Einheitswurzel

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Für die Bedeutung von Einheitswurzel in der Zeitreihenanalyse siehe Einheitswurzel (Zeitreihenanalyse).

In der Algebra werden Zahlen, deren n-te Potenz die Zahl 1 ergibt, n-te Einheitswurzeln genannt.

Definition[Bearbeiten]

Es sei R ein kommutativer Ring mit Einselement und n\geq 1 eine natürliche Zahl. Ein Element \zeta\in R heißt eine n-te Einheitswurzel, wenn es eine der beiden gleichwertigen Bedingungen erfüllt:

Die n-ten Einheitswurzeln in R bilden eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe R^\times, die oft mit \mu_n(R) bezeichnet wird.

Eine n-te Einheitswurzel \zeta heißt primitiv, falls \zeta^m\ne 1 für m=1,\dotsc,n-1 gilt.

Einheitswurzeln in den komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Im Körper \Bbb C der komplexen Zahlen sind

 \exp\left({2\pi \mathrm i k\over n}\right),\quad k=0,1,\dotsc, n-1

die n-ten Einheitswurzeln. Setzt man

 \zeta_n = \exp\left({2\pi \mathrm i \over n}\right),

so ist \zeta_n primitiv, und diese Zahlen bekommen (in der gleichen Reihenfolge) die einfache Gestalt

1, \zeta_n, \zeta_n^2, \dotsc, \zeta_n^{n-1}.

Ist klar, um welches n es sich handelt, lässt man den unteren Index häufig fallen. Die n-te Einheitswurzel \zeta_n^k ist genau dann primitiv, wenn k und n teilerfremd sind.

Gruppe der Einheitswurzeln[Bearbeiten]

Da 1 und mit \zeta_n^i und \zeta_m^j auch \zeta_n^i\zeta_m^j=\zeta_{nm}^{im+jn} Einheitswurzeln sind, ist die Menge \mu(\C) aller Einheitswurzeln eine Gruppe. Die Abbildung:

f\colon\Q \to \mu(\C)
f\colon \dfrac{k}{n} \mapsto \exp\left({2\pi \mathrm i k\over n}\right)

ist surjektiv. Der Kern dieser Abbildung ist \Z. Die Gruppe der komplexen Einheitswurzeln ist daher isomorph zu der Faktorgruppe \Bbb Q/\Bbb Z.

Geometrischer Bezug[Bearbeiten]

Die n-ten Einheitswurzeln lassen sich in der komplexen Zahlenebene geometrisch anschaulich interpretieren: Sie sind die auf dem Einheitskreis (mit Mittelpunkt 0 und Radius 1) liegenden Ecken eines regelmäßigen n-Ecks, wobei eine der Ecken die Zahl 1 ist, denn diese ist für jedes n\geq 1 eine n-te Einheitswurzel.

Realteil und Imaginärteil der Einheitswurzeln \zeta_n^k = x_k + \mathrm i\, y_k sind damit die Koordinaten der Ecken des n-Ecks auf dem Kreis, d. h. für k=0,1,\dotsc,n-1 ist

 x_k = \cos (2\pi k/n) = \cos (360^\circ \cdot k/ n )    und   y_k = \sin (2\pi k/n) = \sin (360^\circ \cdot k/ n ) .

Mehr siehe unter Radizieren komplexer Zahlen.

Summe der Einheitswurzeln[Bearbeiten]

Ist \zeta eine n-te Einheitswurzel, so gilt

1+\zeta+\zeta^2+\dotsb+\zeta^{n-1}=\begin{cases} n & \mathrm{falls}\ \zeta = 1 \\ 0 & \mathrm{sonst}. \end{cases}

Diese Aussage folgt unmittelbar aus der geometrischen Summenformel und ist ein Spezialfall der analogen Aussage für Charaktere von Gruppen.

Beispiele[Bearbeiten]

Die zweiten, dritten und vierten Einheitswurzeln[Bearbeiten]

Die Funktion x3-1
Die dritten Einheitswurzeln

Die zweiten Einheitswurzeln sind

 \zeta_1 = -1,\quad \zeta_2 = 1 ;

die dritten Einheitswurzeln sind

 \zeta_1 = -\frac12+\frac{\mathrm i}2\sqrt3,\quad \zeta_2 = -\frac12-\frac{\mathrm i}2\sqrt3,\quad \zeta_3 = 1 ;

die vierten Einheitswurzeln sind wieder von einfacherer Form:

 \zeta_1 = \mathrm i,\quad \zeta_2 = -1,\quad \zeta_3 = -\mathrm i,\quad \zeta_4= 1 ,

wobei i die imaginäre Einheit ist.

Die fünften Einheitswurzeln[Bearbeiten]

Die Funktion x5-1
Die fünften Einheitswurzeln

Aus 0=1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4 folgt

0=\frac{1}{\zeta^2}+\frac{1}{\zeta}+1+\zeta+\zeta^2 = \left({\zeta}+\frac{1}{\zeta} \right)^2+ \left({\zeta}+\frac{1}{\zeta} \right)-1 = w^2+w-1

für w=\zeta+\frac{1}{\zeta}=\zeta+\zeta^4=2 \cos (72^\circ ). Lösen dieser quadratischen Gleichung liefert w=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}}. Da der Winkel 72^\circ im 1. Quadranten liegt, ist w positiv, und damit ist \cos(72^\circ)=\frac{\sqrt{5} - 1}{4} der Realteil von \zeta. Der Imaginärteil ist nach dem Satz des Pythagoras \sin(72^\circ)=\sqrt{\frac{\sqrt{5} + 5}{8}}.

Eigenschaften der Einheitswurzeln[Bearbeiten]

Einheitswurzeln in Körpern[Bearbeiten]

In einem Körper K bilden die n-ten Einheitswurzeln eine zyklische Untergruppe der multiplikativen Gruppe K^\times. Ihre Anzahl ist stets ein Teiler von n. Ist sie gleich n, so sagt man, K „enthalte die n-ten Einheitswurzeln“.

Enthält K die n-ten Einheitswurzeln, so ist eine Einheitswurzel genau dann primitiv, wenn sie die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln erzeugt. Die primitiven n-ten Einheitswurzeln sind genau die Nullstellen des n-ten Kreisteilungspolynoms.

Erweiterungen von \Bbb Q, die durch Adjunktion von Einheitswurzeln entstehen, heißen Kreisteilungskörper.

Einheitswurzeln in Restklassenringen[Bearbeiten]

  • Im Ring \Z_{2^n+1} = \Z / (2^n+1)\Z der ganzen Zahlen modulo (2^n+1) ist die Zahl 2 eine primitive 2n-te Einheitswurzel, denn in diesem Ring gilt 2^n=-1.
  • Im Ring \Z_{2^n-1} = \Z / (2^n-1)\Z der ganzen Zahlen modulo (2^n-1) ist die Zahl 2 eine primitive n-te Einheitswurzel.

Diese beiden speziellen Restklassenringe sind für die Computeralgebra höchst bedeutsam, denn sie ermöglichen eine nochmals drastisch beschleunigte Variante der schnellen diskreten Fouriertransformation. Dies liegt darin begründet, dass Addition und Multiplikation dieser Restklassenringe durch entsprechende zyklische Addition und Multiplikation in einem unwesentlich größeren Restklassenring ersetzt werden können, und damit in binärer Zahlendarstellung die Multiplikation mit Potenzen der Zahl 2 eine zyklische binäre Shift-Operation bedeutet, was wesentlich schneller durchführbar ist als eine allgemeine Multiplikation zweier Zahlen. Die erhebliche Zeitersparnis für die diskrete Fourier-Transformation ergibt sich aus der Tatsache, dass während der schnellen Fouriertransformation viele Multiplikationen mit der gewählten Einheitswurzel durchzuführen sind.

Literatur[Bearbeiten]