Eilenberg-MacLane-Raum

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In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Eilenberg-MacLane-Räume eine wichtige Klasse topologischer Räume, die einerseits in der Homotopietheorie als Bausteine dienen, um mittels Faserungen beliebige CW-Komplexe zusammenzusetzen, und andererseits die in der Differentialgeometrie wichtige Klasse der asphärischen Mannigfaltigkeiten umfassen.

Definition[Bearbeiten]

Für eine Gruppe G und eine natürliche Zahl n ist ein zusammenhängender topologischer Raum X ein Eilenberg-MacLane-Raum K(G,n), wenn für seine Homotopiegruppen

\pi_n(X)=G und
\pi_k(X)=0 für alle k\neq 0,n

gilt.

Existenz und Eindeutigkeit[Bearbeiten]

Falls n\ge 2 und G eine abelsche Gruppe oder falls n=1 und G beliebig ist, dann gibt es einen CW-Komplex X, der ein K(G,n) ist.

Dieser CW-Komplex ist bis auf schwache Homotopieäquivalenz eindeutig bestimmt, in der Homotopietheorie werden diese CW-Komplexe deshalb einfach als "der" K(G,n) bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten]

K(G,1)-Räume werden auch als asphärische Räume bezeichnet, sie kommen in zahlreichen Anwendungen in der Mathematik vor.

K(G,n)-Räume für beliebige n spielen in zahlreichen Anwendungen der algebraischen Topologie eine wichtige Rolle.

Postnikov-Zerlegung[Bearbeiten]

Jeder CW-Komplex lässt sich als Postnikow-Turm zerlegen, d.h. als iterierte Faserung, deren Fasern Eilenberg-MacLane-Räume sind. Mittels Spektralsequenzen kann man dann versuchen, die Homotopiegruppen des CW-Komplexes aus den bekannten Homotopiegruppen der Eilenberg-MacLane-Räume zu berechnen.

Singuläre Homologie[Bearbeiten]

Eilenberg-MacLane-Räume stellen die singuläre Homologie dar: für jeden topologischen Raum X, jedes n und jede abelsche Gruppe G gilt

H^n(X,G)=\left[X,K(G,n)\right],

wobei die eckigen Klammern die Menge der Homotopieklassen stetiger Abbildungen bezeichnen.

Gruppenhomologie[Bearbeiten]

Die Gruppenhomologie einer Gruppe G (mit Koeffizienten A) ist per Definition die singuläre Homologe des Eilenberg-MacLane-Raumes K(G,1)

H_*(G;A):=H_*(K(G,1);A),

entsprechend für die Kohomologie von Gruppen.

Literatur[Bearbeiten]

  • S. Eilenberg, S. MacLane: Relations between homology and homotopy groups of spaces Ann. of Math. 46 (1945) pp. 480–509
  • S. Eilenberg, S. MacLane: Relations between homology and homotopy groups of spaces. II Ann. of Math. 51 (1950) pp. 514–533

Weblinks[Bearbeiten]