Division (Mathematik)

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20: 4=5

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehroperation der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Stift und Papier. Sie wird im Schulunterricht der Grundschule gelehrt und noch einmal in Schulbüchern für die 5. Klasse[1] dargestellt, wird aber nach Einführung elektronischer Hilfsmittel von Lernenden kaum noch angewandt. Rechenzeichen für die Division sind die Geteiltzeichen „:“, „÷“ bzw. „/“.

Definition[Bearbeiten]

Teilen oder dividieren bedeutet: Zu einer gegebenen Zahl b (dem ersten Faktor) eine passende Zahl x (den zweiten Faktor) zu finden, sodass die Multiplikation ein gewünschtes Produkt a ergibt:

  • Finde zu gegebenem a und b ein x so, dass b \cdot x = a.

Beschränkt man sich auf natürliche oder auf ganze Zahlen, so ist dies nicht immer möglich (siehe Teilbarkeit).

In Körpern, zum Beispiel im Körper der rationalen Zahlen oder in den Körpern der reellen sowie der komplexen Zahlen, gilt dagegen:

Für jede Zahl a und für jede von Null verschiedene Zahl b gibt es genau eine Zahl x, die die Gleichung  b\cdot x = a erfüllt.

Division ist also die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung dieses x. Man schreibt

x = a : b\,   (gelesen: „x gleich a geteilt durch b“ oder kurz „x gleich a durch b“ oder auch „x gleich a dividiert durch b“).
Division.png

Dabei heißen:

Die Zahl a, die geteilt wird, „Dividend“ (lateinisch das zu Teilende), in der Bruchrechnung auch „Zähler“.
Die Zahl b, durch die geteilt wird, „Divisor“ (der, der teilt), in der Bruchrechnung auch „Nenner“.
Der Term a:b heißt „Quotient“.
Das Ergebnis der Division heißt „Wert des Quotienten“ oder Quotientenwert, häufig kurz auch Quotient.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz. Allerdings lässt sie sich auf die Multiplikation zurückführen, denn es gilt

a:b = a  \cdot \tfrac{1}{b}.

Es kann also von Vorteil sein, die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert zu schreiben, da die Multiplikation sowohl assoziativ als auch kommutativ ist und somit ein leichteres und weniger fehleranfälliges Umformen erlaubt. Für die Division gilt allerdings mit der Addition und der Subtraktion das zweite Distributivgesetz, das heißt

(a + b) : c = a:c + b:c

und

(a - b) : c = a:c - b:c.

Man spricht hier auch von der Rechtsdistributivität der Division. Das erste Distributivgesetz (Linksdistributivität) ist jedoch mit der Addition und der Subtraktion im Allgemeinen nicht erfüllt.

Division durch null[Bearbeiten]

Beispiel[Bearbeiten]

Beispiel aus einer Konditorei:

Wenn man einen Kuchen zwischen null Personen aufteilen möchte, wie viele Stücke Kuchen bekommt dann jede Person?

Es ist nicht möglich, die Frage zu beantworten, da niemand da ist, der die Kuchen bekommen könnte. Übersetzt man diese Frage in die Sprache der Mathematik und abstrahiert von allen möglichen außermathematischen Bedeutungen, wird aus der anschaulichen Frage „Wie verteile ich etwas auf 0 Plätze ?“ das rein mathematische Problem „Wie dividiere ich durch 0?“.

Mathematischer Beweis[Bearbeiten]

Der Quotient a: b ist Lösung der Gleichung b \cdot x = a, also  x = a: b. Wollte man durch 0 dividieren, müsste b = 0 sein.

Fall 1 :  a = b = 0 : Die Gleichung 0 \cdot x = 0 wird für alle Einsetzungen von Zahlen bei x in eine wahre Aussage überführt, hat also unendlich viele Lösungen. Damit ist aber der Bruch \tfrac{0}{0} nicht eindeutig definiert und ist daher unbestimmt.
Fall 2 :  b = 0, a \neq 0 : Die Gleichung 0 \cdot x = a hat überhaupt keine Lösung.

Da also der Quotient a:0 entweder gar keine (für a \neq 0) oder mehr als eine Lösung (für a = 0) hat, sagt man in der Mathematik:

„Die Division durch null kann nicht definiert werden.“

Ist ¹⁄₀ = ∞?[Bearbeiten]

Graph der Funktion \tfrac{1}{x}.

Einige Menschen haben die Intuition, dass die Lösung der Division durch null unendlich sein müsse, da erfahrungsgemäß der einzelne immer mehr bekommt, je weniger da sind, mit denen er sich etwas teilen muss. Wenden wir diese Vorstellung des Verteilens auch auf positive Größen an, die kleiner als 1 werden können. Zum Beispiel auf das Verteilen von 1 Liter Wasser in quader- oder zylinderförmige Gefäße mit immer kleinerer Grundfläche, dann wird die Wassersäule desto höher, je kleiner die Grundfläche wird. Tatsächlich gibt es in der Mathematik die Methode des Grenzwertes, mit der ein sinnvolles Ergebnis für eine nicht direkt berechenbare Aufgabe ermittelt werden kann. Wendet man diese Methode auf zum Beispiel \tfrac{1}{x} an, so strebt das Ergebnis tatsächlich gegen unendlich. Allerdings nur, wenn man sich der Null von der positiven Seite aus nähert. Nähert man sich der Null aus Richtung der negativen Zahlen an, passiert das genaue Gegenteil und der Wert der Funktion strebt gegen -\infty. Somit strebt die Funktion an der Stelle x=0 sowohl gegen +\infty als auch gegen -\infty, hat also keinen eindeutigen Grenzwert. Auch dies zeigt, dass es nicht sinnvoll möglich ist, \tfrac{1}{0} zu definieren. Allerdings sei einschränkend gesagt, dass dies nur gilt, solange man sich im Bereich der reellen Zahlen bewegt – für die komplexen Zahlen ist für gewöhnlich nur eine Unendlichkeit definiert.

Division durch null im Computer[Bearbeiten]

In elektronischen Rechnersystemen erzeugt eine Division durch null meist \pm\infty (bzw. NaN im Falle von 0/0), einen Laufzeitfehler oder wird anderweitig mit einer Ausnahmebehandlung abgefangen, da ein Weiterrechnen mit einem undefinierten Zwischenergebnis nicht sinnvoll wäre. Bei unachtsamer Programmierung können Divisionen durch null zu Fehlverhalten im laufenden Programm führen und in seltenen Fällen (zum Beispiel bei Auftreten im Kernel) sogar den gesamten Rechner zum Absturz bringen.

Division mit Rest[Bearbeiten]

Im Bereich der ganzen Zahlen gilt: Eine Division ist nur dann gänzlich durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Im Allgemeinen ist die Division hingegen nicht vollständig durchführbar, das heißt es bleibt ein Rest übrig.

Hauptartikel: Division mit Rest

Schreibweisen[Bearbeiten]

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division:

a: b oder a \div b oder a / b oder \frac{a}{b} oder a \cdot b^{-1}.

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646–1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein.

Die vorletzt erwähnte Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter „Verallgemeinerung“ erwähnt werden.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. zum Beispiel: Lambacher, Schweizer: Mathematik für Gymnasien 5. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 2006, ISBN 3-12-734551-8, S. 65–67.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Division (mathematics) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wikibooks: Mathematik: Schulmathematik: Division – Lern- und Lehrmaterialien
 Wiktionary: Division – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen