Jaynes-Cummings-Modell

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Darstellung wesentlicher Bestandteile des Jaynes-Cummings-Modells: Oben im Bild ist ein Atom gezeigt, das sich in einem Hohlraumresonator befindet, der lediglich eine einzige stehende Welle mit einem bestimmten k-Vektor zulässt. Unten ist gezeigt, dass das Atom als Zwei-Niveau-System modelliert wird.
Diagramm der Quantenoszillationen der atomaren Inversion (für mittlere Photonenzahl m = 576) auf der Grundlage der Formeln aus der Referenz[1]

Das Jaynes-Cummings-Modell (nach Edwin Thompson Jaynes und Fred Cummings, auch Dressed-Atom-Modell (dt. etwa: „Modell des ‚bekleideten‘ Atoms“)) beschreibt die Wechselwirkung eines Atoms mit einem monochromatischen, resonanten Lichtfeld (ohne Betrachtung einer Polarisation). Es ist ein rein quantenmechanischer Ansatz, um die Energiewerte und Zustände des Gesamtsystems Atom-Lichtfeld zu bestimmen und um physikalische Phänomene, die bei dieser Wechselwirkung auftreten, zu erklären. Das Jaynes-Cummings-Modell ist das einfachste, nicht triviale Modell das die Wechselwirkung eines Atoms einem elektromagnetischen Feld beschreibt.

Im Jaynes-Cummings-Modell werden Effekte verständlich, die im semiklassischen Rabi-Modell nicht erklärbar sind. Hierzu gehören unter anderem die Veränderung des Landé-Faktors in einem Hochintensitäts- und Hochfrequenzradiofrequenzfeld, sowie eine physikalische Anschauung für das Mollow-Triplett und die Dipolkraft. [2]

Im beschriebenen Modell wird sowohl das Atom als auch das Lichtfeld quantenmechanisch behandelt. Das Atom wird hierbei als Zweizustandssystem betrachtet, während das Feld nach den Regeln der Quantenfeldtheorie quantisiert wird. Die Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen Atom und Feld im Hamiltonoperator führt dazu, dass die Zustände des Atoms und des Lichtfeldes als eine Einheit dargestellt werden müssen und nicht mehr unabhängig voneinander betrachtet werden können (daher der Name des "bekleideten" Atoms).

Detaillierte Beschreibung[Bearbeiten]

Energiewerte ohne Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen Atom und Feld[Bearbeiten]

Das Atom besitzt zwei mögliche Energiewerte, das Laserfeld unendlich viele, entsprechend der Anzahl der Photonen. Ohne Kopplung ist die Gesamtenergie des Systems lediglich die Summe der beiden Teilsysteme. Der Hamiltonoperator ergibt sich entsprechend zu

H'=H_A+H_L,

wobei H_A und H_L den Hamiltonoperator des Atoms bzw. des Laserfelds bezeichnen.

Im Grundzustand |g\rang besitzt das Atom die Energie E=0 und im angeregten Zustand |e\rang die Energie E=\hbar \omega_0 bei atomarer Resonanzfrequenz \omega_0. Die Energie des Laserfelds erhöht sich bei einer Lichtfrequenz \omega_L für jedes Photon um \hbar \omega_L. Die Hamiltonoperatoren sehen folgendermaßen aus:

H_A=\hbar\omega_0 |e\rang\lang e | und H_L=\hbar \omega_L (a^{\dagger} a + \frac{1}{2})

mit den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a^{\dagger} und  a . Trägt man alle möglichen Energiewerte auf eine Skala auf, ergibt sich eine Leiter mit diskreten Werten.

Mit Berücksichtigung der Atom-Feld-Wechselwirkung[Bearbeiten]

Durch Berücksichtigung der Wechselwirkung verschieben sich die Energieniveaus, dieser Effekt nennt sich Starkverschiebung. Außerdem ändern sich die Eigenzustände des Atoms, die sich nun als eine Linearkombination des ursprünglichen Grund- und Anregungszustandes darstellen lassen. Diese gekoppelten Zustände bezeichnet man als dressed states oder bekleidete Zustände. Dadurch, dass nun beide Eigenzustände eine Beimischung der ursprünglichen Zustände enthalten, ergibt sich ein neues Absorptions- und Emissionsverhalten, das zum Beispiel das Auftreten des Mollow-Tripletts erklärt.

Wenn man davon ausgeht, dass nur jeweils auf der Energieleiter benachbarte Zustände miteinander wechselwirken, lassen sich die Energieniveaus des gekoppelten Atom-Laser-Systems durch Diagonalisieren seines Hamiltonoperators bestimmen. Dieser setzt sich aus dem Operator für das ungekoppelte System und einem Wechselwirkungsterm zusammen. Letzterer ergibt in der Dipolnäherung, d. h. die Wellenlänge des Lichts ist groß gegenüber der Wellenlänge des Atoms:

V_{AL}=-\vec{d} \cdot \vec{E}_L

mit dem quantisierten Feld

\vec{E}_L=\sqrt{\frac{\hbar\omega_L}{2 \epsilon_0 V}}\vec{\epsilon}_L(a_L+a^{\dagger}_L),

mit dem Modenvolumen V und der Laserpolarisation \vec{\epsilon}_L, und dem Dipoloperator, der die beiden Atomzustände verknüpft

\vec{d}=\vec{d}_{ge}(|e\rang\lang g|).

Damit ergibt sich bei einer Frequenzverstimmung des Lasers gegenüber der Atomresonanzfrequenz \delta eine Energieverschiebung von

\Delta E = -\frac{1}{2} \hbar \delta \cdot \left(-1+\sqrt{\left(\frac{\Omega}{\delta}\right)^2+1}\right)

mit der Rabifrequenz \Omega und die neuen Eigenzustände

|1,n-1\rang=\cos\theta |e,n-1\rang+\sin \theta |g,n\rang

|2,n-1\rang=-\sin\theta |e,n-1\rang+\cos\theta |g,n\rang
,

bei n Photonen und einem Mischungswinkel \theta, wobei \tan 2\theta = \frac{\Omega}{\delta}. Für eine Herleitung der Energieeigenwerte und -zustände siehe [3](S.10) und für eine Herleitung der Operatoren siehe [4].

Literatur[Bearbeiten]

  1. A. A. Karatsuba, E. A. Karatsuba: A resummation formula for collapse and revival in the Jaynes–Cummings model. In: J. Phys. A: Math. Theor.. Nr. 42, 2009, S. 195304, 16. doi:10.1088/1751-8113/42/19/195304.
  2. nobelprize.org: Claude Cohen-Tannoudji - Biographical
  3. Claus Zimmermann: Quantenoptik für Experimentatoren
  4. C. Cohen-Tannoudji und J. Dupont-Roc, G. Grynberg: Atom-Photon Interactions, Wiley Science Paperback Series, ISBN 0-471-29336-9