Einbettungssatz von Whitney

Der Einbettungssatz von Whitney ist ein grundlegendes Theorem in der Differentialgeometrie. Er wurde 1936 vom amerikanischen Mathematiker Hassler Whitney bewiesen. Der Satz besagt, dass jede n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit eine injektive Immersion in $\R^{2n}$ besitzt. Falls die Mannigfaltigkeit kompakt ist, besitzt sie sogar eine abgeschlossene Einbettung in $\R^{2n}$.

Erläuterungen

Die Kernaussage dieses Satzes ist also, dass es eigentlich nur Mannigfaltigkeiten im Euklidischen Raum gibt.

Eine Einbettung einer Mannigfaltigkeit M in eine andere N ist eine injektive Abbildung $f\colon M\to N$, deren Differential df ebenfalls injektiv ist. Anschaulich gesprochen ergibt eine Einbettung in den euklidischen Raum $\R^n$ eine Fläche, die sich nirgends durchdringt oder berührt.

Beispiel

Ein Beispiel ist die Klein’sche Flasche, eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die sich nicht ohne sich selbst zu schneiden in den dreidimensionalen Raum einbetten lässt, wohl aber in den vierdimensionalen $\R^4$.

Das Beispiel der Einbettung des Torus in den dreidimensionalen Raum zeigt, dass die Dimension 2n nicht immer die kleinste Dimension ist, für die eine Einbettung existiert; manchmal genügt auch eine niedrigere Dimension. Aber das Resultat von Whitney ist scharf in dem Sinn, dass es für jedes n = 2^k eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit gibt, die in den 2n-dimensionalen Raum, aber nicht in den (2n − 1)-dimensionalen Raum eingebettet werden kann.

Literatur

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95448-1.

Siehe auch

• Einbettungssatz von Nash

Weblinks

• Klassifikation von Einbettungen