Eisensteinreihe

Eisensteinreihen (nach dem deutschen Mathematiker Gotthold Eisenstein) sind verschiedene Reihen aus der Theorie der Modulformen bzw. automorphen Formen.

Holomorphe Eisensteinreihen

Eisensteinreihen auf dem Raum der Gitter

Die Eisensteinreihe vom Gewicht $k$ zum Gitter $\Omega$ in $\mathbb{C}$ ist die unendliche Reihe der Form

$G_k(\Omega):=\sum_{0\not=\omega\in\Omega} \omega^{-k}$.

Solche Reihen sind absolut konvergent für $k\ge3$, für k ungerade ist $G_k(\Omega)=0$.

Eisensteinreihen auf der oberen Halbebene

G_4

G_6

G_8

G_10

G_12

G_14

Die Untersuchung der Eisensteinreihen lässt sich oBdA auf Gitter in der oberen Halbebene beschränken, denn für ein solches Gitter $\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau$ mit $\tau\in\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Im}z>0\}$ und eine Basis $(\omega_1,\omega_2)$ von $\Omega$ gilt stets:

$G_k(\Omega)=G_k(\omega_1,\omega_2)=\omega_2^{-k}G_k\left(\frac{\omega_1}{\omega_2},1\right)$,

und da die Basis so gewählt werden kann, dass $\frac{\omega_1}{\omega_2}\in\mathbb{H}$ gilt, ergibt sich damit

$G_k(\tau):=G_k(\tau,1)=\sum_{(0,0)\not=(m,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}} \frac{1}{(m\tau+n)^k}$.

Die Eisensteinreihe $G_k$ ist eine Modulform vom Gewicht $k$ zur Gruppe $\text{Sl}_2(\mathbb{Z})$, das heißt für $a,b,c,d\in\mathbb Z$ mit $ad-bc=1$ gilt

$G_k\!\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right)=(c\tau+d)^kG_k(\tau).$

Für $k\ge8$ sind die $G_k$ Polynome mit rationalen Koeffizienten in $G_4$ und $G_6$, d.h. $G_k\in\mathbb{Q}[G_4,G_6]$, es gilt die Rekursionsformel:

$(n-3)(2n+1)(2n-1)G_{2n}=3\sum_{p=2}^{n-2} (2p-1)(2n-2p-1)G_{2p}G_{2n-2p}$

Speziell für n=4 ergibt sich hieraus $7G_8=3G_4^2$ und durch einen Koeffizientenvergleich der Fourierentwicklungen (siehe unten) die bemerkenswerte zahlentheoretische (Hurwitz-Identität, nach Adolf Hurwitz):

$\sigma_7(m)=\sigma_3(m)+120\sum_{r,s\in\mathbb{N},r+s=m} \sigma_3(r)\sigma_3(s)$,

dabei ist

$\, \sigma_k(n)=\sum_{d|n} d^k$

die Summe der k-ten Potenzen der Teiler von n. Diese Formel lässt sich aber auch elementar (das heißt nicht funktionentheoretisch) beweisen.

Fourierentwicklung

Die Eisensteinreihen lassen sich in eine Fourierreihe entwickeln:

$G_k(\tau)=2\zeta(k)+2\frac{(2\pi i)^k}{(k-1)!}\sum_{m=1}^{\infty} \sigma_{k-1}(m)e^{2\pi im\tau}$,

dabei ist $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$ die Riemannsche Zetafunktion.

Bezug zu elliptischen Funktionen

Es sei $g_2=60G_4$ und $g_3=140G_6$. Dann erfüllt die Weierstraßsche ℘-Funktion zum Gitter $\Omega$ die Differentialgleichung

$(\wp'(z))^2=4\wp(z)^3-g_2(\Omega)\wp(z)-g_3(\Omega).$

Literatur

• Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
• Max Koecher & Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007) ISBN 978-3-540-49324-2