Doppelt-stochastische Matrix

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In der Mathematik bezeichnet eine doppelt-stochastische Matrix (manchmal auch doppelt-stochastische Übergangsmatrix) eine quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und deren Elemente zwischen null und eins liegen.

Charakterisierungen[Bearbeiten]

Die folgenden Charakterisierungen doppelt-stochastischer Matrizen sind äquivalent:

  • Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und alle Elemente der Matrix zwischen null und eins liegen.
  • Eine Matrix M ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn sowohl M als auch die transponierte Matrix M^T Übergangsmatrizen sind.
  • Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und alle Elemente der Matrix nicht negativ sind.

Eigenwerte und Eigenvektoren[Bearbeiten]

Wie alle Übergangsmatrizen besitzen auch doppelt-stochastische Matrizen als betragsgrößten Eigenwert den Eigenwert 1. Da jede doppelt-stochastische Matrix sowohl zeilen- als auch spaltenstochastisch ist, ist der Einsvektor \mathbf{1} (welcher nur Einsen als Einträge hat) sowohl Links- als auch Rechtseigenvektor jeder doppelt-stochastischen Matrix. Ist nun die Matrix A doppelt stochastisch und noch zusätzlich entweder irreduzibel oder echt positiv (vgl. Satz von Perron-Frobenius), so ist die einzige stationäre Verteilung der Markow-Kette, die durch A charakterisiert wird, die Gleichverteilung, also der Wahrscheinlichkeitsvektor  \tfrac{1}{n}\mathbf{1}.

Satz von Birkhoff und von Neumann[Bearbeiten]

Für eine n \times n-Matrix gilt, dass sie genau dann doppelt-stochastisch ist, wenn sie eine Konvexkombination von Permutationsmatrizen ist.

Zusatz: Die Permutationsmatrizen sind die Extremalpunkte der Menge der doppelt-stochastischen Matrizen.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]