Ende (Kategorientheorie)

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Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein Ende ein spezieller Limes.

Definition[Bearbeiten]

Es seien \mathcal C; \mathcal D Kategorien, \mathcal C^\mathrm{op} die zu \mathcal C duale Kategorie und schließlich F\colon \mathcal C^\text{op}\times\mathcal C \to \mathcal D ein Funktor.

Ein Ende von F ist ein Paar (E;\pi), bestehend aus einem Objekt E \in \operatorname{Ob}(\mathcal D) und einer \operatorname{Ob}(\mathcal C)-indizierten Familie von Pfeilen \pi_X \colon E \to F(X,X), Projektionen genannt, derart, dass für alle Objekte X,Y \in \operatorname{Ob}(\mathcal C) und Morphismen h \in \mathcal C(X,Y) das Diagramm

\begin{array}{ccc}
\quad E&\xrightarrow{\quad \pi_X\quad }&\!F(X,X)\\
\scriptstyle\pi_Y\Big\downarrow && \quad \Big\downarrow  \scriptstyle F(X, h)\\
F(Y,Y)&\xrightarrow[F(h,Y)]{}&F(X,Y)
\end{array}

kommutiert. (Kurz: \pi ist eine dinatürliche Transformation \Delta E \to F.)

Ein Ende ist zudem universell, das heißt für jedes alternative E' mit entsprechenden Projektionen \pi'_X\colon E' \to F(X,X) gibt es einen eindeutig bestimmten Pfeil k\colon E' \to E, sodass \pi_X\circ k = \pi'_X für alle X \in \operatorname{Ob}(\mathcal C) gilt.

Notation[Bearbeiten]

Eine gebräuchliche Schreibweise für ein Ende von F\colon\mathcal C^\text{op}\times\mathcal C \to \mathcal D ist

E\cong\int_{X \in \mathcal C}F(X,X).

Beispiel[Bearbeiten]

Für lokal kleine Kategorien \mathcal C,\mathcal D seien Funktoren F,G\colon\mathcal C \to \mathcal D gegeben. Die Menge der natürlichen Transformationen von F nach G ist nun gerade ein Ende des Funktors T\colon \mathcal C^\text{op}\times\mathcal C \to \mathbf{Set}, der durch T(X,Y) = \mathcal D(FX, GY) erklärt ist, wobei \mathcal D(-,-) den Hom-Funktor von \mathcal D bezeichne.

Obiges Diagramm ist hier

\begin{array}{ccc}
\quad E&\xrightarrow{\quad \pi_X\quad }&\!\mathcal D(FX,GX)\\
\scriptstyle\pi_Y\Big\downarrow && \quad \Big\downarrow  \scriptstyle \mathcal D(FX, Gh)\\
\mathcal D(FY,GY)&\xrightarrow[\mathcal D(Fh,GY)]{}&\mathcal D(FX,GY).
\end{array}

Die Projektionen des Endes ordnen jeder natürlichen Transformation \psi\in E eine Komponente \psi_X = \pi_X(\psi) \in \mathcal D(FX,GX) zu. Auf der Ebene der Elemente von E sagt das Diagramm also aus, dass für Komponenten \psi_X und \psi_Y

Gh\circ\psi_X = \psi_Y\circ Fh

gilt. Die Universalität stellt sicher, dass E alle natürlichen Transformationen enthält.

Dieses Beispiel kann auch als eine Definition von natürlichen Transformationen interpretiert werden. Die Definition ist in dieser Form leicht auf angereicherte Kategorien und Funktoren verallgemeinerbar.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

  • end, Eintrag im nLab. (englisch)