Elektrischer Widerstand

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Dieser Artikel betrachtet Widerstand als physikalische Eigenschaft; zu dem gleichnamigen elektrischen Bauelement siehe Widerstand (Bauelement).
Physikalische Größe
Name Elektrischer Widerstand
Formelzeichen der Größe R,\, Z,\, X
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI Ω M·L2·I−2·T−3

Der elektrische Widerstand ist in der Elektrotechnik ein Maß dafür, welche elektrische Spannung erforderlich ist, um eine bestimmte elektrische Stromstärke durch einen elektrischen Leiter (Widerstand) fließen zu lassen. Als Formelzeichen für den elektrischen Widerstand wird in der Regel R – abgeleitet vom Lateinischen resistere für „widerstehen“ – verwendet. Der Widerstand hat die SI-Einheit Ohm, ihr Einheitenzeichen ist das große Omega (Ω).

Verwandt mit dem Widerstand ist der spezifische elektrische Widerstand (Formelzeichen ρ). Bei dieser Größe handelt es sich um eine Materialkonstante (zu Einflussgrößen siehe unten). Sie ermöglicht eine von der geometrischen Form des ausgeführten Leiters unabhängige Beschreibung der Widerstandseigenschaft.

Auf historische Zusammenhänge wird im Artikel „Ohmsches Gesetz“ eingegangen.

Ohmscher Widerstand

Hauptartikel: Ohmsches Gesetz

Grundlegende Zusammenhänge

Ein ohmscher Widerstand ist ein elektrischer Widerstand, dessen Widerstandswert im Idealfall unabhängig von der Spannung, der Stromstärke und der Frequenz ist. An einem solchen ohmschen Widerstand gilt das ohmsche Gesetz. Wenn man die Spannung U über der Stromstärke I in Form eines U-I-Diagramms aufträgt, erhält man eine Ursprungsgerade, der Zusammenhang ist also direkt proportional:

R = \frac U I = \text{const.}\,; \quad U =R\cdot I\,;\quad I=\frac UR.

Näherungsweise und mit Einschränkungen kann ein ohmscher Widerstand durch ein Bauelement, im einfachsten Fall einen Metalldraht, realisiert werden, das üblicherweise ebenfalls einfach Widerstand – siehe Widerstand (Bauelement) – genannt wird.

Wenn Strom durch einen Widerstand fließt und Spannung daran abfällt, wird elektrische Leistung gemäß

P=U\cdot I=\frac{U^2}R=I^2\cdot R

in Wärmeleistung umgesetzt.

Der Kehrwert des ohmschen Widerstands, also der Proportionalitätsfaktor zwischen Stromstärke und Spannung, heißt elektrischer Leitwert G eines Leiters. Es gilt also:

G = \frac 1R.

Berechnung des Widerstands eines Leiters

Der ohmsche Widerstand eines Körpers lässt sich aus seinen geometrischen Abmessungen und einer materialspezifischen Konstante, dem spezifischen Widerstand ρ, berechnen.

Widerstandsformel.svg

Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsfläche A und der Länge l gilt:

R = \rho \cdot \frac lA

Der spezifische Widerstand selbst ist im Allgemeinen von der Temperatur und eventuell noch weiteren Größen abhängig.

Einflusseffekte

  1. Ein Einfluss der Spannung auf den zuvor beschriebenen Widerstand ist nur bei nicht linearen Widerständen, z. B. Halbleitern, zu beobachten; siehe unten: Differentieller Widerstand. Ein Spannungseinfluss auf den Widerstand einer Glühlampe ergibt sich indirekt über den Temperatureinfluss.
  2. Ein Einfluss der Frequenz ergibt sich bei vielen Widerständen erst bei höheren Frequenzen durch den Skineffekt. Bei Wechselstromwiderständen kann ein Frequenz-Einfluss auch bei niedrigen Frequenzen zu beobachten sein; siehe unten. Zur Abgrenzung bezeichnet man den ohmschen Widerstand auch als Gleichstromwiderstand.
  3. Ein Einfluss der Temperatur ist häufig zu beachten:

Die oben aufgestellte Gleichung für den Gleichstromwiderstand eines geraden Leiters ersetzt man dann beispielsweise durch

R_{20}=\rho_{20} \cdot \frac lA \;,
Beispiele für spezifischen Widerstand
und Temperaturkoeffizient bei 20 °C
Material ρ20 in (Ω·mm2)/m α20 in 1/°C
Silber 16 · 10−3 3,8 · 10−3
Kupfer [1] 17 · 10−3 4,3 · 10−3
Nickel [2] 70 · 10−3 6,6 · 10−3

wobei der Index die Temperatur kennzeichnet, für die die Größen gelten. In Tabellenbüchern ist die übliche Bezugstemperatur 20 °C. Die Werte sind abhängig von Reinheitsgrad sowie thermischer und mechanischer Behandlung; die Tabellenwerte sind nur als Richtwerte zu verstehen.

Der Einfluss der Temperatur t auf den Widerstand R(t) lässt sich in einfachen Fällen mit dem Linear-Temperaturkoeffizienten \alpha und dem Temperaturunterschied \Delta t = t - t_0 darstellen. Dann beschreibt man den Zusammenhang durch eine lineare Gleichung

R(t) = R(t_0)(1 + \alpha_{t_0} \cdot (t-t_0))
bei t_0 = 20\,^{\circ}\mathrm C\;.

Für die meisten Anwendungen mit metallischen Materialien bei nicht zu großen Temperaturbereichen reicht diese lineare Näherung aus; sonst sind Glieder höherer Ordnungen in die Gleichung einzubeziehen. (Ein Beispiel mit Summanden bis zur vierten Potenz siehe Platin im Artikel Widerstandsthermometer.)

Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur größer oder kleiner wird, unterscheidet man zwischen Kaltleitern oder PTC (Widerstandswert steigt, prinzipiell bei allen Metallen; engl. positive temperature coefficient) und Heißleitern oder NTC (Widerstandswert sinkt; engl. negative temperature coefficient).

In der Mess- und Regelungstechnik wird die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes ausgenutzt, zum Beispiel bei Widerstandsthermometern, thermischen Anemometern, Thermostaten oder Einschaltstrombegrenzern.

Es gibt auch verschiedene spezielle Legierungen, die sich durch einen über weite Temperaturbereiche annähernd konstanten spezifischen elektrischen Widerstand auszeichnen, wie das für einen Messwiderstand erforderlich ist.

Wechselstromwiderstand

Hauptartikel: Impedanz

Darstellung

An einem linearen, rein ohmschen Widerstand R, der von Wechselstrom durchflossen wird, haben Spannung und Stromstärke denselben Phasenwinkel. Wenn allerdings eine frequenzabhängige Phasenverschiebung und Widerstandsänderung auftritt, kommt als Anteil am Widerstand eine Komponente X hinzu, die auf Spannungs- bzw. Stromänderungen verzögernd reagiert. Bei sinusförmigem Verlauf von Spannung und Stromstärke wird der Quotient aus den Amplituden oder Effektivwerten als Scheinwiderstand Z bezeichnet. In der komplexen Wechselstromrechnung wird der Scheinwiderstand mit dem Phasenverschiebungswinkel \scriptstyle{\varphi_z} als Impedanz oder komplexer Widerstand \scriptstyle{\underline Z} zusammengefasst.

 \underline Z = Z \cdot \mathrm{e^{j\varphi_z}}

In einer anderen Darstellung werden die zwei Komponenten in der komplexen Ebene zueinander rechtwinklig zu \scriptstyle{\underline Z} zusammengefasst,

 \underline Z =R+ \mathrm jX

Darin werden R als Wirkwiderstand und X als Blindwiderstand bezeichnet. Der Wirkwiderstand, welcher nicht phasenverschiebend arbeitet, wird auch als ohmscher Anteil der Impedanz bezeichnet.

Umrechnungen

Werden die Spannung \scriptstyle{u(t)} und die Stromstärke \scriptstyle{i(t)} als sinusförmige Größen mit der Frequenz \scriptstyle f bzw. der Kreisfrequenz \scriptstyle{\omega = 2\pi f} in der komplexen Ebene durch Zeiger \scriptstyle{\underline u(t)} und \scriptstyle{\underline{i\,}(t)} dargestellt, so erhält man

 \underline Z = \frac{\underline u}{\underline i}= \frac{\hat u \cdot \mathrm e^{\mathrm j(\omega t + \varphi_u)}}{\hat \imath \cdot \mathrm e^{\mathrm j(\omega t + \varphi_i)}} = Z \cdot \mathrm e^{\mathrm j(\varphi_u - \varphi_i)} = Z \cdot (\cos \varphi_z + \mathrm j \sin \varphi_z )

mit

\varphi_u - \varphi_i = \varphi_z\ .

Durch Vergleich der beiden Darstellungen von \underline Z erhält man

\operatorname {Re} (\underline Z) = Z \cdot \cos (\varphi_z) = R (Wirkwiderstand)
\operatorname {Im} (\underline Z) = Z \cdot \sin (\varphi_z) = X (Blindwiderstand)
Impedanz als Zeiger in der komplexen Ebene mit ihren Komponenten

Es ergeben sich der Scheinwiderstand:

Z = |\underline Z| =\frac {|\underline u|}{|\underline i|} = \frac {\hat u}{\hat \imath}= \frac {u_{\text{eff}}}{i_{\text{eff}}}
oder
Z = \sqrt{R^2 + X^2}

und der Phasenverschiebungswinkel zwischen \underline u und \underline {i\,}:

\varphi_z = \arctan \left(\frac XR\right)\ .

Man bezeichnet auch

X = X_C = kapazitiver Blindwiderstand

oder

X = X_L = induktiver Blindwiderstand.

Wie weiter unten gezeigt wird, ist

X_L \geq 0 und  X_C \leq 0\ .

Sonderfälle

  • Für R = 0 ergibt sich:
\varphi_z = \arctan \left(\frac X0\right)
  • Für X > 0 ist \varphi_z=+90^\circ und \underline Z= \mathrm jZ = \mathrm jX ;
  • für X < 0 ist \varphi_z =-90^\circ und \underline Z= -\mathrm jZ = \mathrm jX .
  • Für X = 0 ergibt sich:
\varphi_z = \arctan \left(\frac 0R\right) = \arctan (0) = 0^\circ
\underline Z= Z =R .

Ursachen der komplexen Widerstände

Bei einer Spule mit der Induktivität L gilt

u=L\ \frac{\mathrm di}{\mathrm dt}

Aufgrund einer Spannung wächst die Stromstärke mit der Zeit an. Bei Wechselstrom folgt dieser verzögert.
Mit dem Ansatz in komplexer Schreibweise \underline u und \underline {i\,} wie oben erhält man nach der Differenziation

\underline u=\mathrm j \omega L \cdot {\underline i}
\frac{\underline u}{\underline i}= \mathrm j \omega L= \mathrm j X_L \,;\quad X_L =\omega L\ge 0

Das bedeutet, dass eine Induktivität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt. Mit \mathrm j = \mathrm {e^{j \pi/2}}\ ergibt sich \varphi_z =\mathrm \pi/2 =+90^\circ .

Entsprechend gilt bei einem Kondensator mit der Kapazität C

u=\frac1C \int i \mathrm dt

Aufgrund eines Stromes wächst die Spannung mit der Zeit an. Bei Wechselspannung folgt diese verzögert.
Man erhält in komplexer Schreibweise und nach der Integration

\underline u =\frac1{\mathrm j \omega C} \cdot \underline i
\frac{\underline u}{\underline i}= \frac1{\mathrm j\omega C}= -\mathrm j\;\frac1{\omega C} =\mathrm jX_C\,;\quad X_C= -\;\frac1{\omega C} \le 0

Das bedeutet, dass eine Kapazität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt. Hier ist \varphi_z =-\pi /2=-90^\circ .

Zusammenschaltung, Ersatzwiderstand

Ersatzschaltbilder für Wechselstromwiderstände
links: Parallelschaltung
rechts: Reihenschaltung

Als Ersatzwiderstand wird der komplexe elektrische Widerstand bezeichnet, der denselben Widerstand besitzt wie eine elektrische Schaltung oder der Teil einer elektrischen Schaltung, den er ersetzt. Ein Ersatzwiderstand kann das Verhalten komplexer elektrischer Anordnungen veranschaulichen und eine Berechnung ermöglichen; siehe auch Ersatzschaltbild.

Tatsächlich auftretende Wechselstromwiderstände lassen sich häufig durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand mit einer Induktivität oder mit einer Kapazität beschreiben. Welches der Bilder verwendet wird, ist eine Frage der besseren Annäherung an die Wirklichkeit mit möglichst frequenzunabhängigen Größen und der Zweckmäßigkeit für die mathematische Behandlung.

Bei genauer Betrachtung hat aber auch jeder Kondensator einen kleinen induktiven Anteil, so wie eine Spule auch einen kapazitiven Anteil hat. Selbst ein Stück Draht muss exakt mit R, C und L beschrieben werden; siehe auch Leitungsbelag. Dies zeigt sich im Besonderen dann, wenn die Bauteile mit ihren geometrischen Abmessungen in den Bereich der Wellenlänge der angelegten Wechselspannung kommen; dann besitzen sie einen nicht zu vernachlässigenden sowohl induktiven, als auch einen kapazitiven Anteil. Sie werden gegebenenfalls zum Schwingkreis, als Beispiel sei hier die Antenne genannt. Die Enden dürfen als Kondensatorplatten gesehen werden, der „Draht“ dazwischen als Spule.

Werden ein ohmscher Widerstand und ein Blindwiderstand zusammengeschaltet, so können in komplexer Schreibweise die weiter unten folgenden Regeln für Reihen- und Parallelschaltung angewendet werden.

Werden eine kapazitive und eine induktive Impedanz zusammengeschaltet, so entsteht bei genügend kleiner ohmscher Belastung ein Schwingkreis; die Reihen- und Parallelschaltung und die weiteren Konsequenzen werden unter diesem Stichwort behandelt.

Ortskurve

Ortskurve der Impedanz einer RL-Reihenschaltung
Ortskurve der Impedanz einer RC-Parallelschaltung

Ein anschauliches Hilfsmittel zur Analyse und Beschreibung von Schaltungen mit Wechselstromwiderständen ist die Ortskurve.

Komplexe Größen lassen sich durch Zeiger in der komplexen Ebene darstellen. Wenn die komplexe Größe eine Funktion eines (reellen) Parameters ist und wenn dieser Parameter variiert wird, verschiebt sich die Spitze des Zeigers. Eine Linie durch alle denkbaren Zeigerspitzen bezeichnet man als Ortskurve.

Die Bilder zeigen Ortskurven der Impedanz als Funktion der Frequenz für die angegebenen Schaltungen. Bei einer RL- oder RC-Reihenschaltung mit einem von der Frequenz unabhängigen ohmschen Widerstand ist auch der Wirkanteil der Impedanz von der Frequenz unabhängig. Bei der entsprechenden Parallelschaltung sind der Wirk- und der Blindanteil der Impedanz ersichtlich beide von der Frequenz abhängig.

Reihen- und Parallelschaltung

Reihenschaltung

Werden n Widerstände in Reihe geschaltet, so addieren sich die Widerstände:

R_\text{ges} = \sum_{k=1}^n R_k = R_1 + R_2 + \cdots + R_n = \frac1{G_1} + \frac1{G_2} + \cdots + \frac1{G_n}

Veranschaulichen kann man sich dieses an zwei Widerständen, die sich nur in der Länge unterscheiden.

Widerstand R1 plus R2.svg

Die Reihenschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Länge l_1+l_2. Dann gilt:

R = \rho \cdot \frac{l_1+l_2}A = \rho \cdot \frac{l_1}A + \rho \cdot \frac{l_2}A = R_1 + R_2

Parallelschaltung

Bei der Parallelschaltung von n Widerständen addieren sich die Leitwerte beziehungsweise die reziproken Widerstände:

G_\text{ges} = G_1 + G_2 + \cdots + G_n
\frac 1{R_\text{ges}} = \sum_{k=1}^n \frac1{R_k} = \frac1{R_1} + \frac1{R_2} + \cdots + \frac1{R_n}

alternative Schreibweise:

R_\text{ges}=R_1 \Vert R_2 \Vert \cdots \Vert R_n

Formel für zwei parallele Widerstände:

R_\text{ges}=\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}

Man veranschaulicht sich diesen Zusammenhang an der Parallelschaltung zweier Widerstände, die sich nur in ihrer Querschnittsfläche A unterscheiden.

Widerstand R1 R2 parallel.svg

Man erhält einen Widerstand vom Gesamtquerschnitt A_1+A_2, also gilt:

R = \rho \cdot \frac l{A_1 + A_2}

und daher

\frac1R = \frac{A_1 + A_2}{\rho \cdot l} = \frac{A_1}{\rho \cdot l} + \frac{A_2}{\rho \cdot l}= \frac1{R_1} + \frac1{R_2}

Ist eine Parallelschaltung aus n gleichen Widerständen mit gleichen Werten vorhanden, (R_n = R_1 = R_2 = \cdots) so kann der Gesamtwiderstand errechnet werden, indem man den Einzelwiderstand durch die Anzahl der Widerstände in der Schaltung dividiert:

R_\text{ges} = \frac1n R_n

Differentieller Widerstand

Hauptartikel: Differentieller Widerstand

Bei nichtlinearen Strom-Spannungs-Kennlinien – wie zum Beispiel von Dioden – ist der Quotient für jedes Strom-Spannungspaar unterschiedlich. In diesem Fall gilt das ohmsche Gesetz nicht und man kann nicht von einem ohmschen Widerstand R sprechen. Kleine Spannungsänderungen sind jedoch näherungsweise proportional zu kleinen Stromstärkeänderungen. Der Quotient aus kleiner Spannungsänderung und zugehöriger Stromstärkeänderung bei einer bestimmten Spannung wird als differentieller Widerstand r bezeichnet. In einem Diagramm, in dem U über I aufgetragen wird, entspricht er der Steigung der Tangente am betrachteten Punkt der Kennlinie.

r = \frac{\mathrm du}{\mathrm di}

Negativer differentieller Widerstand

Strom- Spannungscharakteristik einer Tunneldiode

Der differentielle Widerstand kann in einem Teil der Kennlinie negativ sein, so dass die Stromstärke bei steigender Spannung sinkt beziehungsweise die Stromstärke bei sinkender Spannung steigt. Im Bild ist das im Bereich UP < U < UV der Fall. Ein negativer differentieller Widerstand kann zum Anregen (Entdämpfen) von Schwingkreisen oder zur Erzeugung von Kippschwingungen verwendet werden (Oszillator). Der negative differentielle Widerstand tritt zum Beispiel bei Gasentladungen oder bei Bauteilen wie Avalanche- und Tunneldioden auf, in einfachen elektronischen Schaltungen wie der Lambda-Diode, aber auch bei komplexeren Modulen wie z. B. Schaltnetzteilen auf der Eingangsseite.

Positiver differentieller Widerstand

Bei positiven differentiellen Widerständen nimmt die Stromstärke mit zunehmender Spannung zu. Alle real existierenden Schaltungselemente besitzen in einem Teil ihrer Kennlinie, jedoch stets für sehr große Werte, einen positiven differentiellen Widerstand. Die meisten Elemente in der Schaltungstechnik besitzen einen ausschließlich positiven differentiellen Widerstand.

Beispiele: realer Widerstand, Diode, Zener-Diode, alle halbleitenden Keramiken.

Der elektrische Widerstand im Teilchenmodell

Die physikalische Beschreibung benutzt die Vorstellung, dass sich die Valenzelektronen im Metall wie ein Gas (Elektronengas) verhalten. Im einfachsten Modell bildet das Metall ein positiv homogen geladenes Volumen, in denen sich die Elektronen frei bewegen können. In dieses Volumen sind die Atomrümpfe eingebettet, die aus dem Atomkern und den stärker gebundenen Elektronen auf den tieferen, vollbesetzten Schalen bestehen.

Ohne äußere elektrische Spannung bewegen sich die Elektronen ungeordnet im Metall (siehe brownsche Bewegung). Legt man nun eine Spannung an, so werden die freien Elektronen durch das elektrische Feld in Richtung der Feldlinien beschleunigt. Es fließt ein elektrischer Strom.

Auf ihrem Weg durch das Metall kommt es zu elastischen Stößen der Elektronen mit anderen Elektronen, den Atomrümpfen und Phononen. Dabei geben die Elektronen Energie an ihre Stoßpartner ab, werden gestreut und wieder durch das elektrische Feld beschleunigt. Die Elektronen werden durch diese Wechselwirkung dauernd abgebremst und es stellt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit ein.

Die bei diesen Stößen an die Atomrümpfe beziehungsweise Phononen übertragene Energie führt zu einer größeren Eigenschwingung um ihre Gleichgewichtslage, ihre Temperatur erhöht sich. Durch die stärkeren Schwingungen erhöht sich die Querschnittsfläche für mögliche Stöße, deren Anzahl mit steigender Temperatur zunimmt und den Widerstand steigen lässt (Kaltleiter). Der Leitungsvorgang in Heißleitern kann mit diesem Modell nicht vollständig erklärt werden, da es hier mit steigender Temperatur zu einer deutlichen Ladungsträgergeneration kommt, die den eben beschriebenen Vorgang überlagern.

Bei sehr hohen Temperaturen, bei denen die Atome des Materials ionisiert werden (Plasma), ist jeder Stoff elektrisch leitend, da die vorher gebundenen Elektronen nun für den Ladungstransport zur Verfügung stehen. Umgekehrt sind Metalle und Oxide bekannt, für die der elektrische Widerstand bei sehr niedrigen Temperaturen unterhalb einer spezifischen Sprungtemperatur verschwindet: Supraleiter besitzen bei Gleichstrom keinen ohmschen Widerstand, Strom fließt bei dieser tiefen Temperatur ohne Verluste.

Durch die thermische Bewegung der Elektronen entsteht ein temperaturabhängiger Rauschstrom, der als Widerstandsrauschen bezeichnet wird.

Hall-Effekt

Der Hall-Widerstand gibt das Verhältnis Spannung zu Stromstärke eines Hallelementes bei einer bestimmten magnetischen Flussdichte an, wobei diese Spannung quer zur Stromdichte auftritt. Er charakterisiert das Hall-Element bzw. die magnetische Flussdichte, hat jedoch mit dem elektrischen Widerstand dieses Hall-Elementes nichts zu tun.

Der Quanten-Hall-Effekt äußert sich dadurch, dass bei tiefen Temperaturen und starken Magnetfeldern die senkrecht zur Stromdichte auftretende Spannung nicht wie beim klassischen Hall-Effekt linear mit der Flussdichte anwächst, sondern in Stufen. Dieses Phänomen führt auf eine universelle Naturkonstante, die „von-Klitzing-Konstante“ von der Dimension Widerstand. Da die Von-Klitzing-Konstante relativ einfach gemessen werden kann, wurde vorgeschlagen, sie als Normal für Messungen des elektrischen Widerstands zu verwenden.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Datenblatt für Cu 99,9 %
  2. Datenblatt für Ni 99,98 %