Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Der Begriff Ereignis (auch Zufallsereignis) bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine messbare Menge von Ergebnissen eines Wahrscheinlichkeitsraumes. Ein Ereignis im Sinne dieser formalen Definition lässt sich als Menge möglicher Ergebnisse eines Zufallsexperiments interpretieren. Beispielsweise entspricht bei einem Würfelwurf das Ereignis „eine gerade Zahl würfeln“ der Teilmenge {2, 4, 6} der Gesamtmenge {1, 2, 3, 4, 5, 6} aller möglichen Ergebnisse. Man spricht davon, dass ein Ereignis eintritt, wenn eines seiner Elemente Ausgang eines Zufallsexperiments ist.

Das mit der Ergebnismenge $\Omega$ identische Ereignis bezeichnet man als sicheres Ereignis, da es immer eintritt. Im Gegensatz dazu bezeichnet man das mit der leeren Menge identische Ereignis als unmögliches Ereignis: Es tritt niemals ein. Beim Beispiel des Würfelwurfs ist das sichere Ereignis die Menge {1,2,3,4,5,6} und das unmögliche Ereignis die Menge $\varnothing$.

Untermenge

Tritt mit dem Ereignis $A$ stets auch das Ereignis $B$ ein, dann zieht das Ereignis $A$ das Ereignis $B$ nach sich, $A\subseteq B$, $A$ bildet eine Untermenge von $B$.

Gleichheit von Ereignissen

Wenn das Ereignis $A$ das Ereignis $B$ in gleicher Weise nach sich zieht wie das Ereignis $B$ das Ereignis $A$, also wenn $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ gilt, dann bezeichnet man die Ereignisse $A$ und $B$ als gleich: $A=B$.

Vereinigung von Ereignissen

Tritt ein Ereignis $C$ genau dann ein, wenn mindestens eines der Ereignisse $A$ oder $B$ eintritt, dann bezeichnet man das Ereignis $C$ als die Vereinigung der Ereignisse und benutzt dafür die Notation $C=A \cup B$. In Verallgemeinerung auf $n$ Ereignisse schreibt man:

$C=\bigcup_{i=1}^n A_i$

Schnittmenge von Ereignissen

Tritt ein Ereignis $C$ genau dann ein, wenn sowohl das Ereignis $A$ als auch das Ereignis $B$ eintritt, dann heißt $C$ der Durchschnitt oder das Produkt der Ereignisse mit der Notation $C=A \cap B$. In Verallgemeinerung auf $n$ Ereignisse schreibt man:

$C=\bigcap_{i=1}^n A_i$

Disjunkte Ereignisse

Wenn das gleichzeitige Auftreten von zwei Ereignissen $A$ und $B$ unmöglich ist, dann heißt es, die zwei Ereignisse schließen einander aus, $A \cap B = \varnothing$. Die Ereignisse $A$ und $B$ werden dann auch disjunkt oder unvereinbar genannt.

Komplementäres Ereignis

Das zu dem Ereignis $A$ komplementäre Ereignis (Gegenereignis), auch als "Nicht"-Ereignis bekannt, $\bar{A}$ tritt genau dann ein, wenn das Ereignis $A$ nicht eintritt und wird mit $\Omega\backslash A$ bezeichnet. Speziell gilt:

$A\backslash B = A \cap \bar{B}$

Differenz von Ereignissen

Wenn ein Ereignis $C$ nur dann eintritt, wenn ein Ereignis $A$, aber nicht gleichzeitig das Ereignis $B$ eintritt, dann bezeichnet man das Ereignis $C$ als Differenz der beiden Ereignisse $A$ und $B$.

Unabhängige Ereignisse

Die zwei Ereignisse $A$ und $B$ heißen voneinander unabhängig, wenn

$P ( A \cap B ) = P ( A ) \cdot P ( B ).$

Unter Verwendung der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich das als

$P(A) = P(A|B)$

schreiben, vorausgesetzt $P(B)>0.$

Vollständiges System von Ereignissen

Die Ereignisse $A_i (i=1,\dots ,n)$ bilden ein vollständiges System von Ereignissen (oder Ereignissystem), wenn im Ergebnis eines Versuchs genau eines von ihnen eintreten muss.

$\bigcup_{i=1}^{n} A_i = \Omega \quad A_i\cap A_j=\emptyset \quad i\neq j\quad i,j=1,\dots ,n$

Beispiel: Die Ereignisse $A\cap B$, $\bar{A}\cap B$, $A\cap \bar{B}$, $\overline{A\cup B}$ bilden ein solches vollständiges System von Ereignissen.

Formel von de Morgan

Sind $A_1, A_2, \dots$ zufällige Ereignisse, dann gelten die de Morganschen Formeln

$\overline{\bigcap_{i=1}^\infty A_i} = \bigcup_{i=1}^\infty \bar{A}_i$

$\overline{\bigcup_{i=1}^\infty A_i} = \bigcap_{i=1}^\infty \bar{A}_i$

Elementarereignis

Im Falle diskreter Wahrscheinlichkeitsräume werden die einelementigen Teilmengen der Ergebnismenge $\Omega$ auch als Elementarereignisse bezeichnet.

Siehe auch

Im Artikel Wahrscheinlichkeitstheorie wird der Begriff Ereignis im Kontext mit den anderen Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitstheorie dargestellt.

Literatur

• Rainer Schlittgen: Einführung in die Statistik. 9. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Oldenbourg 2000, ISBN 3-486-27446-5
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2. S. 5–9, 118