Dreiecksverteilung

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Die Dreiecksverteilung (oder Simpson-Verteilung, nach Thomas Simpson) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet wird.

Definition[Bearbeiten]

Die Dreiecksverteilung ist definiert durch die auf dem Intervall \left[a, b\right] definierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

 f(x)=\begin{cases}
  \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}, & \text{wenn } a \le x \le c\\
  \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}, & \text{wenn } c < x \le b.
\end{cases}

Hierbei bestimmen die Parameter a (minimaler Wert), b (maximaler Wert) und c (wahrscheinlichster Wert) die Gestalt der Dreiecksverteilung (a\leq c\leq b). Der Graph der Dichtefunktion sieht wie ein Dreieck aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen. Die y-Achse zeigt die Dichte der jeweiligen Wahrscheinlichkeit für einen Wert x \in \left[a, b\right].

Plot of the Triangular PMF

Eigenschaften[Bearbeiten]

Verteilungsfunktion[Bearbeiten]

Die Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion lautet

F(x)=\begin{cases}
    \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}, & \text{wenn } a \le x \le c\\
  1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)}, & \text{wenn } c < x \le b.
\end{cases}

Die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion lautet

F^{-1}(y)=\begin{cases}
    a+\sqrt{y(b-a)(c-a)}, & \text{wenn } 0 \le y \le \frac{(c-a)}{(b-a)}\\
    b-\sqrt{(b-a)(b-c)}\sqrt{(1-y)}, & \text{wenn } \frac{(c-a)}{(b-a)} \le y  \le 1
\end{cases}

Erwartungswert[Bearbeiten]

Der Erwartungswert einer dreiecksverteilten Zufallsvariable X lautet

\operatorname E(X) = \frac{a+b+c}3.

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz einer dreiecksverteilten Zufallsvariable X ergibt sich zu

\operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{36}.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Die Summe zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit b-c=c-a, Standardabweichung \sqrt{6}(b-a)/12 \approx 0{,}204(b-a), mittlerer absoluter Abweichung (b-a)/6 \approx 0{,}167(b-a) und Interquartilsabstand (1-\sqrt{2}/2)(b-a) \approx 0{,}293(b-a).

Weblinks[Bearbeiten]