Ende (Topologie)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik sind die Enden eines topologischen Raumes anschaulich gesprochen die Zusammenhangskomponenten des "Randes im Unendlichen". Formal definiert werden sie als Äquivalenzklassen von Komplementen kompakter Mengen.

Definition[Bearbeiten]

Sei X ein topologischer Raum. Wir betrachten die Familie \mathcal{K} der kompakten Teilmengen K\subset X und für jedes K\in\mathcal{K} die Menge U_K der Zusammenhangskomponenten von X-K.

Auf

\mathcal{U}:=\bigcup_{K\in\mathcal{K}}U_K

definieren wir eine Äquivalenzrelation \sim durch

U_1\sim U_2\Longleftrightarrow \exists U_3\in\mathcal{U}: U_1\subset U_3,U_2\subset U_3.

(In Worten: eine Zusammenhangskomponente U_1 von X-K_1 ist äquivalent zu einer Zusammenhangskomponente U_2 von X-K_2, wenn es eine kompakte Menge K_3\subset X gibt, so dass U_1 und U_2 zur selben Zusammenhangskomponente von X-K_3 gehören.)

Die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation \sim auf \mathcal{U} heißen Enden des topologischen Raumes X.

Als Umgebungen eines Endes werden die offenen Mengen in der jeweiligen Äquivalenzklasse bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Zahlengerade \R^1 hat zwei Enden.
  • Für n\ge 2 hat der \R^n ein Ende.
  • Sei M das Innere einer kompakten Mannigfaltigkeit \overline{M} mit Rand \partial\overline{M}, also M=\overline{M}-\partial\overline{M}. Dann entsprechen die Enden von M den Zusammenhangskomponenten von \partial \overline{M}.
Der Cayleygraph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern a und b
  • Sei X der Cayley-Graph einer freien Gruppe. Dann hat X unendlich viele Enden, es gibt eine Bijektion der Enden auf eine Cantormenge.
  • Nach einem Satz von Freudenthal hat der Cayley-Graph einer Gruppe entweder unendlich viele oder höchstens 2 Enden.

Literatur[Bearbeiten]

  • Hughes, Bruce; Ranicki, Andrew: Ends of complexes. Cambridge Tracts in Mathematics, 123. Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ISBN 0-521-57625-3
  • Freudenthal, Hans: Über die Enden diskreter Räume und Gruppen. Comment. Math. Helv. 17, (1945). 1–38.