Endliche Gruppe

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Eine endliche Gruppe tritt in der mathematischen Disziplin der Gruppentheorie auf. Endliche Gruppen sind Gruppen, deren Trägermenge M eine endliche Anzahl von Elementen enthält.

Axiome[Bearbeiten]

Die Annahme der Endlichkeit ermöglicht ein vereinfachtes Axiomensystem (siehe van der Waerden S. 15–17):

Ein Paar (G,\circ) mit einer endlichen Menge G und einer inneren zweistelligen Verknüpfung \circ\,\colon\, G\times G\rightarrow G heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

  • Eindeutigkeit der Kürzung: Aus a\circ x=a\circ x' wie auch aus x\circ a=x'\circ a folgt: x = x'.

Aus der Eindeutigkeit der Kürzung folgt, dass die Links- und Rechtsmultiplikationen x\mapsto a\circ x und x\mapsto x\circ a injektiv sind, woraus wegen der Endlichkeit auch die Surjektivität folgt. Daher gibt es ein x mit a\circ x = a, was zur Existenz des neutralen Elementes e führt, und dann ein x mit a\circ x = e, was die Existenz der inversen Elemente zeigt.

Einfache Gruppen[Bearbeiten]

Jede endliche Gruppe ist zusammengesetzt aus einer endlichen Anzahl von endlichen einfachen Gruppen. Allerdings kann diese Zusammensetzung kompliziert sein, und trotz der Kenntnis der Bausteine (der einfachen Gruppen) ist man noch weit davon entfernt, alle endlichen Gruppen zu kennen.

Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert:

Beispiele[Bearbeiten]

Endliche Gruppen sind etwa die zyklischen Gruppen oder die Permutationsgruppen (siehe: Symmetrische Gruppe, Alternierende Gruppe).

Zu den sporadischen Gruppen zählen die Conway-Gruppe, das Babymonster und die Monstergruppe (mit fast 1054 Elementen die größte sporadische Gruppe).

Anwendungen[Bearbeiten]

Symmetrien von Körpern, namentlich in der Molekülphysik, werden durch Punktgruppen beschrieben; Symmetrien von Kristallen durch 230 verschiedene Raumgruppen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]