Epigraph (Mathematik)

In der Mathematik bezeichnet der Epigraph einer reellwertigen Funktion $f : X \rightarrow \mathbb{R}$ die Menge aller Punkte, die auf oder über ihrem Graphen liegen.

$\mathrm{epi}\, f := \left\{ (x, \mu) \in X \times \mathbb{R} \, : \, f(x)\le \mu \right\} \subseteq X \times \mathbb{R}$

Eigenschaften

Sei $X$ ein normierter $\mathbb{R}$-Vektorraum. Für Funktionen $f : X \rightarrow \mathbb{R}$ gilt:

• $f$ ist genau dann konvex, wenn der Epigraph von $f$ eine konvexe Menge bildet.
• $f$ ist genau dann halbstetig von unten, wenn der Epigraph von $f$ eine abgeschlossene Menge bildet.
• Ist $f$ eine affin-lineare Funktion, dann definiert ihr Epigraph einen Halbraum in $X$.

Literatur

• Ralph Tyrell Rockafellar: Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton 1997, ISBN 0-691-01586-4