Ellipse

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Dieser Artikel behandelt die geometrische Figur der Ellipse, zu anderen Bedeutungen siehe Ellipse (Begriffsklärung). Nicht zu verwechseln mit Elliptische Kurve.
Ellipse geometrisch
Die Saturnringe erscheinen elliptisch.
Ellipsograph - Ellipsenzirkel nach Fabris

Eine Ellipse ist eine spezielle geschlossene ovale Kurve. Sie zählt neben der Parabel und der Hyperbel zu den Kegelschnitten. Eine anschauliche Definition ist die Definition der Ellipse als Punktmenge.

In der Natur treten Ellipsen in Form von ungestörten keplerschen Planetenbahnen um die Sonne auf. Auch beim Zeichnen von Schrägbildern werden häufig Ellipsen benötigt, da ein Kreis durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen auf eine Ellipse abgebildet wird (s. Ellipse (Darstellende Geometrie)).

Die Ellipse (von griechisch ἔλλειψις élleipsis ‚Mangel‘) wurde von Apollonios von Perge eingeführt und benannt, die Bezeichnung bezieht sich auf die Exzentrizität \varepsilon < 1.[1]

Definitionen und Begriffe[Bearbeiten]

Diese Grafik zeigt die im nachfolgenden Text verwendeten Bezeichnungen auf.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ellipsen zu definieren. Neben der Definition über gewisse Abstände von Punkten ist es auch möglich, eine Ellipse als Schrägbild eines Kreises oder als Schnittlinie zwischen einer entsprechend geneigten Ebene und einem Kreisdoppelkegel zu bezeichnen.

Ellipse als Punktmenge[Bearbeiten]

Eine Ellipse kann definiert werden als die Menge aller Punkte P der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten F1 und F2 gleich ist. Die Punkte F1 und F2 heißen Brennpunkte.

E = \left\{P \mid \overline{F_1 P} + \overline{F_2 P} = \text{konstant}\right\}.

Falls die beiden Brennpunkte zusammenfallen, ist E ein Kreis. Dieser einfache Fall wird in den folgenden Überlegungen oft stillschweigend ausgeschlossen, da die meisten Aussagen über Ellipsen im Kreisfall trivial werden.

Scheitel und Achsen[Bearbeiten]

Die Achse durch die beiden Brennpunkte heißt Hauptachse und wird durch den Mittelpunkt M in ihre zwei großen Halbachsen MS1 und MS2 geteilt. Die Punkte S1 und S2 heißen Hauptscheitel. Die Länge je einer der beiden großen Halbachsen wird mit a bezeichnet:

a = \overline{M S_1} = \overline{M S_2}.

Analog dazu spricht man von den Nebenscheiteln S3 und S4 und der Nebenachse, bestehend aus den kleinen Halbachsen MS3 und MS4. Die Länge der kleinen Halbachsen wird mit b bezeichnet:

b = \overline{M S_3} = \overline{M S_4}.

Haupt- und Nebenachse sind rechtwinklig zueinander und schneiden sich im Punkt M.

Spezielle Abstände[Bearbeiten]

Definition der Ellipse als Punktmenge: Die Strecke von einem Brennpunkt zum Rand der Ellipse und weiter zum zweiten Brennpunkt ist immer gleich lang.

Die Definitionsgleichung zusammen mit Symmetrieüberlegungen ergeben, dass der Abstand der Nebenscheitel S3 und S4 von den Brennpunkten F1 und F2 gerade gleich der Größe a aus der Definition ist:

\overline{F_1 S_3} = \overline{F_2 S_3} = \overline{F_1 S_4} = \overline{F_2 S_4} = a
  • Nach Symmetrieüberlegungen gilt \overline{F_1 S_1} = \overline{S_2 F_2}
\begin{align} 
	\overline{F_1 S_1} + \overline{F_2 S_1}
         &= \overline{F_1 S_1} + \overline{F_2 F_1} + \overline{F_1 S_1}\\
	 &= \overline{S_2 F_2} + \overline{F_2 F_1} + \overline{F_1 S_1}\\
	 &= 2a.\\
\end{align}

Das bedeutet, dass die Punktmenge konkret als

E = \left\{P \mid \overline{F_1 P} + \overline{F_2 P} = 2a\right\}

angegeben werden kann.

Die halbe Länge p einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter, manchmal auch nur Parameter p oder auch semi-latus rectum (die Hälfte des latus rectum = 2 · p) der Ellipse:

p = \tfrac{b^2}a

Exzentrizität[Bearbeiten]

Hauptartikel: Exzentrizität (Mathematik)
Ellipse als Kegelschnitt

Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt lineare Exzentrizität und wird mit e bezeichnet. Die lineare Exzentrizität berechnet sich über das rechtwinklige Dreieck Δ M F1 S3 mit dem Satz des Pythagoras:

e = \sqrt{a^2-b^2}.

Neben der linearen Exzentrizität e wird oft auch die dimensionslose numerische Exzentrizität verwendet:

\varepsilon = \frac ea = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}a \in[0,1)

daraus folgt:

b = a \sqrt{1 - \varepsilon^2}
p = a \cdot (1 - \varepsilon^2)
  • Ist a = b, so ist \varepsilon = 0 und die Ellipse ein Kreis.
  • Ist b = e, so ist \varepsilon = \frac{1}{\sqrt{2}}, und man nennt die Ellipse eine gleichseitige Ellipse oder Ellipse schönster Form.
  • Ist a groß gegen b, so ist \varepsilon annähernd Eins und die Ellipse damit einer Parabel sehr nahe.

Ellipse als Kegelschnitt[Bearbeiten]

Eine Ellipse kann auch als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel angesehen werden, wobei der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der halbe Öffnungswinkel des Doppelkegels sein muss. Die definierende Eigenschaft („Summe der Abstände zu zwei festen Punkten,...“, s. oben) lässt sich mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln nachweisen. Siehe auch Kegelschnitt.

Hauptlage und analytische Definition[Bearbeiten]

Eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt und deren Hauptachse mit der X-Achse zusammenfällt, nennt man Ellipse in der 1. Hauptlage. Es gilt die Gleichung

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

für die Koordinaten der Ellipsenpunkte einer solchen Ellipse.

Ellipse als affines Bild des Einheitskreises[Bearbeiten]

Ellipse als affines Bild des Einheitskreises

Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist die Ellipse als affines Bild des Einheitskreises definiert (s. Leopold,C.,S.55). Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form \vec x \to \vec f_0+A\vec x, wobei A eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und \vec f_0 ein beliebiger Vektor ist. Sind \vec f_1, \vec f_2 die Spaltenvektoren der Matrix A, so wird der Einheitskreis (\cos t,\sin t), 0\le\ t \le 2\pi, auf die Ellipse

\vec x = \vec p(t)= \vec f_0 +\vec f_1 \cos t +\vec f_2 \sin t

abgebildet. \vec f_0 ist der Mittelpunkt und \vec f_1, \vec f_2 zwei konjugierte Halbmesser (s.u.) der Ellipse. \vec f_1, \vec f_2 stehen i.a. nicht senkrecht aufeinander. D.h. \vec f_0\pm \vec f_1 und \vec f_0\pm \vec f_2 sind i.a. nicht die Scheitel der Ellipse. Diese Definition einer Ellipse liefert eine einfache Parameterdarstellung (s.u.) einer beliebigen Ellipse.

Da in einem Scheitel die Tangente zum zugehörigen Ellipsendurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Ellipsenpunkt \vec p'(t) = -\vec f_1\sin t  + \vec f_2\cos t ist, ergibt sich der Parameter t_0 eines Scheitels aus der Gleichung

\vec p'(t)\cdot (\vec p(t) -\vec f_0) = 
(-\vec f_1\sin t  + \vec f_2\cos t)\cdot(\vec f_1 \cos t +\vec f_2 \sin t) =0

und damit aus  \cot (2t_0)= \tfrac{\vec f_1^{\, 2}-\vec f_2^{\, 2}}{2\vec f_1 \cdot \vec f_2}.
(Es wurden die Formeln \cos^2 t -\sin^2 t=\cos 2t,\ 2\sin t \cos t = \sin 2t benutzt.)

Falls \vec f_1 \cdot \vec f_2=0\ ist, ist t_0=0 und die Parameterdarstellung schon in Scheitelform !

Die 4 Scheitel der Ellipse sind  \vec p(t_0),\vec p(t_0\pm\frac{\pi}{2}),\vec p(t_0+\pi)
.

Die Scheitelform der Parameterdarstellung der Ellipse ist

\vec x = \vec p(t)= \vec f_0 +(\vec p(t_0)-\vec f_0) \cos (t-t_0) +(\vec p(t_0+\tfrac{\pi}{2})-\vec f_0) \sin (t-t_0) \ .

Beispiele:

  1.  \vec f_0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec f_1=\begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec f_2=\begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} liefert die übliche Parameterdarstellung der Ellipse mit der Gleichung \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 :\quad 
\vec x=\vec p(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ b\sin t \end{pmatrix}.
    Ellipse: Transformation auf Scheitelform (Beispiel 3)
  2. \vec f_0=\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix},\ \vec f_1=\begin{pmatrix} a\cos \varphi \\ a\sin \varphi\end{pmatrix},\ \vec f_2=\begin{pmatrix} -b\sin \varphi \\ b \cos \varphi\end{pmatrix} liefert die Parameterdarstellung der Ellipse, die aus \tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} = 1 durch Drehung um den Winkel \varphi und anschließende Verschiebung um \vec f_0 hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform. D.h. \vec f_0\pm \vec f_1 und \vec f_0\pm \vec f_2 sind die Scheitel der Ellipse.
  3. Die Parameterdarstellung
\vec x=\vec p(t)=\begin{pmatrix}  \sqrt{3} \\ 0 \end{pmatrix}\cos t+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\sin t einer Ellipse ist nicht in Scheitelform.
Der Scheitelparameter ergibt sich aus  \cot (2t_0)=-\tfrac{1}{\sqrt{3}} zu t_0=-\tfrac{\pi}{6} .
Die Scheitelform der Parameterdarstellung ist:
\vec x=\vec p(t)=\begin{pmatrix}  \ 1 \\ - 1 \end{pmatrix}\cos (t+\tfrac{\pi}{6})+
\sqrt{3}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\sin (t+\tfrac{\pi}{6}).
Die Scheitel sind: (1,-1),(-1,1),(\sqrt{3},\sqrt{3}),(-\sqrt{3},-\sqrt{3}) und
die Halbachsen: a=\sqrt{2},\ b=\sqrt{6}\ .

Bemerkung: Sind die Vektoren \vec f_0, \vec f_1, \vec f_2 aus dem \R^3, so erhält man eine Parameterdarstellung einer Ellipse im Raum.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Brennpunkteigenschaft[Bearbeiten]

Hauptartikel: Brennpunkt (Geometrie)
Brennpunktseigenschaft

Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie, Leitstrahl, oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der Eigenschaft, dass der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse durch die Normale in diesem Punkt halbiert wird. Damit ist der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet, gleich dem Ausfallswinkel, den die Tangente mit dem anderen Brennstrahl bildet. Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, würde demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt.

Da der Weg von einem zum anderen Brennpunkt (entlang zweier zusammengehöriger Brennstrahlen) immer gleich lang ist, wird z. B. Schall nicht nur „verstärkt“ (siehe unten) von einem zum anderen Brennpunkt übertragen, sondern kommt sogar zeit- und phasengleich (also verständlich und nicht interferierend) dort an.

Zwei Ellipsen mit übereinstimmenden Brennpunkten nennt man konfokal.

Eine Ellipse, deren zwei Brennpunkte zu einem zusammenfallen, wird dabei zum Kreis (entspricht verschwindender Exzentrizität, s. o.).

Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik[Bearbeiten]

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich – mit den Ohren – in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Diese Art der Schallübertragung funktioniert in einigen Stationen der Pariser Métro sogar von Bahnsteig zu Bahnsteig. Das gleiche Prinzip der Schallfokussierung wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet. Auch im lampengepumpten Nd:YAG-Laser wird ein Reflektor in Form einer Ellipse verwendet. Die Pumpquelle – entweder eine Blitzlampe oder eine Bogenlampe – wird in dem einen Brennpunkt positioniert, und der dotierte Kristall wird in den anderen Brennpunkt gelegt.

Ellipse mit Leitlinien

Direktrix[Bearbeiten]

Für eine echte Ellipse, d.h. e>0, bezeichnet man eine Parallele zur Nebenachse im Abstand a²/e als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt P der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix d auf der entsprechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrizität:

\overline{P F_1} : \overline{P d_1} = \overline{P F_2} : \overline{P d_2} = \varepsilon. Es ist \varepsilon>0.

Ein gegebener Brennpunkt F, eine Gerade d (die Direktrix) und eine Zahl

0 <\varepsilon < 1

definieren umgekehrt eine Ellipse E als Menge aller Punkte P für die das Verhältnis ihres Abstandes

\overline{FP}

vom Brennpunkt zu ihrem Abstand

\overline{Pd}

von der Geraden d gleich ε ist. (Ein Kreis lässt sich nicht mit Hilfe einer Leitlinie definieren.)

Konjugierte Durchmesser[Bearbeiten]

Ellipse mit zwei konjugierten Durchmessern

Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt) PP' alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser QQ'. Man nennt QQ' den zu PP' konjugierten Durchmesser. Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen Ellipsendurchmesser. In der Zeichnung stimmt also der zu QQ' konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser PP' überein.

Konstruktion[Bearbeiten]

Gärtnerkonstruktion[Bearbeiten]

Gärtnerkonstruktion. Die Summe der beiden Strecken ist konstant.
Hauptartikel: Gärtnerkonstruktion

Eine einfache Möglichkeit, die Ellipse genau zu zeichnen, bietet die Gärtnerkonstruktion. Sie benutzt direkt die Ellipsendefinition: Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen, schlägt man zwei Pflöcke in die Brennpunkte und befestigt daran die Enden einer Schnur mit der Länge 2a. Nun spannt man die Schnur und fährt mit einem Markierungsgerät an ihr entlang. Da diese Methode neben Zirkel und Lineal zusätzliche Hilfsmittel benötigt, handelt es sich nicht um eine Konstruktion der klassischen Geometrie.

Ellipsenzirkel[Bearbeiten]

Funktionsweise eines Ellipsenzirkels

Ebenfalls können Ellipsen mit Frans van Schootens Ellipsenzirkel oder darauf beruhenden Nachbauten konstruiert werden. Der Gelenkmechanismus wurde von dem holländischen Mathematiker im 17. Jahrhundert erfunden. Wenn man am Stift in Punkt E zieht, zeichnet dieser eine Ellipse. Der Mechanismus ist an den Brennpunkten H und I auf der Zeichenunterlage befestigt.

Konstruktion nach de la Hire[Bearbeiten]

Konstruktion nach de la Hire

Mittels der Ellipsenkonstruktion nach de la Hire (auch Konstruktion nach Proklus) können Ellipsenpunkte konstruiert werden, ohne dass die Brennpunkte bekannt sein müssen. Man zeichne zwei konzentrische Kreise mit den Radien b (Innen- oder Nebenkreis) und a (Außen- oder Hauptkreis) und zusätzlich eine vom Zentrum ausgehende Linie mit der Steigung \tan (\alpha ), die beide Kreise schneidet. Die Parallele zur X-Achse durch den Schnittpunkt auf dem Nebenkreis trifft im Punkt P die Parallele zur Y-Achse durch den Schnittpunkt auf dem Hauptkreis. Ändern des Polarwinkels \alpha lässt P der Kontur der Ellipse mit den Halbachsen a und b folgen.

Parallelogrammmethode[Bearbeiten]

Parallelogrammethode

Die Seiten eines Rechtecks mit den Seitenlängen 2a × 4b unterteilt man in jeweils n und 2n Abschnitte. Die Ellipse mit den Halbachsen a und b wird dann Punkt für Punkt – wie in der Grafik gezeigt – konstruiert. Diese Methode beruht auf dem Satz von Steiner über die Erzeugung eines Kegelschnitts. Analoge Methoden gibt es auch für Parabel und Hyperbel.

Papierstreifenmethode[Bearbeiten]

Papierstreifenmethode

Fertigt man einen Papierstreifen der Länge a+b an, markiert den Teilpunkt E, der den Streifen in zwei Strecken der Länge a und b trennt, und lässt die Enden des Papierstreifens auf den Koordinatenachsen gleiten (siehe Bild), so durchläuft der Punkt E eine Ellipse mit den Halbachsen a,b (siehe C. Leopold, S. 60). Die Papierstreifenmethode ist eine Hilfe, die Hauptachsen nach einer Rytz-Konstruktion richtig anzutragen.

Auf Basis eines Kreises[Bearbeiten]

Besonders in der Computergrafik lohnt sich die Ableitung einer Ellipse aus einer Kreisform. Eine achsenparallele Ellipse ist dabei einfach ein Kreis, der in einer der Koordinatenrichtungen gestaucht bzw. gedehnt, mit anderen Worten: anders skaliert wurde. Eine allgemeine, in beliebigem Winkel gedrehte Ellipse kann man aus so einer achsenparallelen Ellipse durch Scherung erhalten, s. a. Bresenham-Algorithmus.

Rytzsche Achsenkonstruktion[Bearbeiten]

Sind zwei konjugierte Durchmesser gegeben, können mit Hilfe der Rytzschen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und die Achsen) bestimmt werden.

Näherung über Krümmungskreise[Bearbeiten]

Konstruktion der Scheitelkrümmungskreise einer Ellipse

Ellipsen lassen sich (mit Zirkel und Lineal) nur punktweise konstruieren, d. h. eine genaue Konstruktion wie zum Beispiel beim Kreis ist unmöglich. Mit Hilfe der Krümmungskreise an den Scheitelpunkten und eines Kurvenlineals lässt sich aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild der Ellipse erstellen. (Ein Krümmungskreis in einem Kurvenpunkt ist der Kreis, der sich in der Umgebung des Punktes am besten an die Kurve anschmiegt.) Die Krümmungsradien in den Scheiteln sind \tfrac{b^2}{a} bzw. \tfrac{a^2}{b} (s. Formelsammlung, unten). Die Mittelpunkte der jeweiligen Scheitelkrümmungskreise lassen sich leicht zeichnerisch bestimmen (s. Bild unten) und die Krümmungskreise einzeichnen (s. Leopold,C.,S.64).

Beispiele[Bearbeiten]

  • Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines Kreiszylinders), so erscheint dieser Kreis als Ellipse. Präziser: Eine Parallelprojektion bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.

Formelsammlung Ellipsengleichungen[Bearbeiten]

Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)[Bearbeiten]

Mittelpunkt (0|0),

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.

Aufgelöst nach y^2:

y^{2}=b^{2}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)=\frac{(a^{2}-x^{2})(a^{2}-e^{2})}{a^{2}}=(a^{2}-x^{2})(1-\epsilon^{2})

Die letzte Form ist praktisch, um eine Ellipse mit Hilfe der beiden Bahnelemente, numerische Exzentrizität und große Halbachse, darzustellen.

Mittelpunkt (x_0|y_0), Hauptachse parallel zur X-Achse:

\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1.

Herleitung[Bearbeiten]

Notes on deduction of formula of an ellipse.svg

Um die Ellipsengleichung herzuleiten (Mittelpunkt (0|0)), stellt man sich zuerst mit Hilfe des nebenstehenden Bildes folgendes Gleichungssystem auf:

(1)   2a=a_{1}+a_{2}

(2)   a_{1}^{2}=y^{2}+(e+x)^{2}

(3)   a_{2}^{2}=y^{2}+(e-x)^{2}

(4)   b^{2}=a^{2}-e^{2}

Formel (1) ist hierbei ein direktes Resultat der Ellipsendefinition. Diese so umgeformt, dass nur quadratische Terme auftreten:

(4a^{2}-a_{1}^{2}-a_{2}^{2})^{2}-4a_{1}^{2}a_{2}^{2}=0

Einsetzen von (2) und (3) liefert:

(a^{2}-e^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}(a^{2}-e^{2})=0

Dies ergibt zusammen mit (4) die gesuchte Beziehung:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-1=0

Ellipsengleichung (Parameterform)[Bearbeiten]

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als X-Achse:


\begin{pmatrix}
  x\\
  y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  a\cos t\\
  b\sin t
\end{pmatrix} \quad \text{mit} \quad 0\le t< 2\pi.

Mittelpunkt (x_0|y_0), Hauptachse parallel zur X-Achse:


\begin{pmatrix}
  x\\
  y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  x_0+a\cos t\\
  y_0+b\sin t
\end{pmatrix}
 \quad \text{mit} \quad 0\le t< 2\pi.

Mittelpunkt (x_0|y_0), Hauptachse um \alpha bezüglich X-Achse rotiert:


\begin{pmatrix}
  x\\
  y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
  x_0 + a\cos t\,\cos\alpha - b\sin t\,\sin\alpha\\
  y_0 + a\cos t\,\sin\alpha + b\sin t\,\cos\alpha
\end{pmatrix}
 \quad \text{mit} \quad 0\le t< 2\pi.

Dabei bezeichnet t den Parameter dieser Darstellung. Dieser entspricht nicht dem Polarwinkel \varphi zwischen der x-Achse und der Gerade, die durch den Ursprung und den jeweiligen Ellipsenpunkt führt. In der Astronomie heißt dieser Parameter bei Keplerellipsen die exzentrische Anomalie, bei Meridianellipsen in der Geodäsie heißt er parametrische oder reduzierte Breite, vgl. Referenzellipsoid.

Für nicht rotierte Ellipsen, also \alpha=0 , hängt der Polarwinkel \varphi, der durch \tan\varphi=y/x definiert ist, mit dem Parameter t zusammen über:

\tan\varphi=\frac{b}{a}\tan t=\sqrt{1-\varepsilon^{2}}\,\tan t

Diese Beziehung erlaubt eine anschauliche Interpretation des Parameters t: Streckt man die y-Koordinate eines Ellipsenpunktes P=(x,y) um den Faktor a/b, so liegt dieser neue Punkt P'=(x,y') auf einem Kreis mit Radius a und demselben Mittelpunkt wie die Ellipse. Der Parameter t ist nun der Winkel zwischen der x-Achse und der Verbindungslinie \overline{MP'}:

y'=\frac{a}{b}y=x\frac{a}{b}\tan\varphi=x\tan t=a\sin t\quad\Longrightarrow\quad\begin{pmatrix}x\\ y' \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}\cos t\\ \sin t \end{pmatrix}

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. des Mittelpunkts)[Bearbeiten]

Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

r(\varphi)=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}\sin^{2}\varphi+b^{2}\cos^{2}\varphi}}=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^{2}\cos^{2}\varphi}} \in[b,a]\quad\text{mit}
\quad 0\le\varphi<2\pi
Exzentrische Anomalie t und wahre Anomalie \varphi_{\mathrm{R}} bzgl. des rechten Brennpunkts sowie wahre Anomalie \varphi_{\mathrm{L}} bzgl. des linken Brennpunkts als Funktion des Polarwinkels \varphi für verschiedene numerische Exzentritäten \varepsilon

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel der Polarkoordinaten, wobei der Mittelpunkt der Ellipse bei (0|0) und ihre Hauptachse entlang der x-Achse liegt:

\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=
\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^{2}\cos^{2}\varphi}}
\begin{pmatrix}\cos\varphi\\ \sin\varphi \end{pmatrix}
\quad\text{mit}\quad 0\le\varphi< 2\pi

Herleitung[Bearbeiten]

Aus der Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten (x/a)^2+(y/b)^2=1 und der Parametrisierung der kartesischen in Polarkoordinaten x=r\cos\varphi und y=r\sin\varphi folgt:

\frac{r^{2}\cos^{2}\varphi}{a^{2}}+\frac{r^{2}\sin^{2}\varphi}{b^{2}}=1\quad\Longrightarrow\quad r^{2}\left(b^{2}\cos^{2}\varphi+a^{2}\sin^{2}\varphi\right)=a^{2}b^{2}

Umstellen und Radizieren liefert den Radius abhängig vom Polarwinkel.

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. eines Brennpunkts)[Bearbeiten]

Hauptachse waagrecht, rechter Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts (Halbparameter p=b^2/a):

r_{\mathrm{R}}(\varphi_{\mathrm{R}})=\frac{a^{2}-e^{2}}{a+e\cos\varphi_{\mathrm{R}}}=\frac{p}{1+\varepsilon\cos\varphi_{\mathrm{R}}} \in[r_{\mathrm{peri}},r_{\mathrm{apo}}]
\quad\text{mit}\quad 0\le\varphi_{\mathrm R}< 2\pi

Hauptachse waagrecht, linker Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

r_{\mathrm{L}}(\varphi_{\mathrm{L}})=\frac{a^{2}-e^{2}}{a-e\cos\varphi_{\mathrm{L}}}=\frac{p}{1-\varepsilon\cos\varphi_{\mathrm{L}}} \in[r_{\mathrm{peri}},r_{\mathrm{apo}}]
\quad\text{mit}\quad 0\le\varphi_{\mathrm L}< 2\pi

Der Wertebereich der Radien erstreckt sich von der Periapsisdistanz r_{\mathrm{peri}} bis zur Apoapsisdistanz r_{\mathrm{apo}}, die folgende Werte haben:

r_{\mathrm{peri}}=\frac{p}{1+\varepsilon}=a(1-\varepsilon)\ ,\qquad r_{\mathrm{apo}}=\frac{p}{1-\varepsilon}=a(1+\varepsilon)

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel \varphi_{\mathrm R} bzw. \varphi_{\mathrm L} der Polarkoordinaten, wobei der rechte Brennpunkt der Ellipse bei (e|0), der linke Brennpunkt bei (-e|0) liegt:

\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}e\\ 0 \end{pmatrix} +
\frac p{1 + \varepsilon \cos \varphi_{\mathrm R}}
\begin{pmatrix}\cos\varphi_{\mathrm R}\\ \sin\varphi_{\mathrm R} \end{pmatrix}
\quad\text{mit}\quad 0\le\varphi_{\mathrm R}< 2\pi
\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}-e\\ 0 \end{pmatrix} +
\frac p{1 - \varepsilon \cos \varphi_{\mathrm L}}
\begin{pmatrix}\cos\varphi_{\mathrm L}\\ \sin\varphi_{\mathrm L} \end{pmatrix}
\quad\text{mit}\quad 0\le\varphi_{\mathrm L}< 2\pi

Der Winkel \varphi_{\mathrm{R}} bzw. \varphi_{\mathrm{L}}, je nachdem welcher Pol Bezugspunkt ist, heißt in der Astronomie die wahre Anomalie.

Herleitung[Bearbeiten]

Man betrachtet ein Dreieck, das von den beiden Fixpunkten F_{\mathrm L}, F_{\mathrm R} und einem beliebigen Punkt P auf der Ellipse aufgespannt wird.

Die Abstände zwischen diesen Punkten betragen: \overline{F_{\mathrm L} F_{\mathrm R}}=2e sowie \overline{F_{\mathrm L} P}=r_{\mathrm L} und nach der Definition der Ellipse \overline{F_{\mathrm R} P}=2a-r_{\mathrm L}. Der Winkel bei F_{\mathrm L} sei \varphi_{\mathrm L}=\angle F_{\mathrm R}F_{\mathrm L}P. Mit dem Kosinussatz gilt nun:

(2a-r_{\mathrm{L}})^{2}=(2e)^{2}+r_{\mathrm{L}}^{2}-2(2e)r_{\mathrm{L}}\cos\varphi_{\mathrm{L}}\quad\Longrightarrow\quad r_{\mathrm{L}}(a-\underbrace{e}_{a\varepsilon}\cos\varphi_{\mathrm{L}})=\underbrace{a^{2}-e^{2}}_{pa}

Analog verläuft die Herleitung für den rechten Pol. Die Abstände lauten \overline{F_{\mathrm L} F_{\mathrm R}}=2e sowie \overline{F_{\mathrm R} P}=r_{\mathrm R} und \overline{F_{\mathrm L} P}=2a-r_{\mathrm R}. Der Winkel bei F_{\mathrm R} sei \pi-\varphi_{\mathrm R}=\angle PF_{\mathrm R}F_{\mathrm L}, da \varphi_{\mathrm R}= \angle (S_{\mathrm R},F_{\mathrm R},P) definiert ist, wobei S_{\mathrm R} den rechten Hauptscheitel markiert.

(2a-r_{\mathrm{R}})^{2}=(2e)^{2}+r_{\mathrm{R}}^{2}-2(2e)r_{\mathrm{R}}\underbrace{\cos(\pi-\varphi_{\mathrm{R}})}_{-\cos\varphi_{\mathrm{R}}}\quad\Longrightarrow\quad r_{\mathrm{R}}(a+\underbrace{e}_{a\varepsilon}\cos\varphi_{\mathrm{R}})=\underbrace{a^{2}-e^{2}}_{pa}

Alternative Herleitung[Bearbeiten]

Durch Gleichsetzen der zweier Gleichungen für r_{\mathrm{L}}^{2}-r_{\mathrm{R}}^{2} erhält man

\left.\begin{array}{l}
r_{\mathrm{L}}^{2}-r_{\mathrm{R}}^{2} =\left[y^{2}+(x+e)^{2}\right]-\left[y^{2}+(x-e)^{2}\right]=4ex=4a\varepsilon x\\
r_{\mathrm{L}}^{2}-r_{\mathrm{R}}^{2} =(r_{\mathrm{L}}+r_{\mathrm{R}})(r_{\mathrm{L}}-r_{\mathrm{R}})=2a(r_{\mathrm{L}}-r_{\mathrm{R}})
\end{array} \right\} 
\implies r_{\mathrm{L}}-r_{\mathrm{R}}=2\varepsilon x

Dies entspricht einerseits mit r_{\mathrm{R}}=2a-r_{\mathrm{L}} und x=r_{\mathrm{L}}\cos\varphi_{\mathrm{L}}-e

2r_{\mathrm{L}}-2a=2\varepsilon(r_{\mathrm{L}}\cos\varphi_{\mathrm{L}}-e)\quad\Longrightarrow\quad r_{\mathrm{L}}(1-\varepsilon\cos\varphi_{\mathrm{L}})=a-\varepsilon e\equiv p

und andererseits mit r_{\mathrm{L}}=2a-r_{\mathrm{R}} und x=r_{\mathrm{R}}\cos\varphi_{\mathrm{R}}+e

2a-2r_{\mathrm{R}}=2\varepsilon(r_{\mathrm{R}}\cos\varphi_{\mathrm{R}}+e)\quad\Longrightarrow\quad r_{\mathrm{R}}(1+\varepsilon\cos\varphi_{\mathrm{R}})=a-\varepsilon e\equiv p

Formelsammlung Kurveneigenschaften[Bearbeiten]

Tangentengleichung (kartesische Koordinaten)[Bearbeiten]

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als X-Achse, Berührpunkt (x_B|y_B):

\frac{x_{B}x}{a^{2}}+\frac{y_{B}y}{b^{2}}=1\quad\iff\quad\frac{x_{B}(x-x_{B})}{a^{2}}+\frac{y_{B}(y-y_{B})}{b^{2}}=0

Mittelpunkt (x_0|y_0) Hauptachse parallel zur X-Achse, Berührpunkt (x_B|y_B):

\frac{(x_B - x_0) (x - x_0)}{a^2} + \frac{(y_B - y_0) (y - y_0)}{b^2} = 1

Tangentengleichung (Parameterform)[Bearbeiten]

Ein (unnormierter) Tangentenvektor an die Ellipse hat die Gestalt:

\vec{T}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\begin{pmatrix}a\cos t\\ b\sin t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a\sin t\\ b\cos t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-ay/b\\ bx/a \end{pmatrix}

Die Tangentengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei (0|0), Hauptachse als X-Achse und Berührpunkt bei (x_B|y_B):

\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{B}\\ y_{B} \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-ay_{B}/b\\ bx_{B}/a \end{pmatrix}\quad\text{mit}\quad\mu\in\mathbb{R}

Beziehung zwischen Polar- und Normalenwinkel[Bearbeiten]

Die Winkel der Ellipsentangente

Zwischen Polarwinkel \varphi und Normalenwinkel \beta und Ellipsenparameter t besteht folgender Zusammenhang (siehe nebenstehende Grafik)

\tan\varphi=\frac{b}{a}\tan t=\frac{b^2}{a^2}\tan\beta=(1-\varepsilon^{2})\tan\beta

Herleitung[Bearbeiten]

Der Zusammenhang des Polarwinkels \varphi und dem Steigungswinkel der Normalen \beta (siehe Grafik rechts) lässt sich z. B. so finden:

Auflösen der Tangentengleichung nach y

y=\frac{b^{2}}{y_{B}}-\frac{b^{2}x_{B}}{a^{2}y_{B}}x

ergibt die Tangentensteigung \tan(\alpha)=-\tan(\pi-\alpha)=\Delta y/\Delta x als Koeffizient von x zu

\tan\alpha=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{B}}{y_{B}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{1}{\tan\varphi}

Mit \tan\alpha=\tan(\beta+\pi/2)=-1/\tan\beta erhält man den gesuchten Zusammenhang zwischen \beta und \varphi.

Normalengleichung (kartesische Koordinaten)[Bearbeiten]

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als X-Achse, Berührpunkt (x_B|y_B):

 \left( 1-{\frac {y}{y_B}} \right) \frac {b^2}{a^2}+{\frac {x}{x_B}}=1

oder auch

  b^2 \left( \frac {y}{y_B}  - 1 \right) = a^2 \left( \frac {x}{x_B} - 1 \right)

Normalengleichung (Parameterform)[Bearbeiten]

Ein (unnormierter) Normalenvektor an die Ellipse hat die Gestalt:

\vec{N}=\begin{pmatrix}b\cos t\\ a\sin t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}bx/a\\ ay/b \end{pmatrix}

Die Normalengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei (0|0), Hauptachse als X-Achse und Berührpunkt bei (x_B|y_B):

\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{B}\\ y_{B} \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}bx_{B}/a\\ ay_{B}/b \end{pmatrix}\quad\text{mit}\quad\mu\in\mathbb{R}

Krümmungsradien[Bearbeiten]

Krümmungsradius in einem der beiden Hauptscheitel:

r_\mathrm{H} = \frac{b^2}{a},

Krümmungsradius in einem der beiden Nebenscheitel:

r_\mathrm{N} = \frac{a^2}{b}.

Krümmungsradius im Punkt (x_p|y_p):

r = a^2 b^2 \left(\frac{x_{p}^{2}}{a^4} + \frac{y_{p}^{2}}{b^4}\right)^{3/2}

Formelsammlung Flächeninhalt und Umfang[Bearbeiten]

Flächeninhalt[Bearbeiten]

Mit den Halbachsen a und b:

A = \pi a b = \pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}.

Ist die Ellipse durch eine implizite Gleichung

\alpha x^2+ \beta x y +  \gamma y^2 + 1 = 0

gegeben, dann beträgt ihr Flächeninhalt

A=\frac{2\pi}{\sqrt{ 4 \alpha \gamma - \beta^2 }}.

Ellipsensektor[Bearbeiten]

Für eine Ellipse mit den Halbachsen a und b und einen Sektor der mit der großen Halbachse den Winkel \varphi \in  \left]0, \frac{\pi}{2} \right[ einschließt, gilt:

A_{\mathrm{Sektor}}= \frac{ab}{2} \arctan \left(\frac{a}{b} \tan(\varphi) \right).

Beschreibt man den Ellipsensektor statt durch den Polarwinkel durch den Parameter t aus der Parameterdarstellung (x,y) = (a \cos t, b \sin t), so erhält man die Formel

A_{\mathrm{Sektor}} = \frac{a b}{2} t.

Umfang[Bearbeiten]

Diagramm zur Berechnung des Ellipsenumfangs

Der Umfang einer Ellipse kann nicht exakt durch elementare Funktionen angegeben werden. Er kann als ein Integral dargestellt werden, das daher elliptisches Integral genannt wird. Mit der Parametrisierung x=a \cos(t), y=b \sin(t) ergibt sich der Umfang U unter Verwendung des Satzes von Pythagoras zu

\begin{align}
U &=  \int \ \mathrm dU =  \int\limits_0^{2\pi} {\sqrt {\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}\ \mathrm dt\\
&= 4a \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {(\sin t)^2 + \left(\frac{b}{a}\cos t\right)^2}}\ \mathrm dt\\
& = 4a\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon^2 (\cos t)^2}} \ \mathrm dt\\
&= 4a\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon^2 (\sin t)^2}} \ \mathrm dt=4a \, E(\varepsilon).
\end{align}

Das letzte Integral erhält man nach der Substitution t \to \frac \pi 2 - t. Der Umfang hängt von der numerischen Exzentrizität \varepsilon = \sqrt{1 - \tfrac{b^2}{a^2}} und der großen Halbachse a ab. E(\varepsilon) ist das vollständige elliptische Integral zweiter Ordnung. Mit Hilfe des nebenstehenden Diagramms kann bei gegebener Exzentrizität ε der Wert des Faktors k=4 E(\varepsilon) für das Produkt

U = k \cdot a

abgelesen werden. k liegt für jede Ellipse zwischen den Extremfällen k=4 (Ellipse zur Linie degeneriert, \varepsilon=1) und k=2\pi (Ellipse wird zum Kreis,  \varepsilon=0).

Reihenentwicklung[Bearbeiten]

\begin{align}
U &= 2 a \pi \left( 1 - \sum_{i=1}^\infty \left( \prod_{k=1}^i \frac{2k-1}{2k} \right)^2 \frac{\varepsilon^{2i}}{2i-1} \right)\\
& = 2a \pi \left[1 - \left(\frac 12\right)^2 \varepsilon^2 - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{\varepsilon^4}3 - \ldots - \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dotsm (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dotsm 2n}\right)^2 \frac{\varepsilon^{2n}}{2n-1} - \ldots \right]
\end{align}

Für ε nahe 1 konvergiert diese Reihenentwicklung extrem langsam. Es empfiehlt sich daher eine numerische Integration, z. B. nach dem Romberg-Verfahren.

Näherungen[Bearbeiten]

(1) U \approx \pi (a + b)
Genauigkeit dieser Formel
Exz. q = b / a Fehler
ε < 0,064 1 >= q >0,9978 < 0,1 %
0,065 < ε < 0,2 0,9978 > q > 0,9798 < 1 %
0,280 0,96 2 %
0,352 0,936 3,2 %
0,436 0,9 5 %
0,600 0,8 10 %
0,800 0,6 20 %
(2) U \approx 2 \pi {\sqrt {\frac{1}2 (a^2+b^2)}} = \pi {\sqrt {2 (a^2+b^2)}} (bis b = a / 2 recht genau, bei sehr flachen Ellipsen ungenauer) und
(3) U \approx \pi (a+b) \left(1+ \frac{3\lambda^2}{10+\sqrt{4-3\lambda^2}} \right), wobei \quad \lambda = \frac{a-b}{a+b}.

Die letzte Näherung ist in einem weiten ε-Bereich von

 0 \leq \varepsilon \leq 0{,}9

sehr genau. Der relative Fehler nimmt danach mit zunehmendem ε zu und beträgt:

Bereich rel. Fehler
0,0000 ≤ ε < 0,8820 <10−9
0,8820 < ε < 0,9242 < 10−8
0,9242 < ε < 0,9577 < 10−7
0,9577 < ε < 0,9812 < 10−6
0,9812 < ε < 0,9944 < 10−5
0,9944 < ε < 0,9995 < 10−4
0,9995 < ε < 1,0000 < 0,000403
Siehe auch: Meridianbogen

Die Umkehrung, also eine Abbildung, die (für eine gegebene Ellipse) der Bogenlänge einen Winkel zuordnet, ist eine elliptische Funktion.

Schriftzeichen[Bearbeiten]

Ellipses-Symbola.svg

Unicode enthält im Block Verschiedene Symbole und Pfeile vier Ellipsensymbole, die als Grafikzeichen oder Schmuckzeichen in beliebigem Text (auch Fließtext) verwendet werden können:

Unicode Zeichen Name LaTeX
U+2B2C black horizontal ellipse (Vollflächige horizontale Ellipse) \EllipseSolid
U+2B2D white horizontal ellipse (Hohle horizontale Ellipse) \Ellipse
U+2B2E black vertical ellipse (Vollflächige vertikale Ellipse)
U+2B2F white vertical ellipse (Hohle vertikale Ellipse)

LaTeX kennt außerdem noch eine hohle horizontale Ellipse mit Schatten rechts: \EllipseShadow[2].

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Ellipse – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Ellipsen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Berechnungen
Konstruktion

Für alle folgenden Links wird ein Java-Plug-in benötigt.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (Begründer), Günter Grosche (Bearb.), Eberhard Zeidler (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6, S. 24.
  2. Scott Pakin: The Comprehensive LATEX Symbol List. 9. November 2009, S. 89, abgerufen am 8. September 2012 (PDF; 4,4 MB, englisch).

Literatur[Bearbeiten]

  • Leopold,C.: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S.55-66.