Dodekaederstern

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Dodekaederstern

Der Dodekaederstern (auch Kleines Sterndodekaeder genannt) ist ein reguläres Polyeder und gehört zu den Keplerschen Sternkörpern; es wird von 60 gleichschenkligen Dreiecken[1] begrenzt. Der Sternkörper zeichnet sich durch die Gleichheit sämtlicher Flächenwinkel – sowohl innen als auch außen – von 116,57° aus.

Entstehung & Eigenschaften[Bearbeiten]

Werden sämtliche Kanten eines Pentagondodekaeders[2] über seine Ecken hinaus verlängert, bis sich jeweils fünf von ihnen in einem Punkt schneiden, so entsteht ein Dodekaederstern, den man sich als Dodekaeder mit zwölf aufgesetzten Pyramiden vorstellen kann. Die Zacken des Dodekaedersterns bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen Ikosaeders mit der Seitenlänge v = \frac{a}{2} \left(3 + \sqrt{5} \right) = a + s.

Der Dodekaederstern ist der umschriebene Körper von zwölf sich gegenseitig schneidenden Pentagrammen, die koinzident mit den Begrenzungsflächen eines Dodekaeders sind. Im Inneren des Dodekaedersterns befinden sich 20 gleichseitige Dreiecke, Schnittflächen, deren Seitenlänge gleich der der Pentagrammdiagonale ist, und die ein Großes Ikosaeder aufspannen.

Formeln[Bearbeiten]

Größen eines Dodekaedersterns mit Kantenlänge a[2]
Volumen V = \frac{5}{4} a^3 \left(7 + 3 \sqrt{5} \right)
Oberflächeninhalt O = 15a^2 \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}
Umkugelradius R = \frac{a}{4} \sqrt{50 + 22\sqrt{5}}
Pyramidenhöhe k = \frac{a}{5} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}
Gratlänge s = \frac{a}{2} \left(1 + \sqrt{5} \right)
Pentagrammdiagonale c = a \left(2 + \sqrt{5} \right) = a +2s
Flächenwinkel
 ≈ 116° 33' 54"
 \cos \, \alpha = -\frac{1}{5} \sqrt{5}

Skulptur in Form eines Dodekaedersterns[Bearbeiten]

Skulptur Dodeakederstern am Oskar-Morgenstern-Platz 1, 1090 Wien

Anlässlich der Adaptierung des früher von der Pensionsversicherungsanstalt genutzten Gebäudes am Oskar-Morgenstern-Platz 1 in Wien-Alsergrund für die Fakultäten der Mathematik und der Wirtschaftswissenschaften der Universität Wien, wurde die Skulptur Dodekaederstern angebracht.[3]

Nach einer Idee und dem Entwurf von Herwig Hauser von der Fakultät für Mathematik wurden die zwanzig Einzelteile der Sternskulptur aus Glasfaserverbundwerkstoff (GFK) gefertigt. Die einzelnen Segmente der selbsttragenden GFK-Struktur sind über Flansche miteinander verschraubt. Die Zugseile für die Aufhängung sind mit einem innenliegenden Stahlgerüst verbunden.

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Die Seiten des Dreiecks seien mit a (Grundseite) und s (Schenkel) bezeichnet.
  2. a b Die Kantenlänge des einbeschriebenen Dodekaeders sei mit a bezeichnet.
  3. http://www.dodekaederstern.cc

Weblinks[Bearbeiten]