Doppelverhältnis

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Beispiele von Doppelverhältnissen
(\lambda_S=(A,B;S), \lambda_T=(A,B;T) sind die zugehörigen Teilverhältnisse)
Das 3. Beispiel zeigt 4 harmonisch liegende Punkte (s.u.).

Das Doppelverhältnis ist in der Geometrie im einfachsten Fall das Verhältnis zweier Teilverhältnisse. Wird z.B. die Strecke \left[ AB \right] der Anschauungsebene (affine Ebene) sowohl durch einen Punkt S als auch durch einen Punkt T in jeweils zwei Teilstrecken \left[ AS \right] und \left[ SB \right] bzw. \left[ AT \right] und \left[ TB \right] (s. erstes Beispiel) geteilt, so ist das Verhältnis \tfrac{|AS|}{|SB|}:\tfrac{|AT|}{|TB|} das (affine) Doppelverhältnis, in dem die Teilpunkte S,T die gegebene Strecke \left[ AB \right] teilen. Die große Bedeutung erhält das Doppelverhältnis als Invariante bei Zentralprojektionen. Denn, bei Parallelprojektion bleibt das anschaulichere Teilverhältnis invariant, aber nicht bei Zentralprojektionen. Ein weiterer Schritt der Verallgemeinerung führt zur Definition des Doppelverhältnisses für Punkte einer projektiven Gerade (d.i. eine affine Gerade, der ein Fernpunkt hinzugefügt wird).

Eine besondere Rolle spielt das Doppelverhältnis -1. In diesem Fall spricht man von einer harmonischen Teilung der Strecke \left[ AB \right] durch das Punktepaar S,T oder, dass A,B,S,T harmonisch liegen (s.u.).

Während man das Teilverhältnis dreier Punkte noch gut an der Lage der Punkte abschätzen kann, ist dies für das Doppelverhältnis fast unmöglich. Das Doppelverhältnis hat in der analytischen und projektiven Geometrie hauptsächlich theoretische Bedeutung [1]. In der darstellenden Geometrie allerdings wird es (ohne Rechnung) zur Rekonstruktion ebener Figuren verwendet. (siehe: [2].)

Affines Doppelverhältnis[Bearbeiten]

Für vier Punkte A,B,S,T einer Gerade g: \vec x=\vec u + x\vec v der reellen Koordinatenebene seien  a,b,s,t die Parameter bezüglich der Parameterdarstellung der Gerade g. Dann heißt das Verhältnis der Teilverhältnisse (A,B;S),(A,B;T)

  •  (A,B;S,T)_a:=(A,B;S):(A,B;T)=\frac{s-a}{b-s}:\frac{t-a}{b-t}

das affine Doppelverhältnis der Punkte A,B,S,T.

Haben A,B die Parameter a=0, b=1, so ist (A,B;S,T)_a=\tfrac{s}{1-s}:\tfrac{t}{1-t}=\tfrac{s}{t}\tfrac{1-t}{1-s}.

Beispiele:

  1. Für s=1/3, t=3/4 ist das Doppelverhältnis (A,B;S,T)=1/6 (siehe Bild).
  2. Liegen beide Teilpunkte S,T zwischen A,B (innere Teilungen) oder beide außerhalb, so ist das Doppelverhältnis positiv, in den anderen Fällen (ein Teilpunkt innen, der andere außen) ist das Doppelverhältnis negativ.

Doppelverhältnis[Bearbeiten]

Das "normale" Doppelverhältnis wird für vier Punkte auf einer projektiven Gerade erklärt.

Projektive Gerade[Bearbeiten]

Eine projektive Gerade g kann man sich als 2-dimensionalen Vektorraum W (oder Untervektorraum, falls die Gerade in einen projektiven Raum eingebettet ist) vorstellen. Sind \vec u, \vec v zwei Basisvektoren von W, so besteht die zugehörige projektive Gerade aus den 1-dimensionalen Unterräumen

projektive Gerade: homogene (oben) und inhomogene (unten) Koordinaten
  • <x\vec u+y\vec v>, \ (x,y)\ne (0,0)

von W (Zur Bezeichnung: siehe [3]). (x,y) sind die zugehörigen homogenen Koordinaten [4]. Den Punkt <\vec u> (er hat die homogenen Koordinaten (1,0)) kann man sich als Fernpunkt \infty der affinen Gerade <x\vec u+\vec v> mit den homogenen Koordinaten (x,1) vorstellen.

Das Doppelverhältnis[Bearbeiten]

Für vier Punkte A,B,S,T einer projektiven Gerade  g: \;<x\vec u+y\vec v> mit den zugehörigen homogenen Koordinaten (a_1,a_2),(b_1,b_2),(s_1,s_2),(t_1,t_2) heißt

  • (A,B;S,T):= \frac{\begin{vmatrix}
 s_1 & a_1\\
 s_2 & a_2
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
 b_1 & s_1\\
 b_2 & s_2
\end{vmatrix}}:\frac{\begin{vmatrix}
 t_1 & a_1\\
 t_2 & a_2
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
 b_1 & t_1\\
 b_2 & t_2
\end{vmatrix}}=
\frac{s_1a_2-s_2a_1}{b_1s_2-b_2s_1}:\frac{t_1a_2-t_2a_1}{b_1t_2-b_2t_1}

das Doppelverhältnis von A,B,S,T.

Eigenschaften des Doppelverhältnisses:

  1. (B,A;S,T)=\tfrac{1}{(A,B;S,T)} (Vertauschen von A,B),
  2. (A,B;T,S)=\tfrac{1}{(A,B;S,T)} (Vertauschen von S,T),
  3. (B,A;T,S)=(A,B;S,T)\ ,
  4. (S,T;A,B)=(A,B;S,T)\ .
  5. Das Doppelverhältnis ist gegenüber einem Basiswechsel invariant. (Siehe Regeln für Determinanten.)
  6. Sind die vier Punkte vom Fernpunkt \infty verschieden, lassen sie sich mit homogenen Koordinaten so beschreiben, dass a_2=b_2=s_2=t_2=1 ist. In diesem Fall ergibt sich das (affine) Doppelverhältnis (s.o.)
(A,B;S,T)=\tfrac{s_1-a_1}{b_1-s_1}:\tfrac{t_1-a_1}{b_1-t_1} \ .

Durch eine geeignete Koordinatentransformation lässt sich immer erreichen, dass

A=<\vec u>, B=<\vec v>, S=<\vec u + \vec v>, T=<x\vec u + \vec v> ist. In diesem Fall gilt (A,B;S,T)= x \ .

Harmonische Punktepaare[Bearbeiten]

Die Punkte A=<\vec u>, B=<\vec v>, S=<\vec u + \vec v>, T=<\vec u - \vec v> haben das Doppelverhältnis -1\ .
(Man beachte: <\vec u - \vec v>=<-\vec u + \vec v>.)

  • Vier Punkte A,B,S,T liegen harmonisch, falls ihr Doppelverhältnis (A,B;S,T)=-1 ist. Man nennt T den zu A,B,S vierten harmonischen Punkt.
Harmonische Punktepaare: Doppelverhältnis = -1

Die Bedeutung der harmonischen Lage von vier kollinearen Punkten besteht darin, dass es immer eine involutorische projektive Abbildung der Gerade auf sich gibt, die zwei (der vier Punkte) fest lässt und die beiden anderen vertauscht. In der obigen Darstellung erzeugt die lineare Abbildung, die \vec u fest lässt und  \vec v auf  -\vec v abbildet, eine solche Involution. In inhomogenen Koordinaten bewirkt sie:  \infty \to \infty, x\to -x (Spiegelung am Nullpunkt). D.h.: A,B sind fix und S,T werden vertauscht.

Es gilt allgemein:

  • Der vierte harmonische Punkt dreier affiner Punkte, wobei einer der Mittelpunkt des restlichen Punktepaares ist, ist immer der Fernpunkt \infty (s. Konstruktion des 4. harmonischen Punktes).

Und:

  • Die harmonische Lage von vier Punkten einer projektiven Gerade ist das Analogon zum affinen Begriff Mittelpunkt zweier Punkte.

Weitere harmonische Punktepaare:
Für A=<\vec u>, B=<\vec v>, S(s)=<s\vec u + \vec v>, T(s)=<s\vec u - \vec v> \ , s\ne 0, ist das Doppelverhältnis (A,B;S(s),T(s))=-1.

Es gilt

  • Aus (A,B;S,T)=-1 folgt: (A,B;T,S)=(B,A;S,T)=(S,T;A,B)=-1. D.h. die harmonische Lage hängt nur von den beiden Punktepaaren und nicht von ihrer Anordnung ab.

Konstruktion des 4. harmonischen Punktes[Bearbeiten]

Konstruktion des 4. harmonischen Punktes
Affine Variante der Konstruktion des 4. harmonischen Punktes: Konstruktion des Mittelpunktes M von A,B. (A,B,T sind vorgegeben)

Sind drei Punkte A,B,S auf einer Gerade einer projektiven Ebene gegeben, so lässt sich der 4. harmonische Punkt mit (A,B;S,T)=-1 folgendermaßen konstruieren:

  1. Wähle einen Punkt P_1 nicht auf g.
  2. Zeichne die Geraden AP_1,BP_1, SP_1.
  3. Wähle einen Punkt P_2 auf der Gerade SP_1.
  4. Die Gerade BP_2 schneidet die Gerade AP_1 in einem Punkt P_3. Die Gerade AP_2 schneidet die Gerade BP_1 in einem Punkt P_4.
  5. Die Gerade P_3P_4 schneidet  g im vierten harmonischen Punkt T.

Man beachte: Die Konstruktion findet in einer projektiven Ebene statt, d.h. je zwei Geraden schneiden sich !

Bemerkung:

  1. Wählt man als Punkt P_1 einen Fernpunkt und A,B,S nicht auf der Ferngerade, so sind in der Zeichenebene die Geraden AP_3, SP_2, BP_4 parallel.
  2. Will man S als 4. harmonischen Punkt zu A,B,T konstruieren, so wählt man P_3 frei, P_4 auf der Gerade P_3T und konstruiert P_1,P_2. S ist dann der Schnittpunkt der Gerade P_1P_2 mit g.
  3. Sind A,B,T vorgegeben und P_1,T Fernpunkte, so ergibt sich die im Bild gezeigte affine Konstruktion des Mittelpunktes M zweier Punkte A,B. (A,B,P_3,P_4 bilden ein Parallelogramm !)

Der Beweis der Unabhängigkeit der Konstruktion des 4. harmonischen Punktes von der Wahl der Hilfspunkte ergibt sich in der affinen Variation daraus, dass 1) sich in einem Parallelogramm die Diagonalen halbieren und dass 2) bei Parallelprojektion der Mittelpunkt einer Strecke in den Mittelpunkt der Bildstrecke übergeht. Damit ist M unabhängig von der Wahl der Punkte P_3, P_4.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Da zur Definition des Doppelverhältnisses nur Zahlen und Vektoren verwendet wurden, lässt sie sich wörtlich auf eine projektive Koordinaten-Ebene über einem beliebigen Körper ausdehnen.( Die reellen Zahlen werden als Koordinatenbereich einfach durch einen beliebigen Körper ersetzt.) Die Invarianz des Doppelverhältnisses gilt auch in diesem allgemeinen Fall. Harmonische Punktepaare gibt es allerdings nur im Fall Char\ne 2.

Invarianz des Doppelverhältnisses bei Zentralprojektion

Invarianz des Doppelverhältnisses[Bearbeiten]

In einer projektiven Koordinatenebene über einem Körper sind die projektiven Kollineationen diejenigen Kollineationen, die von linearen Abbildungen erzeugt werden. Da bei geeigneter Koordinatisierung vier kollineare Punkte A,B,C,D immer so beschrieben werden können, dass

A=<\vec u>, B=<\vec v>, C=<\vec u + \vec v>, D=<x\vec u + \vec v>

ist und eine lineare Abbildung den Faktor x invariant lässt, bleibt damit auch das Doppelverhältnis (A,B;C,D)= x invariant.

In der darstellenden Geometrie werden Geraden des Raumes mit einer Zentralprojektion in eine Bildtafel projiziert. Solch eine Zentralprojektion lässt sich zu einer projektive Kollineation des Raumes fortsetzen und projektive Kollineationen lassen das Doppelverhältnis invariant. Also gilt

  • Das Doppelverhältnis bleibt bei einer Zentralprojektion invariant. (s. Bild)

Doppelverhältnis von 4 kopunktalen Geraden[Bearbeiten]

Wegen der Invarianz des Doppelverhältnisses bei Zentralprojektion, lässt es sich auch für vier in einer Ebene liegende kopunktale Geraden erklären [5]:

  • Das Doppelverhältnis von vier kopunktalen Geraden einer Ebene ist das Doppelverhältnis der vier Punkte A,B,C,D einer die 4 Geraden schneidenden Gerade (s. Bild).

Geschichte[Bearbeiten]

Das Doppelverhältnis und seine Invarianz unter Projektivitäten wurde in der Antike von Pappos verwendet[6] und um 1640 von Desargues wiederentdeckt.[7] Es wurde zu einem Standardwerkzeug in der Blüte der projektiven Geometrie im 19.Jahrhundert. Cayley benutzte es 1859 in "Sixth memoir on quantics" zur Definition einer Metrik in der projektiven Geometrie, siehe Hilbert-Metrik. Felix Klein bemerkte 1871 in "Ueber die sogenannte Nicht-Euclidische Geometrie.", dass man auf diese Weise die hyperbolische Metrik der Kreisscheibe erhält, siehe Beltrami-Klein-Modell.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Projektive Geometrie, Kurzskript, Uni Darmstadt (PDF; 180 kB), S. 10.
  2. Darstellende Geometrie für Architekten. (PDF; 1,5 MB). Skript (Uni Darmstadt), S. 133
  3. <\vec w> bezeichnet die Ursprungsgerade mit Richtungsvektor \vec w . Also gilt <r\vec w>=<\vec w>, r\ne0.
  4. Es gilt: (rx,ry), r\ne 0, und (x,y) beschreiben denselben Punkt.
  5. Projektive Geometrie, Kurzskript, Uni Darmstadt (PDF; 180 kB), S. 10.
  6. Proposition 129 in Buch VII von Pappus' Mathematical Collection (ca. 300 v. Chr.)
  7. Abraham Bosse: Mani`ere universelle de Mr Desargues (1648)

Literatur[Bearbeiten]

  • dtv-Atlas zur Mathematik, Band 1, 1978, ISBN 3-423-03007-0, S. 165
  • Rudolf Fucke, Konrad Kirch, Heinz Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 8
  • Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 281