Einsetzungsverfahren

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Das Einsetzungsverfahren dient zur Lösung von Gleichungssystemen. Die Idee bei diesem Verfahren ist, eine der Gleichungen nach einer Variablen aufzulösen und diese Variable dann in die anderen Gleichungen einzusetzen. Dadurch wird eine Variable eliminiert.

Dieses Verfahren lässt sich auch bei größeren oder nichtlinearen Gleichungssystemen anwenden, es wird dann aber schnell unübersichtlich. Wenn man allerdings nach dem folgenden Algorithmus vorgeht, kann man den Überblick, auch bei großen Gleichungssystemen, wahren:

Es existieren n Gleichungen mit n Variablen.

  • Schritt 1: Auflösen der ersten Gleichung (einer beliebigen Gleichung) zur letzten Variablen.
  • Schritt 2: Einsetzen dieser Gleichung in alle anderen Gleichungen.

Es entsteht ein Gleichungssystem mit n-1 Variablen. Die Schritte 1 und 2 werden so lange ausgeführt, bis nur noch eine Gleichung mit einer Variablen übrigbleibt.

Nun setzt man von unten alle Variablen ein.

Hinweis: da beim Einsetzen sehr unübersichtliche Ausdrücke entstehen, ist es zweckmäßig zwischendurch Vereinfachungen zu machen. Wenn man Konstanten zusammenfassen kann, sollte man dies tun. Brüche mit Konstanten sollten notfalls zu einer neuen Konstante zusammengefasst werden. (a +b +c)/(e+f) = h, wobei a,b,c,e,f,h alle konstant sind!

Beispiel mit zwei Variablen[Bearbeiten]

Bei einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen geht man so vor:

  • Schritt 1: Auflösung einer Gleichung nach einer Variablen
  • Schritt 2: Einsetzen dieser Variablen in die andere Gleichung
  • Schritt 3: Auflösen der im Schritt 2 erhaltenen Gleichung nach der enthaltenen Variable
  • Schritt 4: Einsetzen der Lösung in die nach Schritt 1 umgeformten Gleichung

Zahlenbeispiel[Bearbeiten]

Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:

\begin{matrix}
(I) & 12x & - & 5y & = & 29\\
(II) & 18x & + & 2y & = & 34
\end{matrix}

Schritt 1:

Eine der beiden Gleichungen muss nach x oder y aufgelöst werden. In diesem Beispiel wird die 2. Gleichung nach y aufgelöst.

\begin{matrix}
(II) & 18x & + & 2y & = & 34       & |&-18x \\
(II) &     &   & 2y & = & 34 - 18x & |&:2 \\
(II) &     &   &  y & = & 17 - 9x
\end{matrix}

Schritt 2:

Danach können wir in der ersten Gleichung das y durch den Term (17 - 9x) ersetzen und bekommen dann:

\begin{matrix}
(II \text{ in } I) & 12x & - & 5 \cdot (17 - 9x) & = & 29
\end{matrix}

Schritt 3:

Diese Gleichung können wir nun nach x auflösen.

\begin{matrix}
12x  -  5 \cdot (17 - 9x) & = & 29  & |&\text{Klammer auflösen} \\
12x  -  85 + 45x      & = & 29  & |&\text{zusammenfassen}   \\
57x  -  85            & = & 29  & |&+85 \\
57x                   & = & 114 & |&:57 \\
                    x & =  & 2
\end{matrix}

Schritt 4:

Die Lösung x = 2 wird in die umgestellte Gleichung (II) eingesetzt:

\begin{matrix}
x=2 \text{ in (II) einsetzen:} & y & = &  17 - 9\cdot2\\
                              & y & = & -1
\end{matrix}

Nun können wir noch die Probe machen:

\begin{matrix}
\text{Probe:} & (I) & 12 \cdot 2  - 5 \cdot (-1) & = & 29 \\
              &     & 24 - (-5)          & = & 29 & \text{wahr} \\
              & (II) & 18 \cdot 2 + 2 \cdot (-1)  & = & 34 \\
              &     & 36 + (-2)          & = & 34 & \text{wahr}
\end{matrix}

Die Lösungsmenge ist somit: \mathbb{L}=\{(2|-1)\}.

Siehe auch[Bearbeiten]