindestens zweimal stetig differenzierbar sind und im Unendlichen hinreichend rasch gegen Null gehen, gilt, dass sie in einen wirbelfreien Teil \vec{E} und einen quellenfreien Teil \vec{B} zerfallen, \vec{F} = \vec{E} + \vec{B}. Für den wirbelfreien Teil gilt, dass er durch seine Quellendichte wie folgt dargestellt werden kann:

\vec{E}(\vec{r}) = -\nabla \Phi(\vec{r}), mit
\Phi (\vec{r}) = \int_{\mathbb R^3}\,\mathrm{d}^{(3)}r'\,\,\frac{\mathrm{div}\,\vec{E}(\vec r')}{4\pi|\vec{r} -\vec r'|}.

Für den quellenfreien Teil, \vec{B}(\vec{r}), gilt analoges, wenn man das skalare Potential \Phi durch ein sog. Vektorpotential \vec{A} ersetzt und zugleich die Ausdrücke -\nabla\,\Phi bzw. \operatorname{div}\,\vec{E} (=Quellendichte von \vec{E}) durch die Operationen \nabla \times\,\vec A bzw. \nabla\times\vec B (=Wirbeldichte von \vec{B}) substituiert.

Dieses Verfahren ist Bestandteil des Helmholtz-Theorems.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Im n-dimensionalen Raum[Bearbeiten]

Sei c \in \R eine Konstante, \Omega \subset \R^n eine offene Teilmenge, u \colon \Omega \to \R ein skalares Feld und \vec{F}, \vec{G} \colon \Omega \to \R^n zwei Vektorfelder. Dann gelten folgende Regeln:

  • Die Divergenz ist linear, das heißt, es gilt
\operatorname{div}\,(c\cdot\vec{F}) = c\cdot\operatorname{div}\,\vec{F} und
\operatorname{div}\,(\vec{F}+\vec{G}) = \operatorname{div}\,\vec{F} + \operatorname{div}\,\vec{G}.
  • Für die Divergenz gilt die Produktregel
\operatorname{div}\,(u\cdot\vec{F}) = \left\langle\operatorname{grad}\,u,\vec{F}\right\rangle +u\cdot\operatorname{div}\,\vec{F}.
  • Die Divergenz des Vektorfeldes F entspricht der Spur der Jacobimatrix D(F) von F, das heißt es gilt
    \operatorname{div}\,F = \operatorname{Spur}(D(F)).
    Diese Darstellung ist koordinateninvariant, da die Spur einer linearen Abbildung invariant gegenüber einem Basiswechsel ist.

Im dreidimensionalen Raum[Bearbeiten]

Ist n = 3, so gibt es auch eine Produktregel für das Kreuzprodukt \times, diese lautet

\operatorname{div}(\vec{F}\times\vec{G}) = \left\langle\vec{G},\operatorname{rot}\,\vec{F}\right\rangle - \left\langle\vec{F},\operatorname{rot}\,\vec{G}\right\rangle,

wobei mit \operatorname{rot} die Rotation gemeint ist. Wegen \operatorname{rot}(\operatorname{grad} (f)) = 0 für alle differenzierbaren f folgt daraus

\operatorname{div}(\operatorname{grad}f_1\times\operatorname{grad}f_2) = 0

für beliebige differenzierbare  f_1,\,f_2.

Beispiele[Bearbeiten]

In kartesischen Koordinaten findet man unmittelbar


   \operatorname{div}\,\vec r = \operatorname{div}\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right) = 3

Für das Coulomb-Feld findet man, wenn in der ersten Produktregel  u \!\, = 1/r^3,    \operatorname{grad}\,u = -3\vec{e}_r/r^4 und \vec F = \vec r gesetzt wird


  \operatorname{div} \, \frac{\vec{e}_r}{r^2} =  \operatorname{div} \, \frac{\vec r}{r^3}
                                              = -\frac{3\vec{e}_r}{r^4} \cdot \vec{r} + \frac3{r^3} = 0
  \qquad \vec{r} \neq 0

Mit der Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten ist dieses Ergebnis natürlich noch einfacher zu erhalten.

Nach dem Korollar sind Felder des folgenden Typs quellenfrei:


  \frac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3} \quad \vec m = \text{const}~~~~~~~~~~~~~
  \vec{r}\times\operatorname{grad}\,Y_{lm}(\vartheta,\varphi)

Gaußscher Integralsatz[Bearbeiten]

Hauptartikel: Gaußscher Integralsatz

Aussage[Bearbeiten]

Eine wichtige Rolle spielt die Divergenz in der Aussage des Gaußschen Integralsatzes. Er besagt, dass der Durchfluss durch eine geschlossene Oberfläche gleich dem Integral über die Divergenz des Vektorfeldes im Inneren dieses Volumens ist, und erlaubt damit die Umwandlung eines Volumenintegrals in ein Oberflächenintegral:

 \iiint\limits_V \operatorname{div} \vec F\; \mathrm{d}V = \iint\limits_{\partial V} \vec F\;\cdot\vec n\,\mathrm{d}S\,,

wobei \vec{n} der Normalenvektor der Oberfläche \partial V ist. Anschaulich beschreibt er damit für den Fall einer Strömung den Zusammenhang zwischen dem Durchfluss durch diese Fläche und den Strömungsquellen und Senken innerhalb des zugehörigen Volumens.

Punktförmige Quelle[Bearbeiten]

Setzt man im Gaußschen Integralsatz das coulombartige Feld \vec F_C = \vec{e}_r/r^2 ein und wählt man als Integrationsfläche  \partial V eine Kugelfläche mit Radius r\!\, um den Ursprung, so ist  \vec n = \vec{e}_r und der Integrand wird konstant gleich 1/\!\,r^2. Weil die Oberfläche der Kugel 4\pi \!\, r^2 ist, folgt


  \iint\limits_{\partial K} \vec F_C \cdot \vec n\,\mathrm{d}S
 = \frac{1}{r^2} \iint\limits_{\partial K} \mathrm{d}S
 = 4\pi

Somit liefert der Integralsatz eine Information über \operatorname{div}\,\vec F_C, die im Gegensatz zu den Ableitungsausdrücken (Produktregel oder Kugelkoordinaten) auch den Punkt \vec r = 0 einschließt: Das Volumenintegral von \operatorname{div}\,\vec F_C ist  4 \pi. Dies lässt sich mit dem Ergebnis der Ableitungsrechnung zu einer Distributionsgleichung zusammenfassen:


   \operatorname{div}\,\frac{\vec{e}_r}{r^2} = 4\pi \delta(\vec{r})

Zylinder- und Kugelkoordinaten[Bearbeiten]

In Zylinderkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes \vec{F}(\rho,\varphi,z):

\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 \rho \frac \partial {\partial \rho} (\rho F_\rho) + \frac 1 \rho \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

In Kugelkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes \vec{F}(r, \theta,\varphi):

\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 {r^2} \frac \partial {\partial r} (r^2 F_r) + \frac 1 {r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} ( F_\theta \sin \theta) + \frac 1{r \sin \theta } \frac {\partial F_\varphi}{\partial \varphi}

Herleitung für Kugelkoordinaten, die das Differenzieren von Basisvektoren umgeht: Man führt eine Testfunktion g ein und schreibt ein Volumenintegral einmal in kartesischen und einmal in Kugelkoordinaten. Mit bekannten Ausdrücken für Gradient und Volumenelement ergibt das nach Ausmultiplizieren der Basisvektoren


  \int \vec{F}\cdot\operatorname{grad}\,g \, \mathrm{d}V = 
   \int \left(F_x \frac{\partial g}{\partial x} + F_y \frac{\partial g}{\partial y} + F_z \frac{\partial g}{\partial z}\right)
  \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = 
  \int \left( F_r \frac{\partial g}{\partial r} + \frac{F_\theta }{r}\,\frac{\partial g}{\partial\theta}
   +  \frac{F_\varphi}{r\sin\theta}\,\frac{\partial g}{\partial\varphi}\right) r^2 \mathrm{d}r \, \sin\theta \, \mathrm{d}\theta
   \, \mathrm{d}\varphi

Die Ableitungen von  g werden partiell integriert, wobei Randterme verschwinden. Auf der rechten Seite muss das Volumenelement mitdifferenziert und danach in zwei Termen wiederhergestellt werden (Erweitern). Das ergibt


  \int g \, \left( \operatorname{div}\,\vec{F}\right)_\mathrm{kartesisch}  \mathrm{d}V
 =  \int g \, \left( \operatorname{div}\,\vec{F}\right)_\mathrm{Kugelkoordinaten} \mathrm{d}V

Aus der Gleichheit der Integrale für alle Testfunktionen folgt, dass die Ausdrücke für die Divergenz gleich sind.

Inverse[Bearbeiten]

Unter gewissen Voraussetzungen existiert eine Rechts- oder Linksinverse der Divergenz. So gibt es für ein offenes und beschränktes Gebiet \Omega\subset\R^n mit lipschitzstetigem Rand einen Operator B \colon W^{m,p}(\Omega) \rightarrow W^{m,p}(\Omega), so dass für jedes f\in W^{m,p}(\Omega) mit \textstyle \int_\Omega f \,\mathrm d\lambda=0

\operatorname{div}(Bf)=f

gilt, wobei W^{m,p}(\Omega) den entsprechenden Sobolew-Raum für m\in\N und 1<p<\infty bezeichnet. B heißt Bogowskii-Operator.[1]

Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten]

Im Abschnitt Eigenschaften wurde bereits gesagt, dass die Divergenz mit Hilfe der Spur von der Jacobimatrix ausgedrückt werden kann und dass diese Darstellung koordinateninvariant ist. Aus diesem Grund verwendet man diese Eigenschaft, um die Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten zu definieren. Mit Hilfe dieser Definition kann man zum Beispiel den Laplace-Operator auf riemannschen Mannigfaltigkeiten koordinatenfrei definieren. Dieser heißt dann Laplace-Beltrami-Operator.

Definition[Bearbeiten]

Sei M eine riemannsche Mannigfaltigkeit und F \colon M \to \Gamma(TM) ein C^k-Vektorfeld mit k \geq 1. Dann ist die Divergenz durch

\operatorname{div}(F) := \operatorname{Spur}(\xi \mapsto \nabla_\xi F)

definiert. Dabei ist \xi \in \Gamma(TM) ein Vektorfeld und der Operator \nabla ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der den Nabla-Operator verallgemeinert. Wertet man \nabla_\xi F an p \in M aus, so ist \xi|_p \mapsto \nabla_{\xi|_p} F|_p \in \operatorname{End}(T_pM) und man kann für alle p die aus der linearen Algebra bekannte Spur bilden.[2]

Transportsatz und geometrische Interpretation[Bearbeiten]

Für den Fluss \varphi \colon U\subseteq \R\times M\to M,\;(t,x)\mapsto\varphi_t(x) eines Vektorfeldes F gilt der Transportsatz[3]


 \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int_{\varphi_t(\Omega)} \varrho(t,x) \mathrm d\lambda(x)
= \int_{\varphi_t(\Omega)} (\partial_t\varrho(t,x) + \operatorname{div}(\varrho(t,x)F(x))) \mathrm d\lambda(x).

Dabei ist \lambda das Riemann-Lebesguesche Volumenmaß auf der Mannigfaltigkeit, \Omega eine relativ kompakte messbare Teilmenge und \varrho eine glatte Funktion. Interpretiert man \varrho als Dichte einer Erhaltungsgröße, dann folgt daraus die Kontinuitätsgleichung. Für \varrho=1 erhält man


 \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lambda(\varphi_t(\Omega))=\int_{\varphi_t(\Omega)}\operatorname{div} F(x) d\lambda(x).

Die Divergenz ist also die Dichte der Volumenänderungsrate bezüglich des Flusses. Die Divergenz in einem Punkt gibt an, wie schnell sich der Inhalt eines infinitesimalen Volumenelements in diesem Punkt ändert, wenn es sich mit dem Fluss bewegt. Als Folgerung ergibt sich, dass ein Vektorfeld genau dann divergenzfrei ist, wenn der erzeugte Fluss volumenerhaltend ist.

Literatur[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  1. G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 38, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0-387-94172-X
  2. Isaac Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press, 1984, 2. Ausgabe ISBN 978-0-12-170640-1, Seite 3.
  3.  Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 2. Auflage. Birkhäuser, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, S. 438, DNB 98833030X (Kapitel XII).

Weblinks[Bearbeiten]