Energie-Impuls-Tensor

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Der Energie-Impuls-Tensor ist ein mathematisches Objekt in der Physik. Er wird in seiner allgemeinen Form folgendermaßen angegeben:

(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} w & \frac{S_x}{c} & \frac{S_y}{c} & \frac{S_z}{c}\\ \frac{S_x}{c} & G_{xx} & G_{xy} & G_{xz}\\ \frac{S_y}{c} & G_{yx} & G_{yy} & G_{yz}\\ \frac{S_z}{c}& G_{zx} & G_{zy} & G_{zz}\end{pmatrix}

Im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie ist der so gegebene Energie-Impuls-Tensor ein Vierertensor der Stufe (2,0).

Die Energiedichte w ist bei kleinen Geschwindigkeiten von der Dichte der Masse dominiert, aber auch Photonen, die keine Ruhemasse besitzen, tragen mit ihrer Energie E = h\nu zur Energiedichte bei.

Eine Energiestromdichte ist eine Energiedichte multipliziert mit einer Geschwindigkeit.

Geometrische raum-zeitliche Interpretation in 4D-Sprechweise[Bearbeiten]

Zur Vereinfachung werden in diesem Artikel Planck-Einheiten verwendet. So ist die Lichtgeschwindigkeit c auf Eins normiert sodass aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie E=mc^2, Masse m und Energie E miteinander identifiziert werden.

  • Die Komponente T^{00} (Energiedichte, Massendichte) beschreibt den Energiefluss (Massenfluss) in zeitartige Richtung, also den Energiefluss durch ein raumartiges 3D-Volumenelement.
  • Die Komponenten T^{i 0}; i=1,\ldots 3 (räumlicher Energiefluss, räumlicher Massenfluss) beschreiben die Energiestromdichte (Massenstromdichte) in räumliche i-Richtung, also den Energiefluss durch ein 3D-Volumenelement mit einer zeitartigen und zwei raumartigen Achsen.
  • Die Komponenten T^{0k}; k=1,\ldots 3 (Impulsdichte) beschreiben den Impulsfluss der k-ten Komponente des Impulses in zeitartige Richtung, also den Impulsfluss der k-ten Komponente des Impulses durch ein raumartiges 3D-Volumenelement.
  • Die Komponenten T^{i k}; i,k=1,\ldots 3 (Impulsstromdichte) beschreiben den Impulsfluss der k-ten Komponente des Impulses in die räumliche i-Richtung, also den Impulsfluss der k-ten Komponente durch ein 3D-Volumenelement mit einer zeitartigen und zwei raumartigen Achsen.

Die Symmetrie T^{\alpha\beta}=T^{\beta\alpha} enthält folgende Information:

  • T^{\alpha 0}=T^{0\alpha}: Die Massenstromdichte (Energiestromdichte) ist gleich der Impulsdichte; das ist eine Konsequenz aus dem Schwerpunktsatz.
  • Die Scherspannungen sind symmetrisch: Ein Transport der k-ten Komponente des Impulses in i-Richtung ist stets begleitet von einem gleich großen Transport der i-ten Komponente des Impulses in k-Richtung (i,k=1,\ldots 3); das ist eine Konsequenz der Drehimpulserhaltung.

Die Energie-Impuls-Erhaltung in der Relativitätstheorie wird durch die Bilanzgleichung

\nabla_\alpha T^{\alpha\beta}=0

beschrieben, wenn (T^{\alpha\beta}) den Energie-Impuls-Tensor aller beteiligten Felder bezeichnet. Beschreibt (T^{\alpha\beta}) nur den Energie-Impulstensor eines Feldes, das mit anderen Feldern wechselwirkt, zum Beispiel der elektromagnetischen Strahlung alleine (siehe unten), so lautet die Energie-Impuls-Bilanzgleichung

\nabla_\alpha T^{\alpha\beta}=f^\beta,

wobei die rechte Seite die Viererkraftdichte, also den Viererimpulsaustausch mit anderen Feldern pro 4D-Volumenelement bezeichnet. Die Komponenten \beta=1,\ldots 3 beschreiben hier die Impulsbilanz, die Komponente \beta=0 die Energiebilanz (Massenbilanz).

Differentialgeometrisch kann man den Energie-Impuls-Tensor als eine vektorwertige 3-Form auffassen: Jedem 3D-Volumenelement wird der Energie-Impuls-Vierervektor zugeordnet, der durch dieses 3D-Volumenelement hindurchfließt. Die Umrechnung in einen Vierertensor der Stufe (0,2) erfolgt dann mit dem Hodge-Operator.

Der Energie-Impuls-Tensor in der allgemeinen Relativitätstheorie[Bearbeiten]

Der Energie-Impuls-Tensor der Materie und Strahlung bildet die rechte Seite der einstein-hilbertschen Feldgleichungen und wirkt somit als „Quellterm“ für die Krümmung der Raum-Zeit. Neu gegenüber der Newtonschen Gravitationstheorie ist, dass alle Komponenten des Tensors die Rolle von „Quellen“ der Gravitation spielen, nicht nur die Massendichte T^{00}. Bei moderaten Drücken, Scherspannungen und Geschwindigkeiten in Laborexperimenten bemerkt man das praktisch nicht, weil in natürlichen Einheiten gemessen die Massendichte der Materie meist um viele Größenordnungen größer als alle anderen Komponenten des Energie-Impulstensors ist.

Der Energie-Impuls-Tensor der Elektrodynamik[Bearbeiten]

Im Lorentz-Heavisideschen Einheitensystem[Bearbeiten]

In der Elektrodynamik im Heaviside-Lorentz-Einheitensystem (rationalisiertem Cgs) lautet der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes:

(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} \frac{1}{2} (E^2+B^2)& \vec{E} \times \vec{B}\\ \vec{E} \times \vec{B} & \frac{1}{2}(E^2+B^2) \delta_{ik}-E_i E_k-B_i B_k \end{pmatrix}

(Im Gauß-Einheitensystem unterscheidet sich die Darstellung von der hier gegebenen um einen Faktor \frac{1}{4\pi}.)

  • Die Komponente T_{00} des Tensors ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes.
  • \vec{S}=\vec{E}\times\vec{B} heißt Poynting-Vektor. Er beschreibt die Energiestromdichte und die Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes.
  • Die Komponenten \tfrac{1}{2}(E^2+B^2) \delta_{ik}-E_i E_k-B_i B_k, i,k=1,2,3 beschreiben den Spannungstensor (Impulsstromdichte) des elektromagnetischen Feldes, also in den Diagonalelementen den (Strahlungs-)Druck und in den Nichtdiagonalkomponenten die Scherspannung des Feldes.

Der Energie-Impulstensor (T^{\alpha \beta}) ist eine 4\times 4-Matrix, denn  \vec{E} \times \vec{B} ist ein Vektor mit 3 Komponenten.

Im SI-Einheitensystem[Bearbeiten]

Der Energie-Impuls-Tensor sieht in SI-Einheiten folgendermaßen aus:

(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} (\varepsilon_0 E^2+\frac{B^2}{\mu_0})& c \varepsilon_0 \vec{E} \times \vec{B}\\ c \varepsilon_0 \vec{E} \times \vec{B}& \tfrac{1}{2}(\varepsilon_0 E^2+\frac{B^2}{\mu_0}) \delta_{ik}-\varepsilon_0 E_i E_k-\frac{1}{\mu_0} B_\alpha B_k \end{pmatrix}

Der Poynting-Vektor hat jetzt folgende Gestalt:

\vec{S}=c^2 \varepsilon_0 \vec{E} \times \vec{B}

(Die Umrechnung von der Darstellung im SI-System zum einfacheren Heaviside-Lorentz-Einheitensystem mit der Konvention c=1 erfolgt einfach durch Weglassen der Konstanten \varepsilon_0, \mu_0 und c.)

Relativistische 4D-Notation für den elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensor[Bearbeiten]

In relativistischer 4D-Notation kann man den Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes wie folgt beschreiben:

T^{\alpha\beta}=F^{\alpha\gamma} F_{\gamma}^{\;\;\beta}-\frac{1}{4}g^{\alpha\beta}F_{\mu\nu}F^{\nu\mu}.

Verwendete Notationen:

Bilanzgleichungen für den Energie-Impulstensor in der Elektrodynamik[Bearbeiten]

In 3D-Notation[Bearbeiten]

Im folgenden bezeichnet

  • \vec{S}=\vec{E} \times \vec{H} den Poynting-Vektor,
  • \rho die elektrische Ladungsdichte eines geladenen Materiefeldes,
  • \vec j die elektrische Stromdichte eines geladenen Materiefeldes,

Die Maxwell-Gleichungen für das elektromagnetische Feld implizieren folgende Bilanzgleichungen für die Komponenten des Energie-Impulstensors:

\frac{\partial}{\partial t} \left[\tfrac12(E^2+B^2)\right]+\operatorname{div}\vec S =\vec j \cdot\vec E

Die linke Seite stellt hier die lokale Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes dar, und die rechte Seite die Leistungsdichte des elektromagnetischen Feldes am Materiefeld. Dieser Zusammenhang ist auch als Satz von Poynting bekannt.

\frac{\partial}{\partial t} S_k+\frac{\partial}{\partial x_i} \left[\tfrac{1}{2}(E^2+B^2) \delta_{ik}-E_i E_k-B_i B_k \right]=(\vec j \times \vec B+ \rho\vec E)_k\quad k=1,\ldots 3

Die linke Seite stellt hier die lokale Impulsbilanz des elektromagnetischen Feldes dar, und die rechte Seite die lorentzsche Kraftdichte des elektromagnetischen Feldes am geladenen Materiefeld.

In 4D-Notation[Bearbeiten]

In speziell-relativistischer 4D-Notation kann man diese beiden Bilanzgleichungen auch so zusammenfassen:

\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}T^{\alpha}_{\;\;\beta}=j^\alpha F_{\alpha\beta}\quad \beta=0,\ldots 3

Hierbei bezeichnet (j^\alpha)=(\rho,\vec j) den Vierervektor des elektromagnetischen Viererstroms.

Die rechte Seite j^\alpha F_{\alpha\beta} bekommt wieder die Interpretation einer lorentzschen Viererkraftdichte (Viererimpulsübertrag pro 4D-Volumenelement).

Der Energie-Impuls-Tensor der Hydrodynamik[Bearbeiten]

Der Energie-Impuls-Tensor der Hydrodynamik geht in die einsteinschen Feldgleichungen ein und ermöglicht die Angabe von Lösungen der Differentialgleichungen, mit denen die Dynamik des Kosmos beschrieben werden kann.

Er wird in Lehrbüchern der theoretischen Physik, die Kapitel über Kosmologie enthalten, in der Regel in kontravarianter Darstellung folgendermaßen angegeben:

T^{\alpha \beta}=\left(\rho+\frac{P}{c^2}\right)u^\alpha u^\beta-P\eta^{\alpha\beta}

  • (u^\alpha) ist die Vierergeschwindigkeit
  • P beschreibt den Druck (z. B. eines Strahlungsfeldes)
  • \rho ist die Massendichte
  • (\eta^{\alpha\beta})=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1) ist der Metrische Tensor der Speziellen Relativitätstheorie
  • c ist der Betrag der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

Diese Beschreibung des Energie-Impuls-Tensors setzt eine Menge von Flüssigkeits-Teilchen voraus, an die folgende Bedingungen gestellt werden: Es liegt eine ideale Flüssigkeit vor und der Druck ist isotrop im Ruhesystem eines jeden Teilchens.

In der Kosmologie werden Galaxien als Elemente einer idealen kosmischen Flüssigkeit betrachtet. Die innere Expansion einer Galaxie wird dabei nicht betrachtet, sie entfernt sich auf Grund der kosmischen Expansion von allen anderen Galaxien, ein Beobachter, der sich mit dieser Galaxie mitbewegt, wird relativ zu ihr als ruhend betrachtet.

In diesem Sinne ist eine Galaxie das Ruhesystem eines mitbewegten Beobachters. In einem solchen Ruhesystem reduziert sich der Vektor der Vierergeschwindigkeit zu (u^\alpha)=(c,0,0,0).

Eine weitere Vereinfachung ergibt sich im Ruhesystem des Beobachters dadurch, dass der metrische Tensor (\eta^{\alpha\beta}) durch den metrischen Tensor der speziellen Relativitätstheorie ersetzt werden kann.

Man betrachte als Beispiel den freien Fall eines Fahrstuhles. Der mitbewegte Passagier fühlt sich schwerelos. Er ruht in seinem mitbewegten System, das sich auf Grund der Erdgravitation bewegt.

Dadurch vereinfacht sich der Energie-Impuls-Tensor:

(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & P & 0 & 0\\ 0 & 0 & P & 0\\ 0 & 0 & 0 & P\end{pmatrix}

Verschwindet auch der Druck P, so besteht der Energie-Impuls-Tensor nur noch aus der Energiedichte (e=\rho c^2):

(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]