Epsilon-Induktion

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Unter Epsilon-Induktion (auch ∈-Induktion) versteht man in der Mathematik ein spezielles Beweisverfahren der Mengenlehre. Gilt es zu beweisen, dass eine Aussage für alle Mengen gilt, so reicht es laut Epsilon-Induktion zu zeigen, dass sie für die Mengen gilt, für deren Elemente sie gilt. Präzise ausgedrückt besagt die Epsilon-Induktion also

\forall x ((\forall y\in x. A(y))\rightarrow A(x))\rightarrow \forall x A(x).

Die Gültigkeit der Epsilon-Induktion lässt sich in ZF (das Auswahlaxiom ist dafür nicht notwendig) beweisen. Maßgeblich geht in den Beweis das Regularitätsaxiom ein. So lässt sich sogar zeigen, dass die Epsilon-Induktion zum Regularitätsaxiom äquivalent ist. Das heißt, tauschte man in ZF das Regularitätsaxiom gegen die Epsilon-Induktion aus, so entstünde ein äquivalentes Axiomensystem.

Ihren Namen hat die Epsilon-Induktion dem griechischen Kleinbuchstaben ε zu verdanken, aus dem sich das heutige Elementzeichen entwickelte.

Beweisskizze[Bearbeiten]

Meist beweist man die Epsilon-Induktion durch Widerspruch. Wäre sie falsch, so gäbe es bei erfüllter Voraussetzung also eine Menge x, welche A(x) nicht erfüllt. Nun betrachtet man die Menge

M:=\{y\in TC(x) | \neg A(y) \},

wobei TC(x) die transitive Hülle von x ist, also eine transitive Menge, die x als Teilmenge enthält. Per Voraussetzung kann M nicht leer sein, also liefert uns die Regularität ein epsilon-minimales Element y \in M. Jedes Element von y kann wegen der Epsilon-Minimalität von y nicht mehr in M sein. Die Elemente von y sind aber aufgrund der Transitivität von TC(x) in TC(x). Also gilt für alle z\in y die Aussage A(z). Die Voraussetzung liefert uns nun A(y), dies impliziert aber den gewünschten Widerspruch y\notin M.

Anwendung[Bearbeiten]

Die Epsilon-Induktion wird zum Beispiel dafür benutzt, zu zeigen, dass jede Menge in der von-Neumann-Hierarchie enthalten ist. Zu jeder Menge x findet man also eine Ordinalzahl \alpha mit x\in V_\alpha. In dem entsprechenden Beweis ist die Aussage A(x) also durch

A(x) \equiv \exists \alpha\in \operatorname{Ord} . x\in V_\alpha

definiert.

Literatur[Bearbeiten]

  • Thomas Jech: Set Theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3-540-44085-2.