Doppelpendel

Schematische Zeichnung eines Doppelpendels

Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen. An den Arm eines Pendels wird ein weiteres Pendel gehängt.

Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster, welches exponentiell auf Störungen reagiert. Das Verhalten ergibt sich aus der nichtlinearen Dynamik, welche elliptische und hyperbolische Fixpunkte besitzt.

Anschaulich ist in bestimmten Zuständen (Phasenraumpositionen) eine geringe Änderung ausschlaggebend für die unmittelbare weitere Entwicklung.

Herleitung der Bewegungsgleichungen

Mit Hilfe des Lagrange-Formalismus

$L = T - V$

mit

$T = \frac{1}{2} \left( (m_1+m_2) {l_1}^{2} \dot{\varphi}_{1}^{2} + 2 m_2 l_1 l_2 \cos\left( \varphi_1-\varphi_2 \right) \dot{\varphi}_{1} \dot{\varphi}_{2} + m_2 {l_2}^{2} \dot{\varphi}_{2}^{2} \right)$

und

$V = -g \left( (m_1 + m_2) l_1 \cos\left(\varphi_1\right) + m_2 l_2 \cos\left(\varphi_2\right)\right)$

Hierbei ist $T$ die Kinetische Energie der beiden Pendelmassen. $V$ beschreibt die Potentielle Energie der Pendelmassen im konstanten Gravitationsfeld. Der Punkt auf den Winkeln stellt deren zeitliche Ableitung dar. Die Zustandsgrößen und Variablen mit Index 1 repräsentieren das innere Pendel des Doppelpendels und jene mit Index 2 repräsentieren entsprechend das äußere Pendel.

Aus den Lagrange-Gleichungen ergeben sich für die Winkel $\varphi_1$ und $\varphi_2$ die Bewegungsgleichungen zu

$\left(m_{1}+m_{2}\right)l_{1}\ddot{\varphi}_{1}+m_{2}l_{2}\ddot{\varphi}_{2}\cos\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+m_{2}l_{2}\dot{\varphi}_{2}^{2}\sin\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+g\left(m_{1}+m_{2}\right)\sin\varphi_{1}=0$

und

$m_{2}l_{2}\ddot{\varphi}_{2}+m_{2}l_{1}\ddot{\varphi}_{1}\cos\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)-m_{2}l_{1}\dot{\varphi}_{1}^{2}\sin\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+gm_{2}\sin\varphi_{2}=0$

Wobei $l_1$ und $l_2$ die Längen der (masselosen) Verbindungsstangen, $m_1$ und $m_2$ die Pendelmassen und $g$ die Erdbeschleunigung ist. In den Bewegungsgleichungen treten Winkelfunktionen der Zustandsgrößen auf. Es handelt sich also um ein nichtlineares System. Im Spezialfall kleiner Auslenkungen lassen sich die Bewegungsgleichungen allerdings mittels der Kleinwinkelnäherung vereinfachen. Dann lassen sich beispielsweise weitere Spezialfälle wie $m_1 \ll m_2$ oder $m_1 \gg m_2$ betrachten, die eine näherungsweise harmonische Lösung besitzen.

Lösung der Bewegungsgleichungen

Trajektorie eines idealisierten Doppelpendels

Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten ${\varphi_{1}}$ und ${\varphi_{2}}$ stellen ein nichtlineares System von zwei Differentialgleichungen dar, welches analytisch nicht lösbar ist. Es kann bei vier bekannten Anfangswerten mit numerischen Verfahren gelöst werden.

Mittels Trigonometrie können die Winkel ${\varphi_{1}}$ und ${\varphi_{2}}$ in die kartesischen Koordinaten $(x_1, y_1, x_2, y_2)$ der Massenpunkte überführt werden.

Siehe auch

• Magnetisches Pendel
• Multipendel
• KAM-Theorem

Weblinks

• Java-Doppelpendel (Englisch)
• Doppelpendel-Simulation in Java und Python (Deutsch)
• Doppelpendel - Grenzen der Simulation zeigt, dass die Bewegung stets nur für eine kurze Zeitspanne simuliert werden kann
• Herleitung der Differentialgleichungen zur Beschreibung des Doppelpendels (Englisch)