Dreiteilung des Winkels

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Unter der Dreiteilung des Winkels (auch: Trisektion des Winkels) versteht man in der Geometrie das Problem, ob man einen beliebigen Winkel nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal (den euklidischen Werkzeugen) konstruktiv und präzise in drei gleich große Winkel unterteilen kann. Die Dreiteilung des Winkels gehört zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik und ist nur für bestimmte Winkel durchführbar.

Klassisches Problem[Bearbeiten]

Drittelung von 180° (∢ AMC) in 60° (∢ BMC) und 120° (∢ AMB)

Hier muss ein beliebiger gegebener Winkel nur mit Hilfe eines Zirkels und eines nichtskalierten Lineals in drei gleich große Teile aufgeteilt werden.

Bei speziellen Winkeln ist die Dreiteilung des Winkels möglich, etwa bei jedem ganzzahligen Vielfachen von 90°. Schon die alten Griechen versuchten vergeblich, eine allgemeine Lösung für beliebige Winkel zu finden. Um das Jahr 1830 schuf der französische Mathematiker Évariste Galois die Grundlagen, mit denen später bewiesen wurde, dass dies nicht allgemein möglich ist. Beispielsweise ist es nicht möglich, den konstruierbaren Winkel 60° zu dritteln, da 20° nicht konstruierbar ist.

Den ersten Beweis der Unmöglichkeit veröffentlichte Pierre Wantzel 1837 (unabhängig von Methoden der Galoistheorie).

Eine Dreiteilung ist nur möglich, wenn man andere Hilfsmittel verwendet als Zirkel und Lineal – etwa eine Trisektrix – oder wenn man auf dem Lineal Markierungen anbringt. Andererseits kann man mit Zirkel und Lineal beliebig gute Näherungslösungen angeben.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung des Problems ist es, genau zu charakterisieren, welche Winkel konstruierbar sind und welche nicht. Äquivalente Fragestellungen sind, für welche natürlichen Zahlen n man einen Kreis in n gleich große Stücke mittels Zirkel und Lineal unterteilen kann bzw. welche regulären Polygone konstruierbar sind. Die exakte Charakterisierung der konstruierbaren n-Ecke wurde 1837 von Pierre Wantzel (nach wesentlichen Vorarbeiten von Carl Friedrich Gauß und Évariste Galois) erzielt und besagt, dass dies genau dann der Fall ist, wenn n ein Produkt aus einer Zweierpotenz und untereinander verschiedenen fermatschen Primzahlen ist. Der erste entscheidende Schritt über die Mathematik des Altertums hinaus war dem jungen Gauß mit seiner Entdeckung zu verdanken, dass das reguläre Siebzehneck konstruierbar ist. Die bekannten Fermatschen Primzahlen sind 3, 5, 17, 257 und 65537. Allgemein sind Fermat-Zahlen die Zahlen 2^m + 1, wobei m = 2^q selbst eine Zweierpotenz ist. Man vermutet, dass die Fermat-Zahlen mit q>4 keine Primzahlen sind, und weiß es für viele q.

Für das Problem der Winkeldreiteilung braucht man die fortgeschrittenen Theorien von Gauß und Galois nicht. Hier genügt die Erkenntnis, dass eine Streckenlänge, die einer irreduziblen Gleichung dritten Grades genügt, nicht konstruierbar ist; denn jede konstruierbare Streckenlänge lässt sich algebraisch durch die aufeinanderfolgende Lösung quadratischer Gleichungen gewinnen, ist also algebraisch von einem Zweierpotenzgrad.

Nicht-klassische Verfahren[Bearbeiten]

Beschränkt man sich nicht auf die klassischen Konstruktionvorschriften für Zirkel und Lineal, sondern lässt darüber hinaus die Verwendung anderer Konstruktionswerkzeuge und mathematischer Hilfsobjekte zu oder begnügt sich auch mit Näherungslösungen, so ergibt sich eine Vielzahl von möglichen Verfahren, einen beliebigen Winkel zu dreiteilen. In den folgenden Abschnitten werden einige von ihnen beispielhaft vorgestellt.

Die Methode des Archimedes[Bearbeiten]

Die Winkeldreiteilung nach Archimedes: \alpha = 3\beta

Archimedes war ein Pragmatiker, er gab eine Lösung in seinem Liber Assumptorum an. Sei \alpha der dreizuteilende Winkel wie in nebenstehender Zeichnung. Gehe dann wie folgt vor:

  1. Schlage einen Kreis um A mit beliebigem Radius r.
  2. Am Lineal bringe zwei Markierungen im Abstand r an.
  3. Lege das Lineal so an B, dass eine der beiden Markierungen auf der Geraden AD im Punkt D und die andere auf der Kreislinie im Punkt C liegt, und zeichne die Strecke \overline{BD}.
  4. Der Winkel \beta bei D ist der gesuchte Drittelwinkel.

Zur Begründung beachte man, dass wegen der speziellen Positionierung des Lineals die Länge der Strecke \overline{CD} gleich dem Abstand r der Markierungen ist, also gleich dem Radius des Kreises, der sich auch als \overline{AC} und \overline{AB} wiederfindet. Insbesondere ist das Dreieck ACD gleichschenklig, weshalb der Winkel \beta auch bei A auftritt. Der Winkel des Dreiecks ACD bei C ist einerseits gleich 180^o-2\beta (Winkelsumme im Dreieck), andererseits der Nebenwinkel von \gamma, also ist \gamma=2\beta. Da das Dreieck ABC ebenfalls gleichschenklig ist, taucht der Winkel \gamma auch bei B auf, und der Winkel dieses Dreiecks bei A ist gleich 180^o-2\gamma. Beachtet man nun, dass sich die Winkel bei A zu 180^o addieren, ergibt sich \alpha = 180^o-(180^o-2\gamma) - \beta = 2\gamma - \beta = 3\beta.

Dass mit dieser Methode jeder Winkel wie bewiesen dreigeteilt werden kann, steht nicht im Widerspruch zur Unlösbarkeit des klassischen Problems, denn die obige Konstruktion wurde nicht nach den klassisch erlaubten Regeln durchgeführt. Eine Markierung am Lineal und ein geschicktes Anlegen des Lineals sind nicht erlaubte Konstruktionsmethoden. Es wurde also ein abweichender Instrumentensatz verwendet und die möglichen Konstruktionen sind vom Instrumentensatz abhängig.

Teilung mit Tomahawk[Bearbeiten]

Dreiteilung eines Winkels mit einem Tomahawk. Der Griff bildet ein Drittel, und die blaue Linie ein weiteres.
Schablone (schematische Darstellung) zur Dreiteilung von Winkeln von 90° (rot) bis 180° (blau)

Der Tomahawk ist eine Figur, die aus mathematischer Sicht aus zwei aufeinander senkrecht stehenden Strecken und einem an einer der Geraden anliegenden Halbkreis besteht (siehe Zeichnung). Die Bezeichnung Tomahawk rührt daher, dass die Figur vage an einen Tomahawk (indianische Streitaxt) erinnert. Um einen Winkel mit Hilfe des Tomahawks zu dreiteilen, muss man ihn so positionieren, dass sein „Stiel“ an der Winkelspitze liegt, während der Halbkreis und ein Ende der anderen Strecke jeweils die Schenkel des Winkels berühren. In dieser Position bildet der „Stiel“ mit einem der Schenkel einen Winkel, der genau ein Drittel des Ausgangswinkels beträgt. Verbindet man den Mittelpunkt des Halbkreises mit der Winkelspitze des Ausgangswinkels, so bildet diese Strecke mit dem Schenkel einen weiteren Winkel, der genau ein Drittel des Ausgangswinkels beträgt. Insgesamt hat man den Ausgangswinkel nun in drei gleich große Winkel aufgeteilt.

Dreiteilung des Winkels mit Origami[Bearbeiten]

Während die Dreiteilung des Winkels mit den klassischen Instrumenten der Geometrie nicht möglich ist, kann die Aufgabe mit der Papierfalttechnik Origami gelöst werden.[1][2] Diese Lösung ist, ähnlich der archimedischen Methode, mit Markierungen am Lineal auch geometrisch nachzustellen. Dass dies beim Origami augenscheinlich nicht nötig ist, ist auf eine automatische Begrenzung des "Lineals" rückführbar - das Faltpapier ist in jedem Fall endlich.

Literatur[Bearbeiten]

  • Nikolai Antonowitsch Dolleschal Трисекция угла (Dreiteilung des Winkels), Zeitschrift «Наука и Жизнь» (Wissenschaft und Leben) 3/1998 (online)
  • Underwood Dudley The Trisectors, Mathematical Association of America 1996
  • Underwood Dudley A budget of trisections, Springer Verlag 1987

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=710
  2. "Origami löst unlösbare Probleme". Schweizer Fernsehen, Einstein, 9. April 2009.

Weblinks[Bearbeiten]