Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)
Der Begriff Ereignis (auch Zufallsereignis) bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine messbare Menge von Ergebnissen eines Wahrscheinlichkeitsraumes. Ein Ereignis im Sinne dieser formalen Definition lässt sich als Menge möglicher Ergebnisse eines Zufallsexperiments interpretieren. Beispielsweise entspricht bei einem Würfelwurf das Ereignis „eine gerade Zahl würfeln“ der Teilmenge {2, 4, 6} der Gesamtmenge {1, 2, 3, 4, 5, 6} aller möglichen Ergebnisse. Man spricht davon, dass ein Ereignis eintritt, wenn eines seiner Elemente Ausgang eines Zufallsexperiments ist.
Das mit der Ergebnismenge
identische Ereignis bezeichnet man als sicheres Ereignis, da es immer eintritt. Im Gegensatz dazu bezeichnet man das mit der leeren Menge identische Ereignis als unmögliches Ereignis: Es tritt niemals ein. Beim Beispiel des Würfelwurfs ist das sichere Ereignis die Menge {1,2,3,4,5,6} und das unmögliche Ereignis die Menge
.
[Bearbeiten] Untermenge
Tritt mit dem Ereignis
stets auch das Ereignis
ein, dann zieht das Ereignis
das Ereignis
nach sich,
,
bildet eine Untermenge von
.
[Bearbeiten] Gleichheit von Ereignissen
Wenn das Ereignis
das Ereignis
in gleicher Weise nach sich zieht wie das Ereignis
das Ereignis
, also wenn
und
gilt, dann bezeichnet man die Ereignisse
und
als gleich:
.
[Bearbeiten] Vereinigung von Ereignissen
Tritt ein Ereignis
genau dann ein, wenn mindestens eines der Ereignisse
oder
eintritt, dann bezeichnet man das Ereignis
als die Vereinigung der Ereignisse und benutzt dafür die Notation
. In Verallgemeinerung auf
Ereignisse schreibt man:
[Bearbeiten] Schnittmenge von Ereignissen
Tritt ein Ereignis
genau dann ein, wenn sowohl das Ereignis
als auch das Ereignis
eintritt, dann heißt
der Durchschnitt oder das Produkt der Ereignisse mit der Notation
. In Verallgemeinerung auf
Ereignisse schreibt man:
[Bearbeiten] Disjunkte Ereignisse
Wenn das gleichzeitige Auftreten von zwei Ereignissen
und
unmöglich ist, dann heißt es, die zwei Ereignisse schließen einander aus,
. Die Ereignisse
und
werden dann auch disjunkt oder unvereinbar genannt.
[Bearbeiten] Komplementäres Ereignis
Das zu dem Ereignis
komplementäre Ereignis (Gegenereignis), auch als "Nicht"-Ereignis bekannt,
tritt genau dann ein, wenn das Ereignis
nicht eintritt und wird mit
bezeichnet. Speziell gilt:
[Bearbeiten] Differenz von Ereignissen
Wenn ein Ereignis
nur dann eintritt, wenn ein Ereignis
, aber nicht gleichzeitig das Ereignis
eintritt, dann bezeichnet man das Ereignis
als Differenz der beiden Ereignisse
und
.
[Bearbeiten] Unabhängige Ereignisse
Die zwei Ereignisse
und
heißen voneinander unabhängig, wenn
Unter Verwendung der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich das als
schreiben, vorausgesetzt 
[Bearbeiten] Vollständiges System von Ereignissen
Die Ereignisse
bilden ein vollständiges System von Ereignissen (oder Ereignissystem), wenn im Ergebnis eines Versuchs genau eines von ihnen eintreten muss.
Beispiel: Die Ereignisse
,
,
,
bilden ein solches vollständiges System von Ereignissen.
[Bearbeiten] Formel von de Morgan
Sind
zufällige Ereignisse, dann gelten die de Morganschen Formeln
[Bearbeiten] Elementarereignis
Im Falle diskreter Wahrscheinlichkeitsräume werden die einelementigen Teilmengen der Ergebnismenge
auch als Elementarereignisse bezeichnet.[1]
[Bearbeiten] Siehe auch
Im Artikel Wahrscheinlichkeitstheorie wird der Begriff Ereignis im Kontext mit den anderen Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitstheorie dargestellt.
[Bearbeiten] Literatur
- Rainer Schlittgen: Einführung in die Statistik. 9. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Oldenbourg 2000, ISBN 3-486-27446-5
- Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2. S. 5–9, 118
[Bearbeiten] Einzelnachweise
- ↑ Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2. S. 5







