Eins

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Eins (Begriffsklärung) aufgeführt.
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Die Eins (1) ist die natürliche Zahl zwischen null und zwei. Sie ist ungerade, eine Quadrat- und eine Kubikzahl.

Mathematische Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Zahl 1 ist keine Primzahl, aber Teiler jeder natürlichen Zahl. Sie wird oft als die kleinste natürliche Zahl genommen (manche Autoren zählen jedoch die natürlichen Zahlen von null an). Ihre Primfaktorzerlegung ist das leere Produkt mit 0 Faktoren, das definitionsgemäß den Wert 1 hat. Die 1 wird häufig als eine der fünf wichtigsten Konstanten der Analysis bezeichnet (neben 0, π, e und i). Die eulersche Identität

\begin{matrix} e^{\mathrm{i}\,\pi} +1 = 0\end{matrix}

stellt einen einfachen Zusammenhang zwischen diesen mathematischen Konstanten her.

Die 1 wird auch in anderen Bedeutungen in der Mathematik verwendet, wie etwa als neutrales Element bei der Multiplikation in einem Ring, genannt Einselement. In diesen Systemen können andere Rechenregeln gelten, sodass 1+1 verschiedene Bedeutungen hat und verschiedene Resultate ergeben kann. Mit 1 werden in der linearen Algebra auch Einsvektoren und Einsmatrizen, deren Elemente alle gleich dem Einselement sind, und die identische Abbildung bezeichnet.

Bedeutung in der Informatik[Bearbeiten]

In der Informatik ist die Eins sehr wichtig, da sie zusammen mit der Null ein Teil des Binärsystems ist. Sie steht in der Maschinensprache für „An“ (On) und ist in Programmiersprachen als Datentyp boolesche Variable wiederzufinden (1 = wahr = true, 0 = falsch = false).

In der Datenmodellierung (speziell im Entity-Relationship-Modell), in der Beziehungen und Häufigkeiten von Entitäten zueinander geklärt und beschrieben werden, spielt die „zu-1“-Beziehung eine wichtige Rolle, da sie die Eindeutigkeit einer Zuordnung festlegt. Beispielsweise steht die Entität „Kfz“ zur Entität „Besitzer“ in einer „N-zu-1“-Beziehung: Ein Besitzer kann mehrere Kfz haben, aber jedes Kfz muss genau einen Besitzer haben.

Schreibweisen[Bearbeiten]

Das Symbol 1[Bearbeiten]

Das Symbol 1 wird als Ziffer des Stellenwertsystems verwendet. Steht die Ziffer 1 allein, so bedeutet sie nach üblicher Interpretation die Zahl Eins. Insbesondere ist die 1 die größte Ziffer im Dualsystem.

In Deutschland wird die Ziffer 1 handschriftlich vorwiegend in zwei Zügen gezeichnet: Ein senkrechter Strich und ein kleinerer Schrägstrich. In anderen Ländern wie beispielsweise England hingegen wird nur ein senkrechter Strich gezeichnet. Die deutsche Schreibweise mit zwei Strichen wird in England daher oft fälschlicherweise als 7 gelesen. Beim Schreiben von römischen Zahlen und oft auch Binärzahlen wird die 1 auch in Deutschland als alleinstehender Strich gezeichnet.

Periodischer Dezimalbruch[Bearbeiten]

Die Zahl Eins besitzt neben der üblichen Schreibung als 1 eine periodische Dezimalbruchdarstellung als 0{,}\bar9=0{,}999\ldots.

Diese Aussage lässt sich auf verschiedene Arten beweisen, z. B. durch die folgenden:

Zurückführung auf einen bekannten unendlichen Dezimalbruch[Bearbeiten]

\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots
3 \cdot\frac{1}{3} = 3 \cdot 0{,}333\ldots
1 = 0{,}999\ldots

Dieser Beweis ist weit verbreitet – es ist aber folgendes zu bedenken:

  1. Die erste Zeile wird hier vorausgesetzt, wäre aber eigentlich mit ähnlichen Mitteln zu beweisen wie die Aussage selbst.
  2. Der Übergang von der zweiten zur dritten Zeile verwendet auf der rechten Seite eine Eigenschaft von Grenzwerten, nämlich, dass die Multiplikation mit einer Konstanten (hier 3) mit der Grenzwertbildung vertauschbar ist.

Anordnung der reellen Zahlen[Bearbeiten]

Die Gleichheit ist eine Konsequenz aus der Tatsache, dass zwei reelle Zahlen x und y nur dann verschieden sind, wenn es eine reelle Zahl z gibt, die zwischen ihnen liegt, für die also x < z < y oder y < z < x gilt. Die Existenz einer solchen Zahl z ist in diesem Fall nach Definition der Dezimalbruchentwicklung nicht möglich. Bei dieser Argumentation wird verwendet, dass jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwicklung besitzt. Eine Tatsache, die es natürlich vorher auch zu beweisen gilt.

Grenzwert einer Zahlenfolge[Bearbeiten]

0{,}999\ldots ist der Grenzwert der Zahlenfolge 0{,}9\ \ 0{,}99\ \ 0{,}999\ \ 0{,}9999\ \ \ldots
Das allgemeine Glied a_n dieser Folge ist a_n = 0{,}\underbrace{ 99\ldots9 }_{n}. Die Differenz zwischen 1 und a_n ist \frac{1}{10^n}. Für jedes noch so kleine \varepsilon>0 findet man ein n mit \frac{1}{10^m}<\varepsilon für alle m>n. Also gilt nach Definition des Grenzwerts 0{,}999\ldots = 1.

Geometrische Reihe[Bearbeiten]

Für die periodische Dezimalbruchdarstellung 0{,}\overline{9} gilt

0{,}\overline{9}=\sum_{n=1}^\infty\frac{9}{10^n}=\sum_{n=0}^\infty\frac{9}{10}\cdot\frac{1}{10^n}.

Dies ist eine unendliche geometrische Reihe der Form \sum_{i=0}^{\infty} a\cdot q^{i}. Solche Reihen sind für |q |< 1\; konvergent und haben den Wert a\cdot\frac{1}{1-q}. Mit a=\frac{9}{10} und q=\frac{1}{10}<1 ergibt sich der Summenwert als \frac{9}{10}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{9}{10}\cdot\frac{1}{\frac9{10}}=1.

Andere Stellenwertsysteme[Bearbeiten]

In anderen Stellenwertsystemen tritt an die Stelle der Ziffer 9 die höchste Ziffer des jeweiligen Systems. Im Binärsystem ist also 1 gleich 0{,}111\ldots, im Hexadezimalsystem gleich 0,FFF... etc.

Andere Zahlschriften[Bearbeiten]

Die römische Zahl für eins ist I. In der hebräischen Schrift hat der Buchstabe Aleph (א) den Zahlenwert der eins, in der arabischen Schrift dessen Äquivalent, das Alif (‏ا‎). Das arabische Schriftzeichen für die Eins ist ١; in Bengalî wird die Zahl ebenfalls ۱ geschrieben, in Devanagari १, in Malayalam ൧ und in chinesisch 一.

Sonstige Bedeutungen[Bearbeiten]

  • Die Eins wird in vielen Ländern als Schulnote verwendet und steht unter anderem in Deutschland und Österreich für „sehr gut“, bezeichnet in der Schweiz jedoch die schlechteste Note.
שְׁמַע יִשְׂרָאֵל יְהוָה אֱלֹהֵינוּ יְהוָה אֶחָד (schəma jisrael adonai elohenu adonai echad)
„Höre Jisrael! Adonai (ist) unser Gott; Adonai (ist) Eins“ (Deuteronomy 6:4; siehe Talmud Sukkot 42a und Berachot 13b).

Sprachliches[Bearbeiten]

Wörter, die eine Einzigkeit ausdrücken, beginnen häufig mit der griechischen Vorsilbe mono, etwa Monokel oder Monografie, oder sind aus dem lateinischen singularis oder solus abgeleitet, wie Singular oder Solo.

Wörter, die eine Einheitlichkeit ausdrücken, sind häufig aus dem lateinischen unus abgeleitet: Union oder Uniform. Auch Wörter die Einzigartigkeit darstellen, wie z.B. Unikat, unifarben... sind vom lateinischen unus abgeleitet.

Wird auf die Rang- oder Abfolge Bezug genommen, so wird der lateinische Stamm prim- verwendet, etwa bei Primus oder Primzahl.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: 1 (number) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: eins – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen