Endlich erzeugte abelsche Gruppe

Eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist eine abelsche Gruppe (G,+), in der es endlich viele Elemente $x_1,\ldots,x_s$ gibt, sodass jedes $x\in G$ in der Form

$x=n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + \ldots + n_s\cdot x_s$

geschrieben werden kann, wobei $n_1,\ldots,n_s$ ganze Zahlen sind und $n_i\cdot x_i$ die $n_i$-fache Verknüpfung von $x_i$ mit sich selbst unter $+$ ist. Diese Darstellung muss nicht eindeutig sein. Wir sagen auch $\left\{x_1,\ldots,x_s\right\}$ sind die Erzeuger von G oder $x_1,\ldots,x_s$ erzeugen G.

Jede endliche abelsche Gruppe ist offensichtlich endlich erzeugt. Endlich erzeugte abelsche Gruppen sind von eher simpler Natur und können auf einfache Weise klassifiziert werden, wie weiter unten gezeigt wird.

Beispiele

• Alle endlichen Gruppen sind endlich erzeugt, daher auch endliche abelsche Gruppen.
• Die ganzen Zahlen (ℤ,+) sind eine endlich erzeugte Gruppe mit 1 als Erzeuger.
• Jede direkte Summe von endlich vielen endlich erzeugten abelschen Gruppen ist wieder eine endlich erzeugte abelsche Gruppe.

Die additive Gruppe der rationalen Zahlen (ℚ,+) ist nicht endlich erzeugt: Zu $x_1,\ldots,x_s$ wähle man eine natürliche Zahl w, die teilerfremd zu den Nennern aller $x_i$ ist; 1/w wird dann nicht erzeugt von $x_1,\ldots,x_s$.

Klassifikation

Jede Untergruppe und Faktorgruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist wieder endlich erzeugt abelsch. Die endlich erzeugten abelschen Gruppen zusammen mit den Gruppenmorphismen bilden eine abelsche Kategorie.

Man beachte, dass nicht jede abelsche Gruppe von endlichem Rang endlich erzeugt ist. ℚ zum Beispiel ist von Rang 1 aber nicht endlich erzeugt. Ein weiteres Beispiel ist die direkte Summe von unendlich vielen Kopien von ℤ₂, diese ist von Rang 0, aber auch nicht endlich erzeugt.

Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen besagt, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe G zu einer endlichen direkten Summe von zyklischen Gruppen, deren Ordnung die Potenz einer Primzahl ist, und unendlichen zyklischen Gruppen isomorph ist.

Endliche abelsche Gruppen

• Zu jeder natürlichen Zahl $N\in \N$ mit der Primfaktorzerlegung $N={p_1}^{r_1}\cdot {p_2}^{r_2}\cdots {p_k}^{r_k}$ existieren genau $a(N)=P(r_1)\cdot P(r_2) \cdots P(r_k)$ Isomorphietypen von abelschen Gruppen mit $N$ Elementen. Die Funktion $P$ ist die Partitionsfunktion, die Folge $a(N)$ ist Folge A000688 in OEIS.

• Jede solche abelsche Gruppe mit $N$ Elementen besitzt ein Erzeugendensystem aus höchstens $\max(r_1,r_2,\ldots r_k)$ Elementen.

• Speziell gilt: Ist $N$ eine quadratfreie natürliche Zahl, dann ist jede abelsche Gruppe mit $N$ Elementen zyklisch.

Literatur

•  Thomas W. Hungerford: Algebra. In: Graduate texts in mathematics. 8. korrigierte Auflage. Nr. 73, Springer, New York/Berlin/Singapore/Tokyo/Heidelberg/Barcelona/Budapest/Hong Kong/London/Milan/Paris/Santa Clara 1996, ISBN 3-540-90518-9, II. The Structure of Groups, 2. Finitely Generated Abelian Groups, S. 76-82 (Inhaltsverzeichnis, abgerufen am 15. Februar 2012). Download as PDF (8MB)