Dynkin-System

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Ein Dynkin-System ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin.

Definition[Bearbeiten]

Eine Teilmenge \mathcal{D} der Potenzmenge \mathcal{P}(\Omega) einer nichtleeren Grundmenge \Omega heißt Dynkin-System über \Omega, falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:

  • Das System enthält die Grundmenge:
\Omega \in \mathcal{D}.
  • Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen:
A \in \mathcal{D} \implies A^c \in \mathcal{D}.
\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathcal{D} disjunkt \implies\bigcup_{n \in\mathbb{N}} A_{n}\in \mathcal{D}.

Alternativ lässt sich auch folgende Charakterisierung angeben: Ist \mathcal{D} eine monotone Klasse, welche die Obermenge  \Omega enthält, und in der für beliebige Mengen  A,B \in \mathcal{D} mit  B \subset A gilt, dass auch  A \backslash B \in \mathcal{D} ist, so ist  \mathcal{D} ein Dynkin-System.

δ-Operator[Bearbeiten]

Beliebige Durchschnitte von Dynkin-Systemen über \Omega ergeben wieder ein Dynkin-System. Ist daher \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(\Omega) ein Mengensystem, dann wird durch

\delta(\mathcal{E}) := \bigcap_{\scriptstyle\mathcal{E} \subseteq \mathcal{S}\atop\scriptstyle \mathcal{S}\text{ Dynkin-System}}\mathcal{S}.

ein Dynkin-System \delta(\mathcal{E}) definiert, genannt das von \mathcal{E} erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, welches \mathcal{E} enthält. \mathcal{E} heißt Erzeuger von \delta(\mathcal{E}).

Der δ-Operator ist ein Hüllenoperator.

Zusammenhang mit σ-Algebra[Bearbeiten]

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme
  • Ein Dynkin-System \mathcal{D} ist genau dann eine σ-Algebra, wenn es durchschnittsstabil ist.
  • Für jede durchschnittsstabile Teilmenge \mathcal{E} von \mathcal{P}(\Omega) gilt, dass das erzeugte Dynkin-System mit der erzeugten σ-Algebra übereinstimmt: \delta(\mathcal{E}) = \sigma(\mathcal{E}) (siehe σ-Operator).

Beispiele[Bearbeiten]

Das Dynkin-System-Argument[Bearbeiten]

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei \alpha eine Aussage, die für Mengen  A \subseteq \Omega entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei \Sigma eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger \mathcal{E}, für dessen Elemente man \alpha zeigen kann. Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem \mathcal{D} := \{A \in \Sigma \colon A \mbox{ erfüllt } \alpha\} und zeigt, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von  \mathcal{E} einerseits  \delta(\mathcal{E}) = \sigma(\mathcal{E}), andererseits gilt aber auch \mathcal{E} \subseteq \mathcal{D} \subseteq \Sigma und damit wegen  \Sigma = \sigma(\mathcal{E}) = \delta(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{D} schon  \Sigma = \mathcal{D} .

Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]