Einstein-Smoluchowski-Beziehung

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Dieser Artikel erläutert die Einstein-Smoluchowski-Beziehung in der kinetischen Gastheorie. Für weitere Bedeutungen – siehe Einstein-Gleichung.

Die Einstein-Smoluchowski-Beziehung, auch Einstein-Gleichung genannt, ist eine Beziehung im Bereich der kinetischen Gastheorie, die zuerst von Albert Einstein (1905) und danach von Marian Smoluchowski (1906) in ihren Schriften zur Brownschen Bewegung aufgedeckt wurde. Sie verknüpft den Diffusionskoeffizienten D mit der Beweglichkeit μ der Teilchen:

D = \mu \cdot k_\mathrm{B} \cdot T

Darin bezeichnet

Es handelt sich um ein frühes Beispiel für eine Fluktuations-Dissipations-Beziehung.

Diffusion von Teilchen[Bearbeiten]

In Bereichen mit niedriger Reynolds-Zahl ist die Beweglichkeit der Kehrwert des Strömungskoeffizienten \gamma:

\mu = \frac{1}{\gamma}

Die Stokessche Gleichung liefert für kugelförmige Teilchen mit Radius r:

\gamma = 6 \pi \cdot \eta \cdot r

wobei η die Viskosität des Mediums bezeichnet.

Damit lässt sich die Einstein-Gleichung umformen in:

\Rightarrow D = \frac{k_\mathrm{B} \cdot T}{6 \pi \cdot \eta \cdot r}

Diese Form wird auch Stokes-Einstein-Gleichung genannt.

Sie kann z. B. genutzt werden, um den Diffusionskoeffizienten eines globulären Proteins in wässriger Lösung zu bestimmen: wenn wir eine Dichte von ~1,2 · 103 kg/m3 annehmen, erhalten wir für ein Protein von 100 kDa: D ~10-10 m2/s.

Elektrische Leitfähigkeit[Bearbeiten]

Bezogen auf die elektrische Leitfähigkeit definiert man zunächst die Elektronenbeweglichkeit:

\mu  = \frac{v_d}{E}

wobei


Für einen Halbleiter mit beliebiger Zustandsdichte teilt man für gewöhnlich den rechten Teil der Gleichung durch die Ladung q des Ladungsträgers. Dann lautet die Einstein-Gleichung

D = \frac{\mu \cdot p}{q \cdot \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}\eta}}

mit


Diese Beziehung gilt ebenso für die Beweglichkeit von Ionen. Somit wird die Einstein-Gleichung zur "Nernst-Einstein-Beziehung":

\Rightarrow D = \frac{\mu \cdot k_\mathrm{B} \cdot T}{q}

mit

  • \, q Ladung der Teilchen,
  • \, k die Boltzmann-Konstante,
  • \, T die absolute Temperatur ,
  • \, D Diffusionskoeffizient der Teilchen im Medium