Einsteinsche Mannigfaltigkeit

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Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.

Definition[Bearbeiten]

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit (M,g) heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante  \lambda existiert, so dass

\operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda \,g_p(X,Y)

gilt. Dabei ist \operatorname{Ric}_p der (0,2)-Ricci-Tensor und X,Y \in T_pM für jedes p \in M. Die pseudo-riemannsche Metrik g heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen n \geq 4 von eigenständigem Interesse, da sie für n = 2 und n = 3 mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.
  • Sei n \geq 3. Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes p \in M eine Konstante \lambda_p (in Abhängigkeit von p\,) existiert, so dass
\operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda_p \,g_p(X,Y)
gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier \lambda vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.
  • Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante \lambda haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante \lambda.
\operatorname{Ric}_p(X,Y) - \frac{1}{2}\,g_p(X,Y)\,s_p + g_p(X,Y)\,\Lambda = 0
mit der kosmologischen Konstante \Lambda und dem Krümmungsskalar s_p ist. Durch Spurbildung in der Gleichung \operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda \,g_p(X,Y) erhält man
s_p = n \lambda,
dabei bezeichnet n\, die Dimension der Mannigfaltigkeit.

Literatur[Bearbeiten]