Endlich erzeugte abelsche Gruppe

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Eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist eine abelsche Gruppe (G,+), in der es endlich viele Elemente x_1,\ldots,x_s gibt, sodass jedes x\in G in der Form

x=n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + \ldots + n_s\cdot x_s

geschrieben werden kann, wobei n_1,\ldots,n_s ganze Zahlen sind und n_i\cdot x_i die n_i-fache Verknüpfung von x_i mit sich selbst unter + ist. Diese Darstellung muss nicht eindeutig sein. Wir sagen auch \left\{x_1,\ldots,x_s\right\} sind die Erzeuger von G oder x_1,\ldots,x_s erzeugen G.

Jede endliche abelsche Gruppe ist offensichtlich endlich erzeugt. Endlich erzeugte abelsche Gruppen sind von eher simpler Natur und können auf einfache Weise klassifiziert werden, wie weiter unten gezeigt wird.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Alle endlichen Gruppen sind endlich erzeugt. Daher sind auch endliche abelsche Gruppen endlich erzeugt.
  • Die ganzen Zahlen (ℤ,+) sind eine unendliche abelsche Gruppe, die endlich erzeugt ist mit 1 als Erzeuger.
  • Jede direkte Summe von endlich vielen endlich erzeugten abelschen Gruppen ist wieder eine endlich erzeugte abelsche Gruppe.

Die additive Gruppe der rationalen Zahlen (ℚ,+) ist nicht endlich erzeugt: Zu x_1,\ldots,x_s wähle man eine natürliche Zahl w, die teilerfremd zu den Nennern aller x_i ist; dann kann \tfrac{1}{w} nicht als ganzzahlige Linearkombination von x_1,\ldots,x_s dargestellt werden.

Klassifikation[Bearbeiten]

Jede Untergruppe und Faktorgruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist wieder endlich erzeugt abelsch. Die endlich erzeugten abelschen Gruppen zusammen mit den Gruppenmorphismen bilden eine abelsche Kategorie.

Man beachte, dass nicht jede abelsche Gruppe von endlichem Rang endlich erzeugt ist. ℚ zum Beispiel ist von Rang 1 aber nicht endlich erzeugt. Ein weiteres Beispiel ist die direkte Summe von unendlich vielen Kopien von ℤ2, diese ist von Rang 0, aber auch nicht endlich erzeugt.

Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen besagt, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G zu einer endlichen direkten Summe von zyklischen Gruppen, deren Ordnung die Potenz einer Primzahl ist, und unendlichen zyklischen Gruppen isomorph ist.

Endliche abelsche Gruppen[Bearbeiten]

  • Jede solche abelsche Gruppe mit N Elementen besitzt ein Erzeugendensystem aus höchstens \max(r_1,r_2,\ldots r_k) Elementen.
  • Speziell gilt: Ist N eine quadratfreie natürliche Zahl, dann ist jede abelsche Gruppe mit N Elementen zyklisch.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Thomas W. Hungerford: Algebra. In: Graduate texts in mathematics. 8. korrigierte Auflage. Nr. 73, Springer, New York/Berlin/Singapore/Tokyo/Heidelberg/Barcelona/Budapest/Hong Kong/London/Milan/Paris/Santa Clara 1996, ISBN 3-540-90518-9, II. The Structure of Groups, 2. Finitely Generated Abelian Groups, S. 76-82 (Inhaltsverzeichnis, abgerufen am 15. Februar 2012). Download als PDF (8MB)