Elliptic Curve DSA

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Der Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) ist eine Variante des Digital Signature Algorithm (DSA), der Elliptische-Kurven-Kryptographie verwendet.

Unterschiede zum normalen DSA-Verfahren[Bearbeiten]

Generell gilt bei der Elliptische-Kurven-Kryptographie die Faustregel, dass die Bitlänge des Erzeugers der verwendeten Untergruppe etwa dem Doppelten des Sicherheitsniveaus t entsprechen sollte. Bei einem Sicherheitsniveau von t=80 Bit, bei dem ein Angreifer  2^{80} elementare Operationen durchführen muss um den privaten Schlüssel zu finden, hätte ein DSA-Schlüssel eine Länge von circa 1024 Bit, ein ECDSA-Schlüssel aber nur eine Länge von 160 Bit. Eine Signatur ist jedoch bei beiden Verfahren gleich lang: 4 t Bit, also 320 Bit für ein Sicherheitsniveau von 80 Bit.

Schlüsselerzeugung[Bearbeiten]

Alice möchte eine signierte Nachricht an Bob schreiben. Zu Beginn muss man sich auf die Kurvenparameter (q, FR, a, b,DomainParameterSeed, G, n, h) einigen. Die ersten Parameter beschreiben die verwendete Kurve: q ist die Ordnung des Körpers, auf dem die Kurve definiert ist; FR ist die Angabe der verwendeten Basis; a und b sind zwei Körperelemente, die die Gleichung der Kurve beschreiben; DomainParameterSeed ist eine mögliche, zufällig erzeugte Zeichenkette, die vorliegt, wenn die Kurve nachweislich zufällig erzeugt wurde. Weiterhin werden benötigt:

  • G, ein fester Erzeuger der n-Torsionsuntergruppe der Kurve (i. e., G = (x_G, y_G));
  • n, die Ordnung des Punktes G, und h, der Cofaktor (gleich der Ordnung der Kurve geteilt durch die Gruppenordnung n);
  • L_n, die Bitlänge der Gruppenordnung n;
  • eine kryptologische Hashfunktion HASH, wie z. B. SHA-2.

Um ihr Schlüsselpaar zu generieren, erzeugt Alice als geheimen Schlüssel d_A eine zufällige Ganzzahl im Intervall [1, n-1]. Der zugehörige öffentliche Schlüssel ist Q_A = d_A G.

Algorithmus zur Erzeugung einer Signatur[Bearbeiten]

Will Alice eine Nachricht m signieren, geht sie folgendermaßen vor:

  1. Berechne e = \textrm{HASH}(m) und definiere z als die L_n höchstwertigen Bits von e.
  2. Wähle eine zufällige Ganzzahl k von [1, n-1].
  3. Berechne r = x_1 \pmod{n}, wobei (x_1, y_1) = k G. Wenn r = 0, gehe zum Schritt 2 zurück.
  4. Berechne s = k^{-1}(z + r d_A) \pmod{n}. Wenn s = 0, gehe zum Schritt 2 zurück.
  5. Die Signatur ist das Paar (r, s).

Wenn s berechnet wird, sollte der Wert z, der aus \textrm{HASH}(m) stammt, in eine Ganzzahl umgewandelt werden. Dabei ist zu beachten, dass z größer als n sein kann, aber nicht länger.[1]

Es ist entscheidend, dass für verschiedene Signaturen auch verschiedene k-Werte verwendet werden, ansonsten kann die Gleichung im Schritt 4 nach dem geheimen Schlüssel d_A aufgelöst werden: Aus zwei Signaturen (r,s) und (r,s'), die mit demselben, unbekannten k verschiedene bekannte Nachrichten m und m' signieren, kann ein Angreifer z und z' berechnen. Weil s-s' = k^{-1}(z-z') entspricht (alle Operationen in diesem Absatz werden mit modulo n durchgeführt), kann dann auch k = \frac{z-z'}{s-s'} berechnet werden. Aus k kann der Angreifer wegen s = k^{-1}(z + r d_A) auch den privaten Schlüssel d_A = \frac{s k - z}{r} berechnen. Dieser Fehler in der Verschlüsselung wurde z. B. verwendet, um die Verschlüsselung in der Spielkonsole PlayStation 3 zu berechnen und damit die Beschränkung auf offiziell veröffentlichte Software auszuhebeln.[2]

Überprüfung einer Signatur[Bearbeiten]

Wenn Bob die Echtheit einer von Alice erzeugten Signatur prüfen möchte, muss er eine Kopie ihres öffentlichen Schlüssels Q_A besitzen. Wenn er sich nicht sicher ist, dass Q_A ordnungsgemäß erzeugt wurde, muss er überprüfen, ob es sich wirklich um einen Schlüssel handelt (das neutrale Element wird mit O bezeichnet):

  1. Überprüfe, ob Q_A ungleich O ist und dass die Koordinaten ansonsten valide sind
  2. Überprüfe, ob Q_A auf der Kurve liegt
  3. Überprüfe, ob nQ_A = O. Hier wird überprüft, ob Q_A ein Vielfaches des Erzeugers G ist. Falls in den Kurvenparametern der Kofaktor h = 1 ist, kann dieser Schritt weggelassen werden.

Danach führt Bob folgende Schritte durch:

  1. Überprüfe, ob r und s ganze Zahlen sind und im Intervall [1, n-1] liegen. Wenn dies nicht der Fall ist, ist die Signatur ungültig.
  2. Berechne e = \textrm{HASH}(m), wobei HASH die gleiche Funktion wie bei der Erzeugung der Signatur ist. Bezeichne mit z die L_n höchstwertigen Bits von e.
  3. Berechne w = s^{-1} \pmod{n}.
  4. Berechne u_1 = zw \pmod{n} und u_2 = rw \pmod{n}.
  5. Berechne (x_1, y_1) = u_1 G + u_2 Q_A.
  6. Die Signatur ist gültig, wenn r = x_1 \pmod{n}, ansonsten ist sie ungültig.

Mit Hilfe von Straus' Algorithmus (auch bekannt als der Shamir's Trick) kann die Summe zweier skalarer Multiplikationen (u_1 G + u_2 Q_A) schneller berechnet werden.[3][4]

Normen und Standards[Bearbeiten]

ANSI[Bearbeiten]

Der Standard X9.62-2005 des American National Standards Institute ist die maßgebliche Spezifikation von ECDSA, die von den nachfolgend genannten Standards als Referenz verwendet wird.[5]

NIST[Bearbeiten]

Das US-amerikanische National Institute of Standards and Technology empfiehlt im Standard FIPS 186-4 fünfzehn elliptische Kurven.[6]

SECG[Bearbeiten]

Die "Standards for Efficient Cryptography Group" (SECG) ist ein 1998 gegründetes Konsortium zur Förderung des Einsatzes von ECC-Algorithmen, welches im Dokument SEC1 auch den ECDSA spezifiziert.[7]

ISO/IEC[Bearbeiten]

Die International Organization for Standardization und die International Electrotechnical Commission definiert ECDSA in dem internationalen Standard 14888-3 (der ältere Standard 15946-2 wurde 2007 zurückzogen). Im Standard 14888-3 und einer Ergänzung (Amendment 1) werden neben EC-DSA (die im Standard verwendete Abkürzung) noch die Varianten EC-GDSA (Elliptic Curve German Digital Signature Algorithm), EC-KCDSA (Korean Certificate-based Digital Signature Algorithm), EC-RDSA (Russian Digital Signature Algorithm), EC-SDSA und EC-FSDSA (Schnorr und Full Schnorr Digital Signature Algorithm) spezifiziert.

BSI[Bearbeiten]

Das Bundesamt für Sicherheit in der Informationstechnik legt in der Technical Guideline TR-03111 Vorgaben und Empfehlungen u. a. für die Implementierung des ECDSA fest.

Implementierungen[Bearbeiten]

Open Source[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. NIST FIPS 186-4, Juli 2013, pp. 19 und 26 (PDF; 0,7 MB)
  2. //events.ccc.de/congress/2010/Fahrplan/attachments/1780_27c3_console_hacking_2010.pdf, Seite 123–128
  3. http://www.lirmm.fr/~imbert/talks/laurent_Asilomar_08.pdf Das Doppel-Basen-Zahlen-System in der Elliptischen Kurven-Kryptographie (engl.)
  4. http://caccioppoli.mac.rub.de/website/papers/multiexp.pdf On the complexity of certain multi-exponentiation techniques in cryptography
  5. ANSI X9.62-2005, Public Key Cryptography for the Financial Services Industry: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)
  6.  NIST: Digital Signature Standard (DSS). (http://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.186-4.pdf).
  7. http://www.secg.org/index.php?action=secg,about
  8. OpenSSH 5.7 has just been released. OpenBSD, abgerufen am 19. August 2011.
  9. OpenSSH 5.7: Schneller durch die Kurve. Heise.de, 25. Januar 2011, abgerufen am 19. August 2011.
  10. //www.openssl.org/news/changelog.html

Literatur[Bearbeiten]

  • Accredited Standards Committee X9, American National Standard X9.62-2005, Public Key Cryptography for the Financial Services Industry, The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA), November 16, 2005.
  • Certicom Research, Standards for efficient cryptography, SEC 1: Elliptic Curve Cryptography (PDF; 970 kB), Version 2.0, May 21, 2009.
  • López, J. and Dahab, R. An Overview of Elliptic Curve Cryptography, Technical Report IC-00-10, State University of Campinas, 2000.
  • Daniel J. Bernstein, Pippenger's exponentiation algorithm (PDF; 293 kB), 2002.
  • Daniel R. L. Brown, Generic Groups, Collision Resistance, and ECDSA, Designs, Codes and Cryptography, 35, 119–152, 2005. ePrint version
  • Ian F. Blake, Gadiel Seroussi, and Nigel P. Smart, editors, Advances in Elliptic Curve Cryptography, London Mathematical Society Lecture Note Series 317, Cambridge University Press, 2005.
  • Darrel Hankerson, Alfred Menezes and Scott Vanstone, Guide to Elliptic Curve Cryptography, Springer, Springer, 2004.

Weblinks[Bearbeiten]