Dreiecksfunktion

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Dreiecksfunktion

Die Dreiecksfunktion, auch tri-Funktion, triangle-Funktion oder tent-Funktion, ist eine mathematische Funktion mit folgender Definition:


\begin{align}
\operatorname{tri}(t) = \and (t) \quad 
&\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \max(1 - |t|, 0) \\
&= 
\begin{cases}
1 - |t|, & |t| < 1 \\
0, & \mbox{ansonsten} 
\end{cases}
\end{align}
.

Sie kann dazu gleichwertig auch über die Faltung mit der Rechteckfunktion rect definiert werden, wie es auch in nebenstehender Abbildung anschaulich dargestellt ist:


\begin{align}
\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad
&\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}  \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau\\
&= \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(\tau-t)\ d\tau
\end{align}
.


Faltung zweier Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion


Durch einen Parameter a ≠ 0 kann die Dreiecksfunktion skaliert werden:


\begin{align}
\operatorname{tri}(t/a) 
&= 
\begin{cases}
1 - |t/a|, & |t| < |a| \\
0, & \mbox{ansonsten} .
\end{cases}
\end{align}

Die Dreiecksfunktionen findet vor allem im Bereich der Signalverarbeitung zur Darstellung von idealisierten Signalverläufen Anwendung. Sie dient dort neben der Gauß-Funktion, der Heaviside-Funktion und der Rechteckfunktion zur Beschreibung von Elementarsignalen. Technische Anwendungen liegen im Bereich von Optimalfiltern oder bei Fensterfunktionen wie dem Bartlett-Fenster.

Die Fourier-Transformation der Dreiecksfunktion ergibt die quadrierte si-Funktion:


\begin{align}
\mathcal{F}\{\operatorname{tri}(t)\} 
&= \mathrm{si}^2(f) .
\end{align}

Allgemeine Form[Bearbeiten]

Im Allgemeinen möchte man die Dreiecksfunktion skalieren. Von Interesse sind hierbei die Streckung in x-Richtung, sowie die Höhe an der Spitze. Für die Streckung ist T die halbe Periodendauer, also die Distanz vom Beginn der Dreiecksfunktion bis zum Mittelpunkt t0. Die Höhe an der Stelle t0 ist durch

a \cdot \operatorname{tri}\left(\frac{t-t_0}{T}\right)

gegeben.

Ableitung[Bearbeiten]

Die Ableitung der Dreiecksfunktion stellt eine Summe von zwei Rechteckfunktionen rect dar:

\frac{a}{T}\left(\operatorname{rect}\left(\frac{t-(t_0-T/2)}{T}\right) - \operatorname{rect}\left(\frac{t-(t_0+T/2)}{T}\right)\right)

welche sich auch als Summe von drei Sprungfunktionen ε darstellen lassen:

\frac{a}{T}\left(\operatorname{\epsilon}(t-(t_0-T)) - 2 \operatorname{\epsilon}(t-t_0) + \operatorname{\epsilon}(t-(t_0+T)) \right),

wobei 2T die Periodendauer, t0 den Mittelpunkt und a die Höhe der Dreiecksfunktion darstellen. Der Vorfaktor \frac{a}{T} tritt daher als Steigung der Dreiecksfunktion in der Ableitung auf.

Quelle[Bearbeiten]

  •  Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. 6. Auflage. Springer Verlag, 1995, ISBN 3-540-54824-6.