Doob-Dynkin-Lemma

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Das Doob-Dynkin-Lemma ist eine nach den Mathematikern Joseph L. Doob und Eugene Dynkin benannte Aussage aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, die eine funktionale Beziehung zwischen zwei Zufallsgrößen herstellt.

Seien X und Y zwei Abbildungen \Omega \rightarrow \R^n. In Anwendungen ist \Omega in der Regel ein Wahrscheinlichkeitsraum und X und Y sind darauf definierte Zufallsgrößen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie stellt sich die Frage, wann man Y bereits aus X berechnen kann, das heißt, wann es eine Borel-messbare Funktion h:\R^n \rightarrow \R^n gibt, so dass Y=h\circ X.

Ist nun \mathcal A eine σ-Algebra auf \Omega und ist X \mathcal A-messbar, so ergibt sich als notwendige Bedingung für die Existenz einer messbaren Funktion h:\R^n \rightarrow \R^n mit Y=h\circ X, dass auch Y \mathcal A-messbar sein muss, denn die Verkettung messbarer Funktionen ist wieder messbar. Diese Bedingung ist am stärksten, wenn man \mathcal A so klein wie möglich wählt, das heißt wenn

\mathcal A = \sigma(X) := \{X^{-1}(B);\, B\subset \R^n\, {\rm Borelmenge} \},

die sogenannte von X erzeugte σ-Algebra ist. Dass diese Bedingung dann sogar hinreichend ist, besagt gerade das

Doob-Dynkin-Lemma: Für zwei Abbildungen X,Y: \Omega \rightarrow \R^n sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Es gibt eine Borel-messbare Funktion h:\R^n \rightarrow \R^n mit Y=h\circ X.
  2. Y ist \sigma(X)-messbar.

Dadurch wird verständlich, dass man σ-Algebren als Träger wahrscheinlichkeitstheoretischer Informationen ansieht. Ist Y bezüglich der von X erzeugten σ-Algebra messbar, so kann Y keine Information enthalten, die nicht bereits in X steckt, wie durch die erste Aussage präzisiert wird.

Quellen[Bearbeiten]

  • A. Bobrowski: Functional analysis for probability and stochastic processes: an introduction, Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0
  • M. M. Rao, R. J. Swift : Probability Theory with Applications, Mathematics and Its Applications, Band 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7