Drehmatrix

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine Drehmatrix oder Rotationsmatrix ist in der Mathematik eine Matrix, die eine Drehung im euklidischen Raum beschreibt. Die Matrix ist so konstruiert, dass sie bei Multiplikation mit einem Vektor dessen Drehung um einen definierten Winkel bewirkt. Neben dem Winkel ist die Drehung durch ihr Zentrum (also einen Punkt, eine Achse, Ebene usw.) charakterisiert. Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen mit Determinante +1.

Die Drehung kann ein Objekt (eine Figur, einen Körper) bezüglich eines festgehaltenen Koordinatensystems oder das Koordinatensystem selbst bewegen.

Drehmatrix der Ebene R²[Bearbeiten]

In der euklidischen Ebene \R^2 wird die Drehung eines Vektors p um einen festen Ursprung um den Winkel \alpha, der im mathematisch positiven Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) definiert ist, durch die Multiplikation mit der Drehmatrix R_\alpha erreicht. Es existieren zwei Arten von Drehungen, die aktive Drehung und die passive Drehung. Bei der aktiven Drehung wird der Vektor durch die Multiplikation mit der Drehmatrix (Rotationsmatrix) R_\alpha gegen den Uhrzeigersinn gedreht:

p' = R_\alpha p

Bei der passiven Drehung wird das Koordinatensystem gedreht und damit der Vektor im Uhrzeigersinn gedreht. Die Koordinaten des Vektors im gedrehten Koordinatensystem findet man durch Multiplikation mit der Matrix R^{-1}_\alpha:

p' = R^{-1}_\alpha p

Jede Rotation um den Ursprung ist eine lineare Abbildung. Wie bei jeder linearen Abbildung genügt daher zur Festlegung der Gesamtabbildung die Festlegung der Bilder der Basisvektoren einer beliebigen Basis. Wird die Standardbasis gewählt, sind die Bilder der Basisvektoren gerade die Spalten der dazugehörigen Abbildungsmatrix.

Wir haben unter R_\alpha


\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}
\qquad\text{und}\qquad
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -\sin\alpha \\ \cos\alpha \end{pmatrix}.

Die Drehmatrix für eine Drehung um \alpha ist also

R_\alpha = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}.

Die Verkettung zweier Drehungen um die Winkel \alpha bzw. \beta ist erneut eine Drehung, und zwar um den Winkel \alpha+\beta. Die zur Verkettung gehörende Matrix kann mittels Matrizenmultiplikation berechnet werden,

\begin{align}R_{\alpha+\beta} &=
\begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta)\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \\ &=
\begin{pmatrix}
\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & - \cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta \\
\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta & \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta
\end{pmatrix},\end{align}

und erlaubt die Ablesung der Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus.

Siehe auch: Kreisgruppe

Drehmatrizen des Raumes R³[Bearbeiten]

Die elementaren Drehungen im \R^3 sind Drehungen um die üblichen kartesischen Koordinatenachsen. Die folgenden Matrizen drehen einen Punkt (bzw. Vektor) um den Winkel \alpha bei festen Koordinatenachsen. In der Physik werden häufig Drehungen des Koordinatensystems benutzt, dann müssen bei den untenstehenden Matrizen die Vorzeichen aller Sinus-Einträge vertauscht werden. Die Drehung eines Vektors um einen bestimmten Winkel in einem Koordinatensystem ist äquivalent zur Drehung des Koordinatensystems um den gleichen Winkel in umgekehrter Richtung (Drehung um negativen Winkel).

Die Matrizen gelten sowohl für Rechts- als auch für Linkssysteme. Drehungen mit positiven Drehwinkeln sind im Rechtssystem Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn. Im Linkssystem wird bei positiven Winkeln mit dem Uhrzeigersinn gedreht. Der Drehsinn ergibt sich, wenn man entgegen der positiven Drehachse auf den Ursprung sieht. In Rechtssystemen kann auch eine Rechte-Hand-Regel angewandt werden: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung der Drehachse, so geben die gebeugten restlichen Finger die Richtung des Drehwinkels an. Im Ergebnis ist das Vorzeichen der Sinuseinträge der Drehung um die y-Achse anders als bei den beiden anderen Matrizen.

  • Drehung um die x-Achse:

R_x(\alpha) = \begin{pmatrix}
1 &   0         & 0           \\
0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\
0 & \sin \alpha &  \cos \alpha
\end{pmatrix}
  • Drehung um die y-Achse:

R_y(\alpha) = \begin{pmatrix}
\cos \alpha  & 0 & \sin \alpha \\
   0         & 1 &  0          \\
-\sin \alpha & 0 & \cos \alpha
\end{pmatrix}
  • Drehung um die z-Achse:

R_z(\alpha) = \begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
\sin \alpha &  \cos \alpha & 0 \\         
   0        &  0           & 1
\end{pmatrix}

R_{\hat n}(\alpha) = \begin{pmatrix}
n_1^2 \left(1-\cos\alpha\right) + \cos\alpha  & n_1 n_2 \left(1-\cos\alpha\right) - n_3 \sin\alpha &  n_1 n_3 \left(1-\cos\alpha\right) + n_2 \sin\alpha \\
n_2 n_1 \left(1-\cos\alpha\right) + n_3 \sin\alpha  & n_2^2\left(1-\cos\alpha\right) + \cos\alpha &   n_2 n_3 \left(1-\cos\alpha\right) - n_1 \sin\alpha \\
n_3 n_1 \left(1-\cos\alpha\right) - n_2 \sin\alpha &  n_3 n_2 \left(1-\cos\alpha\right) + n_1 \sin\alpha & n_3^2\left(1-\cos\alpha\right) + \cos\alpha
\end{pmatrix}

Diese beliebige Drehung lässt sich auch über drei aufeinanderfolgende Drehungen mit den eulerschen Winkeln um bestimmte Koordinatenachsen erzielen, sodass sich diese Matrix auch mit diesen Winkeln formulieren lässt.

Eine Drehung um eine beliebige Achse \hat n (mit \hat n\cdot\hat n = 1) um den Winkel \alpha lässt sich im \R^3 schreiben als:

R_{\hat{n}}(\alpha)\vec{x}=\hat{n}(\hat{n}\cdot\vec{x})+\cos\left(\alpha\right)(\hat{n}\times\vec{x})\times\hat{n}+\sin\left(\alpha\right)(\hat{n}\times\vec{x})

Dies lässt sich mit der Graßmann-Identität für doppelte Kreuzprodukte und dem dyadischen Produkt \otimes umformen zu:

\begin{align}
R_{\hat{n}}(\alpha)\vec{x} & =(1-\cos\alpha)\hat{n}(\hat{n}\cdot\vec{x})+\cos\alpha\,\vec{x}+\sin\alpha(\hat{n}\times\vec{x})\\
 & = \Bigl\{ (1-\cos\alpha)\hat{n}\otimes\hat{n}+I\,\cos\alpha+\sin\alpha\sum_{i}(\hat{n}\times\hat{e}_{i})\otimes\hat{e}_{i}\Bigr\} \vec{x}\\
 & = \Bigl\{ (1-\cos\alpha)\hat{n}\otimes\hat{n}+I\,\cos\alpha+
[\hat n]_{\times}\, \sin\alpha\Bigr\} \vec{x}
\end{align}

Dabei ist I die Einheitsmatrix und \hat{e}_{i} sind die kanonischen Einheitsvektoren. [\hat n]_{\times} ist die Kreuzproduktmatrix von \hat n. Der Term in geschweiften Klammern stellt die Drehmatrix im \R^3 dar. In Komponentendarstellung schreibt sich diese so:

[R_{\hat n}(\alpha)]_{ij}=(1-\cos\alpha)n_{i}n_{j}+\cos\alpha\,\delta_{ij}+\sin\alpha\,\varepsilon_{ikj}n_{k}

Dabei sind \delta_{ij} das Kronecker-Delta und \varepsilon_{ikj} das Levi-Civita-Symbol.

Drehmatrizen des Raumes Rn[Bearbeiten]

Im n-dimensionalen Raum wird eine Drehung nicht durch eine Drehachse, sondern durch die Ebene definiert, in der die Drehung stattfindet. Anschaulich klar ist das in zwei Dimensionen, wo die „Dreh-Achse“ ja nur ein Punkt ist. Seien {\hat{g}}_1 \in \mathbb{R}^n und \hat{g}_2\in \mathbb{R}^n zwei zueinander orthogonale Einheitsvektoren (also \hat{g}_1 \cdot\hat{g}_2=0 und \left| \hat{g}_1 \right|=\left|\hat{g}_2 \right|=1), die demnach eine Ebene aufspannen. Seien V=\hat{g}_1 \otimes {\hat{g}}_1+{\hat{g}}_2 \otimes\hat{g}_2 und W=\hat{g}_1 \otimes {\hat{g}}_2 - \hat{g}_2 \otimes \hat{g}_1. Dann vermittelt die Matrix

R=\exp (\alpha W)=I_{n}+\left(\cos (\alpha) -1\right)V+\sin (\alpha) W

eine Drehung um den Winkel \alpha in der \hat{g}_1\text{-}\hat{g}_2\text{-Ebene} im \mathbb{R}^n. Dabei wurde

\exp \left(\alpha W\right):=\sum_{k=0}^\infty\frac{\alpha^k}{k\mathrm{!}}{W}^k

und W^0:=I_n definiert. Die Darstellung \exp (\alpha W)=I_n+\left(\cos (\alpha) -1\right)V+\sin (\alpha) W ergibt sich aus den Identitäten

\begin{array}{l}{W}^2 = W W = -V\,,\quad W V = V W = W\,,\quad V^2 = V\quad
\rightarrow W^{2n}={\left(-1\right)}^n V\quad\text{und}\quad{W}^{2n+1}={\left(-1\right)}^n W\end{array}

sowie

\cos (\alpha) =1+\sum_{k=1}^\infty\frac{{\left(-1\right)}^{k}}{\left(2k\right)\mathrm{!}}{\alpha}^{2k}\quad\text{und}\quad\sin (\alpha) =\sum_{k=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^k}{\left(2k+1\right)\mathrm{!}} \alpha^{2k+1}.

Eigensystem der Drehmatrizen[Bearbeiten]

Jeder auf \hat{g}_1 und \hat{g}_2 senkrecht stehende Vektor \vec{n} (mit \vec{n} \cdot {\hat{g}}_1=\vec{n}\cdot \hat{g}_2=0) wird von R auf sich selbst abgebildet. Also ist jeder Vektor \vec{n} mit \hat{g}_1 \cdot \vec{n}=\hat{g}_2 \cdot \vec{n}=0 Eigenvektor von R mit Eigenwert 1. Zwei Eigenwerte von R sind \lambda_{1,2}=e^{\pm \mathrm i\alpha} mit den Eigenvektoren \hat{v}_{1,2}=\frac1{\sqrt2}\left(\hat{g}_1\pm \mathrm i \hat{g}_2\right), worin \mathrm i=\sqrt{-1} die imaginäre Einheit ist. Aus diesen komplexen Eigenwerten und Eigenvektoren kann man also den Drehwinkel und die Drehebene rekonstruieren. Des Weiteren gilt bei Drehung in einer Ebene:

\begin{array}{c}\operatorname{Sp}R=n+2\cos (\alpha) -2\rightarrow \alpha =\arccos \left(\frac{\operatorname{Sp}(R)+2-n}2\right)\\
R-{R}^\textrm{T}=2\sin (\alpha) W\rightarrow {\hat{g}}_1 \otimes \hat{g}_2-\hat{g}_2 \otimes \hat{g}_1=W=\frac{R-{R}^{\textrm{T}}}{2\sin( \alpha)}\end{array}

Allerdings kann eine Drehung im n-dimensionalen Raum gleichzeitig in \frac{n}2 (falls n gerade) oder \frac{n-1}2 (falls n ungerade) Ebenen mit gegebenenfalls sogar unterschiedlichen Winkeln stattfinden.

Allgemeine Definition[Bearbeiten]

Eine n\times n-Matrix R mit reellen Komponenten heißt Drehmatrix, wenn sie

a) die Länge von Vektoren und die Winkel zwischen Vektoren erhält (ausgedrückt durch das Skalarprodukt), wenn also für alle Vektoren x und y des \R^n gilt:
\langle Rx, Ry\rangle = \langle x, y\rangle

und

b) orientierungserhaltend ist, wenn also \det\, R=1 gilt.

Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen mit der Determinante +1.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Weitere Eigenschaften von Rotationsmatrizen R \in \mathbb{R}^{n\times n}:

  • R^T R = R R^T = {I_n} (orthogonal), folgt aus dem ersten Teil der Definition:
\langle Rx,Ry\rangle\equiv\langle x,R^{T}Ry\rangle=\langle x,y\rangle\quad\Rightarrow\quad R^{T}R=I
  • R^T = R^{-1} (Transponierte und Inverse von R sind gleich), folgt aus der Orthogonalität.
  • \det (R) = 1 (Determinante), entspricht dem zweiten Teil der Definition.
  • R^{-1}(\alpha)=R(-\alpha)=R(2\pi -\alpha)
  • Die Drehachse \vec v ist die Lösung von
(R-I) \vec v = \vec 0.
Da (R-I) nicht regulär ist, ist die Berechnung der Drehachse über eine Eigenwertzerlegung durchzuführen. Die Drehachse \vec v ist Eigenvektor von R mit Eigenwert 1.
  • Der Drehwinkel \alpha ergibt sich über das Skalarprodukt:
\quad \langle\vec w, R\vec w\rangle =\|\vec w\| \|R\vec w\| \cos \alpha
mit \vec w orthogonal zur Drehachse \vec v oder aus der Spur der Drehmatrix
\operatorname{Tr}(R) = n-2 + 2 \cos\alpha
(siehe auch Formel für die Matrix einer Drehung um eine allgemeine Achse oben).
\mathrm{SO}(n)=\left\{ \text{lineare Abbildung }R:\,\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n} \ | \ R^{T}R=I_n \, , \ \det\,R=1\right\}
  • Mit der Lie-Gruppe SO(n) ist eine Lie-Algebra \mathfrak{so}(n) verknüpft, ein Vektorraum mit einem bilinearen alternierenden Produkt (Lie-Klammer), wobei der Vektorraum bezüglich der Lie-Klammer abgeschlossen ist. Dieser Vektorraum ist isomorph zum Tangentialraum am neutralen Element der SO(n) (neutrales Element ist die Einheitsmatrix), sodass insbesondere \dim \mathfrak{so}(n)=\dim \mathrm{SO}(n) gilt. Die Lie-Algebra besteht aus allen schiefsymmetrischen n\times n-Matrizen und ihre Basis sind die sog. Erzeugenden. Die Exponentialabbildung verknüpft die Lie-Algebra mit der Lie-Gruppe:
\exp\colon\ \mathfrak{so}(n)\to\mathrm{SO}(n),\ J\mapsto\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}J^{k}

Infinitesimale Drehungen[Bearbeiten]

Betrachtet man Drehungen um infinitesimal kleine Winkel d\alpha, so ist es ausreichend, die Winkelfunktionen der endlichen Drehung bis zur ersten Ordnung zu entwickeln (\sin x = x bzw. \cos x = 1). Damit lassen sich nun infinitesimale Drehungen darstellen als

R(d\alpha)=I+d\alpha\,J,

wobei I die Einheitsmatrix und J die Erzeugende einer infinitesimalen Drehung darstellt. Die Erzeugenden sind die Ableitungen der Rotationsmatrix an der Stelle der Identität und bilden die Basis der Lie-Algebra \mathfrak{so}(n) (Beispiel siehe unten).

J=\left.\frac{\mathrm{d}R(\alpha)}{\mathrm{d}\alpha}\right|_{\alpha=0}

Eine endliche Drehung lässt sich durch Hintereinanderausführung infinitesimaler Drehungen erzeugen:

R(\alpha)=\lim_{N\to\infty}\left[R \left(\frac{\alpha}{N}\right)\right]^{N}=\lim_{N\to\infty}\left[I+\frac{\alpha}{N}\,J\right]^{N}=\exp\left(\alpha J\right)\equiv\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\alpha J\right)^{n}}{n!}

Dabei wurde die Exponentialfunktion identifiziert. Die Exponentialfunktion von Matrizen ist über die Reihendarstellung definiert, wie im letzten Schritt gezeigt. Es lässt sich zeigen, dass Erzeugende spurfrei sein müssen:

1=\det R(\alpha)=\exp(\alpha\ \operatorname{Sp}\,J) \quad \implies \quad \operatorname{Sp}\,J=0

und schiefsymmetrisch sind:

I=R(\alpha)R^{\mathrm T}(\alpha)=R^{\mathrm T}(\alpha)R(\alpha)=e^{\alpha J}e^{\alpha J^{\mathrm T}}=e^{\alpha J^{\mathrm T}}e^{\alpha J}=e^{\alpha(J+J^{\mathrm T})} \quad \implies \quad J+J^\mathrm T=0.

Mit dem Konzept der Erzeugenden lässt sich die lokale Gruppenstruktur der SO(n) in der Umgebung der identischen Abbildung ausdrücken, und zwar durch die infinitesimalen Drehungen. Wegen des Zusammenhangs über die Exponentialfunktion wird aus einer Multiplikation von Drehmatrizen eine Addition ihrer Erzeugenden. Die Erzeugenden bilden einen Vektorraum derselben Dimension G=n(n-1)/2 wie die Drehgruppe \mathrm{SO}(n); somit gibt es G linear unabhängige Erzeugende der Gruppe \mathrm{SO}(n).

Die Erzeugenden J_i bilden mit dem Lie-Produkt (Kommutator) die sog. Lie-Algebra \mathfrak{so}(n). Eine Algebra besitzt zwei Gruppenstrukturen, die kommutative Addition und eine Multiplikation (Lie-Produkt). Der Kommutator zweier Erzeugenden liegt wieder in der Menge der Erzeugenden (Abgeschlossenheit):

[J_{i},J_{k}]=\sum_{l}c_{ik}^{l}J_{l}

Die Koeffizienten c_{ik}^{l}=-c_{ki}^{l} sind charakteristische Konstanten der Gruppe. Für alle doppelten Kommutatoren gilt die Jacobi-Identität:

\left[[J_{i},J_{k}],J_{l}\right]+\left[[J_{k},J_{l}],J_{i}\right]+\left[[J_{l},J_{i}],J_{k}\right]=0

In der theoretischen Physik spielen Lie-Gruppen eine wichtige Rolle, z. B. in der Quantenmechanik (siehe Drehimpulsoperator) oder der Elementarteilchenphysik.

Ebene R²[Bearbeiten]

Für Drehungen im \R^2 lauten die infinitesimale Drehung und ihre Erzeugende:

R(d\alpha)=\begin{pmatrix}1 & -d\alpha\\d\alpha & 1\end{pmatrix}\,,\quad J=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}

Für die SO(2) gibt es nur eine linear unabhängige Erzeugende.

Eine endliche Drehung lässt sich über die Exponentialfunktion des Drehwinkels und der Erzeugenden darstellen. Dies wird hier auf eine weitere Art gezeigt: Die Drehmatrix wird in einen symmetrischen und antisymmetrischen Anteil zerlegt und die trigonometrischen Funktionen werden durch ihre Taylorreihe dargestellt.

R(\alpha)=I\,\cos\alpha+J\,\sin\alpha=I\,\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}+J\,\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}

Mit J^2=-I bzw. J^{2n}=(-I)^n folgt das von oben bekannte Ergebnis:

R(\alpha)=\sum_{n=0}^{\infty}J^{2n}\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^{\infty}J^{2n+1}\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}=\exp(\alpha J)

Raum R³[Bearbeiten]

Für Drehungen im \R^3 um die kartesischen Koordinatenachsen lauten die infinitesimalen Drehungen und ihre Erzeugenden:

\begin{align}
R_{x}(d\alpha) & =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & -d\alpha\\0 & d\alpha & 1\end{pmatrix}\,,\quad & J_{x} & =\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}\\
R_{y}(d\alpha) & =\begin{pmatrix}1 & 0 & d\alpha\\0 & 1 & 0\\-d\alpha & 0 & 1\end{pmatrix}\,,\quad & J_{y} & =\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\\-1 & 0 & 0\end{pmatrix}\\
R_{z}(d\alpha) & =\begin{pmatrix}1 & -d\alpha & 0\\d\alpha & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\,,\quad & J_{z} & =\begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align}

Für die SO(3) gibt es drei linear unabhängige Erzeugende. Gegenüber endlichen Drehungen vertauschen infinitesimale Drehungen miteinander (der Kommutator verschwindet in erster Ordnung in d\alpha).

Eine infinitesimale Drehung und ihre Erzeugende um eine beliebige Achse \hat n (mit \hat n\cdot\hat n = 1) lässt sich auch schreiben als

R_{\hat{n}}(d\alpha)=I+d\alpha\sum_{i}(\hat{n}\times\hat{e}_{i})\otimes\hat{e}_{i}=\begin{pmatrix}1 & -d\alpha\, n_{z} & d\alpha\, n_{y}\\ d\alpha\, n_{z} & 1 & -d\alpha\, n_{x}\\ -d\alpha\, n_{y} & d\alpha\, n_{x} & 1\end{pmatrix}
J_{\hat{n}}=\sum_{i}\left(\hat{n}\times\hat{e}_{i}\right)\otimes\hat{e}_{i}=\begin{pmatrix}0 & -n_{z} & n_{y}\\ n_{z} & 0 & -n_{x}\\ -n_{y} & n_{x} & 0\end{pmatrix}

Hieran sieht man, dass eine beliebige Erzeugende stets eine schiefsymmetrische Matrix ist.

Eine endliche Drehung um eine beliebige Achse \hat n (mit \hat n\cdot\hat n = 1) um den Winkel \alpha lassen sich so darstellen:

R_{\hat{n}}(\alpha)=\exp\Big(\alpha\,J_{\hat{n}}\Big)=\exp\Big(\alpha\,\hat{n}\cdot\vec{J}\,\Big)=\exp\Big(\alpha(n_{x}J_{x}+n_{y}J_{y}+n_{z}J_{z})\Big)

Die Erzeugenden J_x, J_y, J_z bilden die sog. Lie-Algebra \mathfrak{so}(3), d. h. der Kommutator (Lie-Produkt) zweier Erzeugenden liegt wieder in der Menge der Erzeugenden:

[J_{x},J_{y}]=J_{z}\,,\quad[J_{x},J_{z}]=-J_{y}

und ebenso für alle zyklischen Permutationen der Indizes.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]