Jaynes-Cummings-Modell

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Darstellung wesentlicher Bestandteile des Jaynes-Cummings-Modells: Oben im Bild ist ein Atom gezeigt, das sich in einem Hohlraumresonator befindet, der lediglich eine einzige stehende Welle mit einem bestimmten k-Vektor zulässt. Unten ist gezeigt, dass das Atom als Zwei-Niveau-System modelliert wird.
Diagramm der Quantenoszillationen der atomaren Inversion (für mittlere Photonenzahl m = 576) auf der Grundlage der Formeln aus der Referenz[1]

Das Jaynes-Cummings-Modell (nach Edwin Thompson Jaynes und Fred Cummings, auch Dressed-Atom-Modell (dt. etwa: „Modell des ‚bekleideten‘ Atoms“)) beschreibt die Wechselwirkung eines Atoms mit einem monochromatischen, resonanten Lichtfeld (ohne Betrachtung einer Polarisation). Es ist ein rein quantenmechanischer Ansatz, um die Energiewerte und Zustände des Gesamtsystems Atom-Lichtfeld zu bestimmen und um physikalische Phänomene, die bei dieser Wechselwirkung auftreten, zu erklären. Das Jaynes-Cummings-Modell ist das einfachste, nicht triviale Modell das die Wechselwirkung eines Atoms mit einem elektromagnetischen Feld beschreibt.

Im Jaynes-Cummings-Modell werden Effekte verständlich, die im semiklassischen Rabi-Modell nicht erklärbar sind. Hierzu gehören unter anderem die Veränderung des Landé-Faktors in einem Hochintensitäts- und Hochfrequenzradiofrequenzfeld, sowie eine physikalische Anschauung für das Mollow-Triplett und die Dipolkraft. [2]

Im beschriebenen Modell wird sowohl das Atom als auch das Lichtfeld quantenmechanisch behandelt. Das Atom wird hierbei als Zweizustandssystem betrachtet, während das Feld nach den Regeln der Quantenfeldtheorie quantisiert wird. Die Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen Atom und Feld im Hamiltonoperator führt dazu, dass die Zustände des Atoms und des Lichtfeldes als eine Einheit dargestellt werden müssen und nicht mehr unabhängig voneinander betrachtet werden können (daher der Name des "bekleideten" Atoms).

Detaillierte Beschreibung[Bearbeiten]

Hamilton-Operator des Atoms[Bearbeiten]

Das Atom wird als Zwei-Niveau-System betrachtet und kann sich entweder im Grundzustand |g\rang mit Energie E=0 oder im angeregten Zustand |e\rang mit Energie E=\hbar \omega_a befinden. Dabei bezeichnet \omega_a die atomare Resonanzfrequenz. Der Hamiltonoperator für das Atom allein ist damit

H_a=\hbar\omega_a\sigma^+\sigma^-

wobei \sigma^+=|e\rang\lang g| und \sigma^-=|g\rang\lang e| die Auf- und Absteigeoperatoren des Atoms sind.

Hamilton-Operator des Feldes[Bearbeiten]

In analoger Weise beschreibt man das Feld innerhalb des Resonators (engl. cavity) mit den bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsopertoren für Photonen:

H_c=\hbar\omega_ca^{\dagger}a

a^\dagger a heißt auch Besetzungszahloperator. Somit sind die zugehörigen Energieeigenwerte E_c=\hbar\omega_cn des Feldes abhängig von der Anzahl der Photonen n.

Wechselwirkungs-Hamiltonian[Bearbeiten]

Schließlich beschreibt man die Wechselwirkung zwischen Feld und Atom in einem Wechselwirkungs-Hamiltonian (engl. interaction), der nach Anwendung der Rotating-Wave-Approximation nur noch zwei Terme enthält. Diese entsprechen dem Relaxieren des Atoms in den Grundzustand bei gleichzeitiger Erzeugung eines Photons und umgekehrt der Vernichtung eines Photons bei gleichzeitigem Aufsteigen des Atoms vom Grund- und den angeregten Zustand. Eine Konstante g>0, \in \mathbb{R} beschreibt die Stärke der Kopplung.

H_{int}=\hbar g\left(a^\dagger\sigma^-+\sigma^+a\right)

Jaynes-Cumming Hamiltonoperator[Bearbeiten]

Der Hamilton-Operator des Gesamtsystems setzt sich aus den drei oben beschriebenen Termen zusammen:

H_{JC}=\overbrace{\hbar\omega_a\sigma^+\sigma^-}^{H_a}+\overbrace{\hbar\omega_ca^{\dagger}a}^{H_c}+\overbrace{\hbar g\left(a^\dagger\sigma^-+\sigma^+a\right)}^{H_{int}}

Für zwei allgemeine Produktzustände |g, n+1\rang und |e,n\rang die das Atom die Anzahl der Photonen n im Resonator beschreiben, lässt sich der Jayes-Cumming Hamiltonian ausdrücken als

H_{JC}^{(n)} = \hbar
\begin{pmatrix}
(n+1) \omega_c & g \sqrt{n+1} \\[8pt]
g \sqrt{n+1} & n\omega_c +\omega_a
\end{pmatrix}

Die Matrixelemente abseits der Diagonalen beschreiben die Kopplung zwischen Atom und Feld. Man beachte, dass ohne die oben durchgeführte Rotating-Wave-Approximation eine solch kompakte Darstellung nicht so möglich wäre. Dieser Hamiltonian ist diagonalisierbar mit den Energie-Eigenwerten

E_{n}^{\pm}=\frac{1}{2}\hbar\delta\left(\pm\sqrt{\frac{\Omega_n^2}{\delta^2}+1}+1\right)+(n+1)\hbar\omega_c

In dieser Gleichung beschreibt \delta=\omega_c-\omega_a die Verstimmung zwischen atomarer Resonanz und der Frequenz des Lichtfeldes und \Omega_n=2g\sqrt{n+1} die n-Photonen Rabi-Frequenz.

Die zugehörigen (noch nicht normalisierten) Eigenvektoren sind

|n,\pm\rang=\frac{\delta\pm\sqrt{\Omega_n^2+\delta^2}}{\Omega_n}|g,n+1\rang + 1|e,n\rang

In der Original-Publikation[3] verschoben Jaynes und Cumming den Energie-Nullpunkt genau zwischen die atomaren Energielevel, so dass Hamiltonoperator sich zu

H_{JC}^{(n)'} = H_{JC}^{(n)}-\mathbb{I}\frac{\hbar\omega_a}{2}= \hbar
\begin{pmatrix}
(n+1) \omega_c-\frac{\omega_a}{2} & g \sqrt{n+1} \\[8pt]
g \sqrt{n+1} & n\omega_c +\frac{\omega_a}{2}
\end{pmatrix}

ergibt. In diesem Fall sind die Energieeigenwerte

E_n^{\pm}=\hbar\left(n+\frac{1}{2}\right)\omega_c\pm\hbar\sqrt{\Omega_n^2+\delta^2}

Die Eigenvektoren lassen sich noch durch einen Mischungswinkel \tan\left(2\vartheta\right)=\frac{\Omega_n}{\delta} parametrisieren:

|n,+\rangle= \cos \left(\vartheta\right)|e,n\rangle+\sin \left(\vartheta\right)|g,n+1\rangle

|n,-\rangle= -\sin \left(\vartheta\right)|e,n\rangle+\cos \left(\vartheta\right)|g,n+1\rangle

Durch Berücksichtigung der Wechselwirkung verschieben sich die Energieniveaus, dieser Effekt nennt sich Starkverschiebung. Außerdem ändern sich die Eigenzustände des Atoms, die sich nun als eine Linearkombination des ursprünglichen Grund- und Anregungszustandes darstellen lassen. Diese gekoppelten Zustände bezeichnet man als dressed states oder bekleidete Zustände. Dadurch, dass nun beide Eigenzustände eine Beimischung der ursprünglichen Zustände enthalten, ergibt sich ein neues Absorptions- und Emissionsverhalten, das zum Beispiel das Auftreten des Mollow-Tripletts erklärt.

Literatur[Bearbeiten]

  1. A. A. Karatsuba, E. A. Karatsuba: A resummation formula for collapse and revival in the Jaynes–Cummings model. In: J. Phys. A: Math. Theor.. Nr. 42, 2009, S. 195304, 16. doi:10.1088/1751-8113/42/19/195304.
  2. nobelprize.org: Claude Cohen-Tannoudji - Biographical
  3. E.T. Jaynes, F.W. Cummings: Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser. In: Proc. IEEE. 51, Nr. 1, 1963, S. 89–109. doi:10.1109/PROC.1963.1664.