Drehgruppe

Die Drehgruppe im engeren Sinn ist die spezielle orthogonale Gruppe $\mathop{\mathrm{SO}}(n)$ oder auch $\mathop{\mathrm{SO}}(n,\mathbb R)$ aller Drehungen im reellen dreidimensionalen Raum (falls $n=3$) oder in der reellen Ebene (falls $n=2$), in letzterem Fall heißt sie Kreisgruppe. Ihre Elemente sind die Drehmatrizen, also orthogonale Matrizen $A$ mit

$A^{-1} = A^T$

und Determinante Eins.

Daneben wird eine Untergruppe dieser reellen Gruppen als Drehgruppe einer zwei- oder dreidimensionalen Figur bezeichnet, wenn sie alle Drehungen umfasst, die die Figur auf sich selbst abbilden, also die Untergruppe der Drehungen in der Symmetriegruppe des Körpers bzw. der Figur ist. Zur Unterscheidung wird die $\mathop{\mathrm{SO}}(n)$ die volle $n$-dimensionale Drehgruppe genannt.

Im weiteren und übertragenen Sinn werden die speziellen orthogonalen Gruppen, das sind die Untergruppen der reellen allgemeinen linearen Gruppe $\mathop{\mathrm{GL}} (n ,\R)$, deren Element unimodulare orthogonale Matrizen sind, auch für höhere Dimensionen $n\in\N$ als (volle) Drehgruppen bezeichnet. Noch allgemeiner wird gelegentlich bei einem beliebigen kommutativen Ring mit Eins $R$ und einer natürlichen Zahl $n$ die Gruppe der Drehungen des $R^n$ als spezielle orthogonale Gruppe $\mathrm{SO}(n,R)$ des $R$-Moduls $R^n$ bezeichnet.

Eigenschaften

Jede reelle volle Drehgruppe ist eine Lie-Gruppe. Eine Topologie bekommt sie in kanonischer Weise als Matrixgruppe und dadurch ist auch ihre Liegruppenstruktur definiert. Jede volle Drehgruppe $\mathop{\mathrm{SO}}(n, \R)$ ist eine kompakte topologische Gruppe.

Die Lie-Algebra der $\mathrm{SO}(3)$ ist die $\mathfrak{so}(3)$. Sie ist eine reelle Form der Lie-Algebra $sl(2,\C)$. Letztere ergibt die auf $\mathbb C^2$ definierte spezielle unitäre Gruppe $\mathrm{SU}(2)$, eine Überlagerungsgruppe vom Grad $2$ zur $\mathrm{SO}(3)$.

Drehgruppen von Figuren

Das Wort Drehgruppe wird auch gebraucht als Bezeichnung für jene Untergruppe der Symmetrien eines bestimmten geometrischen Objektes, die eine planimetrische Figur oder einen stereometrischen Körper durch Drehung auf sich selbst abbildet. Eine solche Drehgruppe ist dann eine (meist endliche) Untergruppe der $\mathrm{SO}_2(\mathbb R)$ oder der $\mathrm{SO}_3(\mathbb R)$ und besteht genau aus allen jenen Drehungen, durch die diese Figur bzw. dieser Körper in sich selbst überführt wird.

Beispiele

• In der Ebene

1. Die Drehgruppe einer Strecke stimmt mit ihrer Symmetriegruppe überein und besteht nur aus zwei Elementen: der Identität und der Drehung um 180° um den Mittelpunkt. Sie ist also isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_2$.
2. Die Drehgruppe eines regulären Vielecks mit $n$ Ecken ist isomorph zur zyklischen Gruppe $\Z / n \Z$. Diese ist ein Normalteiler der zugehörigen Symmetriegruppe, der Diedergruppe $D_n$.

• Im Raum

1. Die Symmetriegruppe des Tetraeders ist isomorph zur symmetrischen Gruppe auf der vierelementigen Menge der Ecken des Tetraeders. Die Drehgruppe des Tetraeders, ein Normalteiler in dessen Symmetriegruppe, ist isomorph zur alternierenden Gruppe $A_4$.
2. Die Drehgruppe des Würfels und die des Oktaeders sind isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_4$.
3. Die Drehgruppe des Dodekaeders und die des Ikosaeders sind isomorph zur alternierenden Gruppe $A_5$.

Literatur

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8