Huygenssches Prinzip

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Das huygenssche Prinzip bzw. Huygens-Prinzip, auch huygens-fresnelsches Prinzip genannt (nach Christiaan Huygens und Augustin Jean Fresnel), besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer neuen Welle, der so genannten Elementarwelle, betrachtet werden kann. Die neue Lage der Wellenfront ergibt sich durch Überlagerung (Superposition) sämtlicher Elementarwellen. Da die Elementarwelle eine Kugelform bzw. Kreisform hat, bildet sich auch eine rücklaufende Welle. Aus dem huygenschen Prinzip folgen viele Spezialfälle, wie Beugungserscheinungen im Fernfeld (Fraunhoferbeugung) oder Nahfeldbeugung (Fresnelbeugung).[1]

Huygenssches Prinzip in der Physik[Bearbeiten]

Brechung einer ebenen Wellenfront an der Grenze zweier Medien nach dem huygensschen Prinzip

Das Konzept wurde 1678 von Christiaan Huygens[2] vorgeschlagen, um die Ausbreitung von Licht zu erklären. Demnach ist jeder Punkt, der von einer Wellenfront erreicht wird, Ausgangspunkt für eine kugel- bzw. kreisförmige Elementarwelle, welche sich im selben Ausbreitungsmedium mit gleicher Geschwindigkeit ausbreitet wie die ursprüngliche Welle. Die sich weiter ausbreitende Wellenfront ergibt sich als äußere Einhüllende der Elementarwellen. Huygens nahm an, dass die Elementarwellen nicht rückwärts, sondern nur in Ausbreitungsrichtung wirken, konnte jedoch keine qualitative Erklärung dafür geben.

An der Grenze zweier Medien, in denen die Wellen eine andere Ausbreitungsgeschwindigkeit besitzen, ändert eine Wellenfront, die nicht senkrecht auftrifft, ihre Richtung. Die Theorie von Huygens bot damit eine einfachere Erklärung für die Reflexion (Physik) und Brechung von Licht, als dies mit der Korpuskeltheorie von Newton möglich war.

Eine auftreffende Wellenfront erzeugt kreisförmige Elementarwellen um den jeweiligen Auftreffpunkt, deren Radius sich proportional zur Zeit vergrößert. In den folgenden Bildern sieht man, wie die ersten Kreise angewachsen sind, während der aktuelle Auftreffpunkt nach rechts wandert. Die Tangente an die Kreise stellen eine neue Wellenfront dar, welche die reflektierende Ebene nach rechts oben verlässt. Die Winkel zwischen Wellenfront und Ebene sind gleich.
Beugung einer ebenen Wellenfront an einem Spalt nach dem huygensschen Prinzip

Im Jahr 1816 konnte Augustin Fresnel dieses Prinzip erweitern und damit die Beugung von Licht an Hindernissen erklären. Er zeigte, dass sich nach dem Prinzip der Interferenz (Physik), die resultierende Welle durch Superposition aller Elementarwellen berechnen lässt. Unter anderem sagte Poisson voraus, dass bei Beugung von Licht an einem runden Objekt ein Poisson-Fleck entsteht. Die experimentelle Bestätigung dieses Phänomens war ein Sieg der Wellenoptik gegenüber der damals verbreiteten Korpuskeltheorie. Gustav Kirchhoff zeigte dann, wie sich das huygenssche Prinzip aus den Maxwell-Gleichungen herleiten lässt und präsentierte die präzisere Lösung in Form der kirchhoffschen Beugungsintegrale.[3]

Als Ausbreitungsmedium der Lichtwellen postulierte Huygens den Äther. Dieser wird seit der allgemeinen Akzeptanz der 1905 publizierten speziellen Relativitätstheorie Albert Einsteins nicht mehr als physikalisches Konzept benötigt. Der scheinbare Widerspruch zwischen dem Teilchen- und Wellencharakter von Licht wird in der Quantenmechanik aufgelöst. In diesem Zusammenhang wird das huygensche Prinzip in Form des Zeigermodells zur anschaulichen Erklärung der Ausbreitung von Wahrscheinlichkeitswellen benutzt.

Huygenssches Prinzip in der Mathematik[Bearbeiten]

In der Mathematik findet das huygenssches Prinzip in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen Anwendung. Es besagt, dass Wellengleichungen eine hintere Wellenfront in den Räumen \mathbb R^n für n \geq 3 besitzen. Man spricht von der Existenz einer hinteren Wellenfront, wenn sich eine Störung der Ausgangsdaten in einer Umgebung eines Punktes nicht auf die Lösung der Wellengleichung für hinreichend große Zeiten t auswirkt.

Erklärung des huygenssches Prinzip an der einfachen Wellengleichung u_{tt} - \Delta u = 0

Als Anfangsdaten (für t = 0) gilt:


\begin{align}
u(x,0) &= \phi(x) \\
u_t(x,0) &= \psi(x)
\end{align}

mit t \in \mathbb R als Zeitvariable und x \in \mathbb R^n als Ortsvariable.

Der Fall n = 1[Bearbeiten]

Nach der d'Alembertschen Lösungsformel gilt für u = u(x,t):


   u(x,t) = \tfrac 12 (\phi (x-t) + \phi (x+t)) + \tfrac12 \int_{x-t}^{x+t} \psi(s) \mathrm ds

Stören wir das Anfangsdatum  \phi im Intervall [a,b], dann erkennt man anhand der obigen Formel, dass für den Punkt x_0 \in [a,b] die Störung zum Zeitpunkt  t=T > \max  (x_0 - a, b - x_0) keinen Einfluss mehr hat, denn die Anfangsdaten  \phi (x-T) und  \phi (x+T) wurden nicht gestört. Für  \phi gilt das huygenssches Prinzip.

Sei \psi \neq 0 und man störe das Anfangsdatum \psi in [a,b]. Dann wird man feststellen, dass für jeden Zeitpunkt T die Störung noch Auswirkungen auf die Lösungen u(x,T) hat, denn man integriert über das "Störintervall":

 u(x,T) = \tfrac12 \int_{x-T}^{x+T} \psi(s) \mathrm ds = \tfrac12 \int_a^b \psi(s) \mathrm ds

Fazit: Im Eindimensionalen gilt das huygenssches Prinzip im Allgemeinen nicht, sondern es gilt nur für das Anfangsdatum  \phi .

Der Fall n = 2[Bearbeiten]

Veranschaulichung der Integration über das Störgebiet im \R^2

Die allgemeine Lösungsformel für den zweidimensionalen Fall (nach der Abstiegsmethode) lautet:

\begin{align}
 u(x,t) &= u(x_1, x_2, t) \\
 &= \frac{1}{2\pi} \int_{B(x,t)} \frac{\psi(y)}{\sqrt { t^2 - |y-x|^2}} \mathrm dy \\
 &\quad+ \frac{1}{2\pi} \frac{\partial}{\partial t} \Bigl( \int_{B(x,t)} \frac{\phi(y)}{\sqrt{t^2 - |x-y|^2}} \mathrm dy \Bigr)
\end{align}

B(x,t) bezeichnet die (ausgefüllte) Kreisscheibe mit Mittelpunkt x und Radius t.

Anhand dieser Formel sieht man sofort, dass das huygenssches Prinzip nicht gilt. Denn stört man die Anfangsdaten \phi oder \psi in einem Rechteck R=[a,b]\times[c,d] dann wirkt sich die Störung auch noch zu jeden Zeitpunkt t=T für alle Punkte x_0 \in R aus, denn die Kreisscheibe B(x,t) beinhaltet für diese Punkte x_0 das Rechteck R. Also wird wieder über gestörten Daten integriert.

Der Fall n = 3[Bearbeiten]

Veranschaulichung der Integration über die Kugeloberfläche, die das Störgebiet umschließt, im \R^3

Nach der Kirchhoffschen Formel lautet die Lösung für die Wellengleichung:

\begin{align}
u(x,t) &= u(x_1,x_2,x_3,t) \\
 &= \frac{1}{4\pi t} \int_{S(x,t)} \psi(y) \mathrm d\sigma_t(y) \\
 &\quad+ \frac{\partial}{\partial t} \Bigl( \frac{1}{4 \pi t} \int_{S(x,t)} \phi(y) \mathrm d\sigma_t(y) \Bigr)
\end{align}

S(x,t) bezeichnet die Kugeloberfläche der Kugel mit Zentrum x und Radius t. d\sigma_t(y) bezeichnet das Oberflächenelement der Kugel.

Mithilfe dieser Formel erkennt man sofort, dass im 3D-Fall das huygenssche Prinzip gilt. Werden die Anfangsdaten \phi oder \psi auf einem Quader Q = [a,b]\times[c,d]\times[e,f] gestört, dann wirkt sich diese Störung nicht auf die Lösung für die Punkte x0Q für große t\ge T aus. Man muss nur t so groß wählen, dass die Kugeloberfläche den Quader komplett umschließt und somit nicht mehr über die gestörten Daten Q integriert wird. Offensichtlich muss

T > \max\bigl( \max  (x^0_1 - a, b - x^0_1),\,\max  (x^0_2 - c, d - x^0_2),\,\max (x^0_3 - e, f - x^0_3) \bigr)

gelten.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: huygenssches Prinzip – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. F. Graham Smith, Terry A. King, Dan Wilkins: Optics and Photonics: An Introduction. John Wiley & Sons, 5. Juni 2007, ISBN 978-0-470-01783-8, S. 240f. (Zugriff am 8. September 2013).
  2.  Christiaan Huygens: Traité de la lumière. chez Pierre vander Aa, 1690 (fertiggestellt 1678, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3.  Eugene Hecht: Optics. 2 Auflage. Addison-Wesley, 1987, S. 392ff.